Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Απρ 12, 2011 5:41 pm

Βλέπω ότι κάθε χρόνο μετά τις εξετάσεις λέμε :
Με ποια άσκηση του σχολικού βιβλίου μοιάζει το θέμα αυτό ή αυτή η ερώτηση ;Το έλυνε ο μαθητής αν είχε λύσει αυτή(...) την άσκηση ;
Δεν σας κρύβω ότι και γω στις εξετάσεις δε φοβάμαι τίποτα πιο πολύ από το να τεθεί μια μικρή παραλλαγή ή επέκταση μας σχολικής άσκησης και να μου πουν : Να κύριε, αυτή δεν την είχαμε ξαναλύσει ή δεν την προσέξαμε !

Επειδή λοιπόν είναι από κάθε σκοπιά παράλογο οι μαθητές μας να έχουν λύσει χίλιες εξωσχολικές ασκήσεις και να χάσουν μια σχολική, άρχισα από χθες να παίρνω μία - μία τις πιο χαρακτηριστικές ασκήσεις του σχολικού και να τις κάνω θέματα ή να κρύβω τις ιδέες των ασκήσεων μέσα σε απλές κατά τα άλλα ασκήσεις - θέματα.

Θεωρώ πως θα ήταν μια εξαιρετική βοήθεια προς τους μαθητές (και τους εαυτούς μας ίσως) να συλλέξουμε όσα περισσότερα μπορούμε από αυτά τα θέματα(ή και ασκήσεις του ενός ερωτήματος).
Θα έχει νομίζω ενδιαφέρον για δύο τουλάχιστον ακόμα χρόνια !
Αρχίζω με δυο θέματα από τα ολοκληρώματα(η ιδέα είναι από τις πρώτες γενικές ασκήσεις του σχολικού) και συνεχίστε εσείς με ό,τι κρίνετε ωραίο και σημαντικό :


ΑΣΚΗΣΗ 1(γεν.2/σελ 352)

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f(x)= \frac {1}{\sin x} , x\in (0,\pi).

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.

β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C_f τον άξονα x'x και τις ευθείες με εξισώσεις x= \frac {\pi}{3},  x= \frac {\pi}{2}.

Μπάμπης


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Απρ 12, 2011 5:53 pm

ΑΣΚΗΣΗ 2(γεν.6,σελ 352)

Δίνονται οι συναρτήσεις :

f(x)=\int _1^x \sqrt {1-u^2}du και g(x)=\int _1^x f(t)dt

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f , g.

β)Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες.

γ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση g

δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τους άξονες των συντεταγμένων.

Μπάμπης


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από pana1333 » Τρί Απρ 12, 2011 9:17 pm

Μπάμπη καλησπέρα, πολύ ενδιαφέρον, μια παρατήρηση μόνο....Θα πρότεινα να γράφουμε σε κάθε άσκηση που φτιάχνουμε και ποια είναι η αντίστοιχη άσκηση στο σχολικό. Παράδειγμα άσκηση τάδε Σελ τάδε.....Νόμιζω θα ήταν χρήσιμο

Χαιρετώ


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Χάρης Γ.Λ.
Δημοσιεύσεις: 110
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 10:53 am
Τοποθεσία: Κατερίνη
Επικοινωνία:

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Χάρης Γ.Λ. » Τρί Απρ 12, 2011 9:30 pm

Καλησπέρα σε ολους ,

Είχα πάντοτε τον ίδιο ενδοιασμό με τον Μπάμπη κ πιστεύω ότι τον έχουν κ πολλοί ακόμα που κάνουν μαθήματα στα φροντιστήρια ή και στην σχολική τάξη. Γι αυτό το λόγο <<ανάγκαζα>> τους μαθητές να διαβάζουν κάποιες από τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου. Επισυνάπτωω το αντίστοιχο αρχείο στο οποίο έχω γράψει ποιες από τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ανά παράγραφο πρέπει να ξέρει να λύνει κάθε μαθητής που ετοιμάζετε για τις πανελλήνιες .
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ(για διάβασμα).pdf
(51.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 1481 φορές


