Τετράγωνο ή κύκλος

KARKAR · #1

Στο επίπεδο του τετραγώνου $\displaystyle ABCD$ , γράφω κύκλο ο οποίος διέρχεται από την κορυφή

, και εφάπτεται

στις πλευρές

και

. Συγκρίνατε τις "περιμέτρους" και τα "εμβαδά" των δύο σχημάτων .

Γιώργος Απόκης · #2

Kαλησπέρα. Μια απόπειρα...

Έστω (O,R)

o κύκλος και

η πλευρά του τετραγώνου. Θεωρώ τη διαγώνιο

και τις ακτίνες OK,OL

στα σημεία επαφής.

Η

διέρχεται από το

αφού το

είναι τετράγωνο άρα $\widehat{LOB}=45^{o}=\widehat{CDB}$ . Έστω, επιπλέον ότι η

τέμνει την

στο

.

Tότε, το AKMD

είναι ορθογώνιο, άρα AK=DM

(1). Στο ορθογώνιο τρίγωνο DMO

έχουμε $\widehat{DOM}=45^{o}$ άρα DM=OM

και από το Π.Θ.

έχουμε $\displaystyle{DM=\frac{R\sqrt{2}}{2}\overset{(1)}\Leftrightarrow AK=\frac{R\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow AB-KB=\frac{R\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow a-R=\frac{R\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow a=\frac{R(2+\sqrt{2})}{2}}$ .

Eπομένως, $\displaystyle{E_{\tau \epsilon \tau}=a^2=\left(\frac{R(2+\sqrt{2})}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}R^2<\frac{3+2\cdot 1,5}{2}R^2=3R^2<\pi R^2=E_{\kappa \upsilon \kappa}}$ και

$\displaystyle{L_{\tau \epsilon \tau}=4a=4\cdot \frac{R(2+\sqrt{2})}{2}=(4+2\sqrt{2})R>(4+2\cdot 1,4)R=6,8R>2\pi R=L_{\kappa \upsilon \kappa}}$

#3

Μια λύση με Αναλυτική Γεωμετρία. (Κατά βάθος... είναι παραλλαγή της λύσης του Γιώργου, αλλά διαφέρει αρκετά, ώστε να μην κατηγορηθώ για κλοπή πνευματικών δικαιωμάτων...).

: 21-09-2011 Γεωμετρία.jpg (14.42 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο

γράφουμε κύκλο με ακτίνα

Παίρνουμε τα σημεία $\displaystyle A\left( { - \alpha ,\; - 1} \right),\;{\rm B}\left( {1,\; - 1} \right),\;C\left( {1,\;\alpha } \right),\;D\left( { - \alpha ,\;\alpha } \right),\;0 < \alpha < 1$ που είναι κορυφές τετραγώνου πλευράς $\displaystyle \alpha + 1$ , ώστε το

να ανήκει στον κύκλο $\displaystyle \left( {{\rm O},\;1} \right)$ .
Τότε ο κύκλος εφάπτεται στο τετράγωνο στις

και

στα σημεία $\displaystyle {\rm K}\left( {0,\; - 1} \right),\;L\left( {1,\;0} \right)$ αντίστοιχα.
Προφανώς το

ανήκει στη

, αφού ισαπέχει από τις AB, BC

.

Τότε $\displaystyle 2\alpha ^2 = 1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ , οπότε $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + 1} \right)^2 = \frac{3}{2} + \sqrt 2 > \pi = {\rm E}_{\left( {{\rm O},\;1} \right)}$

#4

Ενδιαφέρον θα ήταν στο πρόβλημα αυτό να ασχοληθεί κάποιος με το ερώτημα:

"Δίνεται τετράγωνο $\displaystyle{ABCD}$ . Να κατασκευαστεί κύκλος $\displaystyle{(C)}$ ώστε να διέρχεται από την κορυφή $\displaystyle{D}$ και να εφάπτεται στις πλευρές $\displaystyle{AB}$ και $\displaystyle{BC}$ ".
Λύση:
Έστω πως ο κύκλος αυτός έχει κατασκευαστεί κι είναι αυτός του σχήματος. Εύκολα διαπιστώνεται πως το κέντρο $\displaystyle{K}$ του κύκλου αυτού ανήκει στη διαγώνιο $\displaystyle{BD}$ .
Θα δείξουμε ότι η $\displaystyle{DE}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\hat{BDC}}$ .
Πράγματι:
Επειδή $\displaystyle{KE//CD}$ θα είναι $\displaystyle \frac{BE}{EC}=\frac{BK}{KD}=\frac{BK}{KE}$ (γιατί $\displaystyle{KD=KE}$ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου)
κι επειδή τα τρίγωνα $\displaystyle{BKE, BCD}$ είναι όμοια θα είναι ακόμα: $\displaystyle \frac{BK}{KE}=\frac{BD}{DC}$
από τις δύο αυτές τελευταίες σχέσεις προκύπτει: $\displaystyle \frac{BE}{EC}=\frac{BD}{DC}$
που δηλώνει πως η $\displaystyle{DE}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{BDC}$ .

Ύστερ' απ' αυτό προκύπτει η κατασκευή του κύκλου:

Φέρουμε τη διαγώνιο $\displaystyle{BD}$ και τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\hat{BDC}}$ που τέμνει την $\displaystyle{BC}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ .
Στη συνέχεια φέρουμε τη μεσοκάθετη στην $\displaystyle{DE}$ η οποία ορίζει στη διαγώνιο $\displaystyle{BD}$ το σημείο $\displaystyle{K}$
το οποίο είναι και το κέντρο του ζητούμενου κύκλου. Ασφαλώς η ακτίνα του κύκλου αυτού θα είναι η $\displaystyle{KD}$ .

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #5

Μετά την έξοχη διαπίστωση - κατασκευή του Κώστα , ίσως είναι περιττή η παρακάτω κατασκευή , αλλά έχει το πλεονέκτημα ,

ότι δίνει και το μήκος της ακτίνας (και διευκολύνει την απάντηση των άλλων ερωτημάτων )

Επειδή λοιπόν : OD=BD-BO

, δηλαδή $R=a\sqrt{2}-R\sqrt{2}\Rightarrow R(\sqrt{2}+1)=a\sqrt{2}$ παίρνω ότι : $R=2a-a\sqrt{2}$ .

Αν τώρα BS=2a

, και πάρω επί της

τμήμα $BT=a\sqrt{2}$ , τότε ST=R

, κ.λ.π.

Τετράγωνο ή κύκλος

Τετράγωνο ή κύκλος

Re: Τετράγωνο ή κύκλος

Re: Τετράγωνο ή κύκλος

Re: Τετράγωνο ή κύκλος

Re: Τετράγωνο ή κύκλος

Μέλη σε σύνδεση