Χάρης Γ. Λάλας
___________________
\displaystyle{\sum\limits_n {{n^{ - s}}}  = \prod\limits_p {{{\left( {1 - {p^{ - s}}} \right)}^{ - 1}}} }
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Μπάμπης Στεργίου » Τρί Απρ 12, 2011 10:23 pm

pana1333 έγραψε:Μπάμπη καλησπέρα, πολύ ενδιαφέρον, μια παρατήρηση μόνο....Θα πρότεινα να γράφουμε σε κάθε άσκηση που φτιάχνουμε και ποια είναι η αντίστοιχη άσκηση στο σχολικό. Παράδειγμα άσκηση τάδε Σελ τάδε.....Νόμιζω θα ήταν χρήσιμο

Χαιρετώ


Χρήστο, μόλις είχα βγει μια βολτίτσα να ξεθολώσω λίγο από τα βιβλία και σκέφτηκα ακριβώς το ίδιο !!!
Σε κάθε θέμα ή ερώτημα θα γράφουμε στο τέλος ποια άσκηση του σχολικού καλύπτουμε.
Αυτό ήταν καλό να το είχαμε ξεκινήσει πέρυσι, αλλά δεν πειράζει. Ό,τι προλάβουμε !
Θα προσπαθήσω να εστιάσω σε μερικές ασκήσεις που ο μαθητής δεν βρίσκει συνέχεια μπροστά του. Για παράδειγμα η εύρεση συνόλου τιμών και πλήθους ριζών είναι πασίγνωστο ερώτημα. Όλα σχεδόν τα υπολογιστικά θέματα έχουν τέτοια ερωτήματα. Πρώτα λοιπόν να εντοπίσουμε τα πιο περίεργα και όχι τα τόσο ''φορεμένα'', αν και εδώ που τα λέμε τα πάντα έχουν σχεδόν αναλυθεί σε υπερβολικό βαθμό. Αλλά ο μαθητής είναι μαθητής και κανένας δεν μπορεί να προβλέψει που θα σκοντάψει !
Δεν σας κρύβω ότι μερικές φορές αναρωτιέμαι τι ζητάμε με όλη αυτή την υπερπροσπάθεια ανάλυσης και εντοπισμού ακόμα και του πιο περίεργου ερωτήματος. Ας αφήσουμε όμως αυτό το μέγα ζήτημα για άλλη φορά και ας δούμε τι θα μπορέσουμε να κάνουμε τώρα, μια και ανοίχθηκε το θέμα.

Μπάμπης


KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Απρ 14, 2011 11:58 am

Καλημέρα :logo: συμφωνώ απόλυτα, ότι μία πηγή εμπνευσης και ιδεών για δημιουργία θεμάτων είναι οι ασκήσεις του σχολικού και βλέποντας την 8 σελ 292 και παίρνοντας την συνάρτηση της 6 της ίδιας σελίδας δημιούργησα το παρακάτω...

ΑΣΚΗΣΗ 3

Αν f:(0,\,\,+\infty )\to R και g:R\to R παραγωγίσιμες συναρτήσεις ώστε να ισχύουν f(g(x))g(x)=x,\,\,x\in R και {f}'(g(x)){g}'(x)=\frac{1-x}{{{e}^{x}}},\,\,x\in Rμε g(0)=1
Α) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο A(1,\,g(1)) είναι η y=g(1)x
Β) Να αποδειχθεί ότι f(x)=\frac{\ln x}{x},\,\,x\in (0,\,\,+\infty )και ότι είναι κοίλη,στο (0,\,\,e\sqrt{e}) και η g κυρτή στο R
Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη x=1
Δ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των γραφικών παραστάσεων των fκαι g και των ευθειών x=1,\,\,x=\ln3
Ε) Να δείξετε ότι {{e}^{\sqrt{6-2e}}}>\ln 3

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

...o πολιτικός μηχανικός το είχε στο σχέδιο....αλλά ο κατασκευαστής έκανε τα δικά του...Συγγνώμη αν ταλαιπωρησα άδικα κάποιους με το κατασκευαστικό μου λάθος στο (Ε)


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
KAKABASBASILEIOS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1374
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Απρ 16, 2011 1:16 pm

ΑΣΚΗΣΗ 4

Καλημέρα :logo: συνεχίζοντας την περιπλάνηση στις ασκήσεις του σχολικού και βλέποντας την 9 της σελ 292 δημιούργησα την παρακάτω...

Α) Να βρεθεί η μεγαλύτερη τιμή του x>0 για την οποία ισχύει x-x\ln x\ge 0
Β) Αν f(x)=x-\lambda \ln x,\,\,\,x>0 με \lambda >0 να βρείτε την εφαπτομένη (\varepsilon ) της γραφικής παράστασης της f, ώστε τα σημεία της f, να είναι όλα πάνω από τα σημεία της (\varepsilon ) εκτός του σημείου επαφής
Γ) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση F(x)=\int\limits_{1}^{\ln x}{({{e}^{t}}-et)dt}
Δ) Αν a>0 να δείξετε ότι \int\limits_{1}^{a}{({{e}^{t}}-et)dt}>1-\frac{e}{2}

...ελπίζω ο κατασκευαστής να εφαρμοσε σωστά τα σχέδια του μηχανικού..

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα-Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από chris » Κυρ Απρ 17, 2011 1:13 am

Θα προσπαθήσω να δώσω λύση στις ασκήσεις που προτείνετε(ή σε κάποιες απο αυτές) όσο πιο αναλυτικά γίνεται ώστε να είναι συγκεντρωμένες και οι λύσεις στον ίδιο φάκελο.Ας δούμε τις πρώτες 2 για αρχή.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : \displaystyle f(x)= \frac {1}{\eta \mu  x} , x\in (0,\pi).

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.

β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f.

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C_f τον άξονα x'x και τις ευθείες με εξισώσεις \displaystyle x= \frac {\pi}{3},  x= \frac {\pi}{2}.



ΛΥΣΗ 1ης ΑΣΚΗΣΗΣ

α)
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με
\displaystyle f'(x)=\frac{-\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^2x},x\in \left(0,\pi  \right)

\bullet Λύνουμε την εξίσωση:\displaystyle f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{-\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^2x} =0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x=0\stackrel{x\in \left(0,\pi  \right)}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}
\bullet Λύνουμε την ανίσωση:\displaystyle f'(x)>0\Leftrightarrow \frac{-\sigma \upsilon \nu x}{\eta \mu ^2x} >0\stackrel{\eta \mu ^2x>0}\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x<0\stackrel{x\in \left(0,\pi  \right)}\Leftrightarrow x \in \left(\frac{\pi }{2},\pi  \right)

Κατασκευάζουμε πίνακα μονοτονίας:
\displaystyle \begin{tabular}{|l|ccc|}\hline x & 0 & \;\;\;\; \; \pi/2 & \;\;\;\;\;\;\; \pi \\\hline f{'}(x) & \;\;\;\; - & \;\;\; 0 & + \\\hline f(x)& \;\;\;\;\;\;\; \searrow & \;\; & \;\;\;\;\;\; \nearrow \\\hline \end{tabular}
Άρα f γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2} \right] και γνησίως αύξουσα στο \displaystyle \left[\frac{\pi}{2},\pi \right)

H f' είναι επίσης παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της οπότε:
\displaystyle f''(x)=\frac{\eta \mu ^3x-2\eta \mu x\cdot \sigma \upsilon \nu x\left(-\sigma \upsilon \nu x \right)}{\eta \mu ^4x}=\frac{\eta \mu ^2x+2\sigma \upsilon \nu ^2x}{\eta \mu ^3x}=\frac{1+\sigma \upsilon \nu ^2x}{\eta \mu ^3x}>0,\forall x \in \left(0,\pi  \right)
άρα η f είναι κυρτή στο πεδίο ορισμού της.

β)

Η f είναι συνεχής στο (0,\pi ) οπότε θα εξετάσουμε τι συμβαίνει στα άκρα του διαστήματος.
Είναι \displaystyle  \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{\eta \mu x}=+\infty
και \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow \pi^-}\frac{1}{\eta \mu x}=+\infty

άρα οι ευθείες x=0 και x=\pi είναι κατακόρυφες ασύμπτωτες της C_f.

γ)
\displaystyle f(\left(0,\pi \right))=f\left(\left(0,\frac{\pi}{2} \right] \right)\cup f\left(\left(\frac{\pi}{2},\pi \right) \right)=\left[f\left(\frac{\pi}{2}\right),\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)  \right) \cup \left(f\left(\frac{\pi}{2} \right),\lim_{x \rightarrow \pi^-}f(x) \right)=\left[1,+\infty \right)\cup \left(1,+\infty \right)=\left[1,+\infty \right)

δ)
\displaystyle E=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\left|\frac{1}{\eta \mu x} \right|dx}\stackrel{\eta \mu x>0}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\eta \mu x} dx}=  \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}{\frac{\eta \mu ^2\frac{x}{2}+\sigma \upsilon \nu ^2\frac{x}{2}}{2\eta \mu \frac{x}{2}\cdot \sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}}dx}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\eta \mu \frac{x}{2}}{2\sigma \upsilon \nu \frac{x}{2}}dx}+\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sigma \upsilon \nu  \frac{x}{2}}{2 \eta \mu  \frac{x}{2}}dx}  =\left[ln\left(2\eta \mu  \frac{x}{2}\right) -ln\left(2\sigma \upsilon \nu  \frac{x}{2} \right)\right]^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}} =\frac{ln3}{2}
Ένα πρόχειρο γράφημα στο διάστημα που μας ενδιαφέρει!
ημχ,.png
ημχ,.png (5.22 KiB) Προβλήθηκε 6691 φορές


Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Δίνονται οι συναρτήσεις :

\displaystyle f(x)=\int _1^x \sqrt {1-u^2}du και \displaystyle g(x)=\int _1^x f(t)dt

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f , g.

β)Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες.

γ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση g

δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τους άξονες των συντεταγμένων.


ΛΥΣΗ 2ης ΑΣΚΗΣΗΣ


α)
Η συνάρτηση \displaystyle h(u)=\sqrt{1-u^2} έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{A}=\left[-1,1 \right] αφού πρέπει και αρκεί \displaystyle 1-u^2\geq 0\Leftrightarrow \left|u \right|\leq 1\Leftrightarrow -1\leq u\leq 1

Επομένως απαιτούμε:
\displaystyle \begin{cases}
 1 \in \mathbb{A}  \\ 
   x \in \mathbb{A}
\end{cases} απο όπου προκύπτει \displaystyle D_f=\mathbb{A}=\left[-1,1 \right]
Ομοίως για την συνάρτηση g πρέπει και αρκεί τα άκρα του ολοκληρώματος να ανήκουν στο ίδιο υποδιάστημα του πεδίου ορισμού της f οπότε προκύπτει \displaystyle D_g=D_f=\mathbb{A}=\left[-1,1 \right]

β)
Η συνάρτηση h(u) είναι συνεχής στο \mathbb{A} ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων επομένως στο ίδιο διάστημα η συνάρτηση \displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}{\sqrt{1-u^2}du} είναι παραγωγίσιμη.
Όμως η f ως παραγωγίσιμη απο γνωστό θεώρημα είναι και συνεχής.Επομένως η συνάρτηση \displaystyle g(x)=\int_{1}^{x}{f(t)dt} είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{A} άρα και συνεχής!

γ)
Αποδείξαμε οτι η g είναι παραγωγίσιμη και ισχύει:
\displaystyle g'(x)=f(x),x \in \mathbb{A}

Για κάθε u \in \mathbb{A} ισχύει: \sqrt{1-u^2}>0(1)
\bullet Για x=1 είναι \displaystyle g'(1)=f(1)=\int_{1}^{1}{\sqrt{1-u^2}du}=0
\bullet Για x \in [-1,1) απο ολοκλήρωση της (1) στο [x,1] έχουμε:
\displaystyle \int_{x}^{1}{\sqrt{1-u^2}du}>0\Rightarrow \int_{1}^{x}{\sqrt{1-u^2}du}<0\Rightarrow f(x)<0\Rightarrow g'(x)<0, \forall x \in [-1,1)

Επομένως g'(x)\leq 0,\forall x \in \mathbb{A} με το ίσον να ισχύει σε ένα μεμονωμένο σημείο άρα g γνησίως φθίνουσα στο [-1,1]

Εφόσον η f είναι παραγωγίσιμη τότε είναι και η g' και ισχύει:
\displaystyle g''(x)=f'(x)=\sqrt{1-x^2}\geq 0,\forall x \in \mathbb{A} με το ίσον να ισχύει στα άκρα του διαστήματος άρα g κυρτή στο \mathbb{A} όντας και συνεχής σε αυτό.

δ)
Λύνοντας την εξίσωση f(x)=0 λαμβάνουμε την προφανή λύση x=1 που είναι και μοναδική επομένως το ζητούμενο εμβαδό είναι:
\displaystyle E=\int_{0}^{1}{\left|f(x) \right|dx}\stackrel{f(x)\leq 0,x \in[0,1] }=-\int_{0}^{1}{f(x)dx}=-\int_{0}^{1}{(x)'f(x)dx}=-\left[xf(x) \right]_0^1+\int_{0}^{1}{xf'(x)dx}=-f(1)-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{\left(1-x^2 \right)'\sqrt{1-x^2}dx}\stackrel{1-x^2=u,(1-x^2)'dx=du}=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}{\sqrt{u}du}=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{u^{\frac{1}{2}}du}=\frac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right]_0^1=\frac{1}{3}


Φιλικά


Στραγάλης Χρήστος
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Απρ 20, 2011 7:59 pm

ΑΣΚΗΣΗ 5

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f(x)=-x^3+3x-a , με a \in \mathbb R.

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.

β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f.

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

δ) Για τις διάφορες τιμές του a να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f(x)=0

Σχόλιο :

Στο δ) νομίζω θα είχαμε πρόβλημα με τη διερεύνηση !

Μπάμπης


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Απρ 20, 2011 8:58 pm

ΑΣΚΗΣΗ 6

A. Έστω η συνάρτηση \displaystyle{
f
} με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών αριθμών που ικανοποιεί τη σχέση: \displaystyle{
f'(x) + e^{f(x)}  = x + \frac{1}{x},\forall x > 0
} με \displaystyle{
f(1) = 0
} .
α) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x)=xe^{\frac {x^2}{2}}e^{-f(x)}, όπου x\in (0,+\infty), να αποδείξετε ότι :

g'(x)= (e^{\frac {x^2}{2}}){'}, x > 0

β) Να βρείτε τον τύπο της f

B. Έστω M(a,f(a)) ένα σημείο της C_f που αποκρύνεται από τον άξονα των τεταγμένων με ρυθμό 2m/s.

α) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού E(a) που περικλείεται από τη C_f, τον άξονα x'x και την ευθεία x=a τη στιγμή που η τετμημένη του M είναι e.

β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Mμε τον άξονα x'x τη στιγμή που η τετμημένη του M είναι e.

Μπάμπης

Σχόλιο :

Το Α το έχουμε κουβεντιάσει αυτές τις μέρες στο viewtopic.php?f=27&t=14717
Ήθελα να καλυψουμε αυτές τις μέρες και τα δύο σοβαρά ερωτήματα στο ρυθμό μεταβολής που ταιριάζουν σε κάθε συνάρτηση με γνωστό τύπο.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 10:34 am

ΑΣΚΗΣΗ 7

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει ότι : |z-3-4i|=2

α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας M του z

β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του |z|

γ) Έστω z_1,z_2 δύο από τους μιγαδικούς που επαληθεύουν τη δoσμένη σχέση με |z_1-z_2| = 4.
Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων :

i) A= |z_1+z_2|

ii) B= |z -z_1|^2+ |z-z_2|^2

Σχόλιο :

- Η άσκηση αυτή καλύπτει εκτός των άλλων και την άσκηση Β.7, σελίδα 102

- Θα μπορούσε να δοθεί αντί του κύκλου , ο κυκλικός δίσκος |z-3-4i| \leq 2


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 12:13 pm

ΑΣΚΗΣΗ 8(συνδυασμός ασκήσεων - γενικό θέμα)

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών που έχει την ιδιότητα :

f(x\cdot y)=f(x)+f(y), \forall x,y >0

A. Να αποδείξετε ότι :

α) f(\frac {1}{x})=-f(x) και f(\frac {x}{y})=f(x)-f(y) για κάθε x,y >0

β) Αν η εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική ρίζα, τότε η f αντιστρέφεται.

Β.Αν η f είναι συνεχής σε κάποιο a>0,να αποδειχθεί ότι είναι συνεχής και να βρεθεί το όριο \displaystyle A= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)

Γ. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 με f '(1)=1, να βρεθεί o τύπος της συνάρτησης αυτής.

Μπάμπης


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 12:16 pm

ΑΣΚΗΣΗ 9 (Συνδυασμός)

Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το \mathbb R που είναι συνεχής στο 0 και έχει την ιδιότητα :

f(x+y)=f(x)+f(y) + 6xy για κάθε x,y \in \mathbb R

α) Να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής .

β) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα : I= \int _{-1}^1 f(x)dx

γ) Αν η f είναι και παραγωγίσιμη στο 0 με f '(0)=0 , να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f.

Μπάμπης


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 12:18 pm

ΑΣΚΗΣΗ 10 (γενικό θέμα)

Μια συνάρτηση \displaystyle{f:(0,\infty ) \to (0,\infty )} είναι παραγωγίσιμη.Υποθέτουμε ότι υπάρχει αρχική F της f με την ιδιότητα :

\displaystyle{2(F(x) - f(x)) = {f^2}(x),\forall x > 0}.

Να αποδειχθεί ότι :

α) η f είναι γνησίως αύξουσα,

β) η f είναι κυρτή,

γ) \displaystyle{\mathop {\lim f}\limits_{x \to +\infty } (x) = +\infty },

δ) \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \frac{{f(x)}}{x} = 1}

Μπάμπης


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 12:22 pm

ΑΣΚΗΣΗ 11(συνδυασμός)

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x^2 - 2lnx - 1

α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.

β) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f

γ) Να βρείτε τους θετικούς αριθμούς a,b,c , αν ισχύει ότι :

f(a)+f(b)+f(c) = 0

δ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα x'x, τη γραφική παράσταση της f

και την ευθεία x=e

Μπάμπης


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 12:36 pm

ΑΣΚΗΣΗ 12

Α. Να λυθεί η εξίσωση z^2+z+1=0 και να αποδειχθεί ότι οι ρίζες της έχουν μετρο 1.

B. Αν a είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης , να αποδειχθεί ότι a^{2010} = 1.

Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί z , για τους οποίους ισχύει ότι :

z^{2012} +z+1 = 0 και |z|=1

Μπάμπης

Έχει συζητηθεί εδώ : viewtopic.php?f=51&t=11948


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 12:41 pm

ΑΣΚΗΣΗ 13(γενικό θέμα)


Δίνονται οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί \displaystyle{
{\rm{z}}{\rm{,a}}{\rm{,b}}{\rm{,c}}{\rm{,d }}} με \displaystyle{
z = a + b + c + d
}

και

\displaystyle{
|z - a| = |a|,|z - b| = |b|,|z - c| = |c|,|z - d| = |d|
}

Να αποδειχθεί ότι :

α) \displaystyle{
z = 0
}

β) Αν οι μιγαδικοί \displaystyle{
{\rm{a}}{\rm{,b}}{\rm{,c}}{\rm{,d }}
} έχουν ίσα μέτρα, τότε :

i) \displaystyle{
\overline a b + a\overline b  = \overline c d + c\overline d 
}

ii) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές τις εικόνες των αριθμών \displaystyle{
{\rm{a}}{\rm{,b}}{\rm{,c}}{\rm{,d }}
} είναι ορθογώνιο.

Μπάμπης

Τη συζητήσαμε στο viewtopic.php?f=51&t=7991


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 12:44 pm

ΑΣΚΗΣΗ 14 (συνδυασμός ασκήσεων, σελ.101-102 )

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α,β,γ με

\displaystyle{
|{\rm{\alpha | = |\beta | = |\gamma |  =  2 }}{\rm{, \alpha  + \beta  + \gamma   = 1}}
}

α) Να αποδειχθεί ότι :

\displaystyle{
{\rm{(\alpha  + }}\overline {\rm{\beta }} {\rm{)(\beta  + }}\overline {\rm{\gamma }} {\rm{)(\gamma  + }}\overline {\rm{\alpha }} {\rm{) }}\, \in \mathbb R 
}

β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

\displaystyle{
{\rm K} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{\alpha }}} + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{\beta }}} + \frac{{\rm{1}}}{{\rm{\gamma }}}
}

γ) Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{
|\alpha  + \beta | + |\beta  + \gamma | + |\gamma  + \alpha | \ge 2
}

Μπάμπης
(Δείτε το viewtopic.php?f=51&t=6670)


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 12:47 pm

ΑΣΚΗΣΗ 15(προεκτάσεις )

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α , β , γ που έχουν μέτρο 1 και άθροισμα διάφορο του μηδενός. Αν ισχύει ότι

\alpha ^2 \, + \,\beta ^2 \, + \,\gamma ^2 \, = 0 , να αποδειχθεί ότι :

α) |\alpha ^2  + \beta ^2 |\, = \,|\beta ^2  + \gamma ^2 |\, = \,\,|\gamma ^2  + \alpha ^2 |


β) \frac{1}{{\alpha ^2 }}\, + \frac{1}{{\beta ^2 }}\,\, + \,\frac{1}{{\gamma ^2 \,}} = 0

γ) Οι εικόνες των αριθμών \alpha \,,\,\,\beta \,\,,\,\gamma ,\,\,\alpha \beta \gamma \,,\,\,\frac{{\alpha \beta  + \beta \gamma  + \gamma \alpha }}{{\alpha  + \beta  + \gamma }} είναι ομοκυκλικά σημεία.

δ) |\alpha  + \beta  + \gamma |\,\, = \,2

Μπάμπης

(Δείτε viewtopic.php?f=51&t=6174)


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5194
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Φτιάχνουμε θέματα από το Σχολικό !

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Απρ 21, 2011 1:06 pm

ΑΣΚΗΣΗ 16 (γενικό στους μιγαδικούς)

Τρεις μιγαδικοί αριθμοί a,b,c έχουν μέτρο 1 και ικανοποιούν τη σχέση :

a+b+c=1

Να αποδειχθεί ότι :

α) ab+bc+ca = abc

β) (1-a)(1-b)(1-c) = 0

γ) \frac{1}{a^{2009}} +\frac{1}{b^{2009}} + \frac{1}{c^{2009}}  = 1

δ) Αν οι αριθμοί a,b,c είναι διαφορετικοί ανά δύο , τότε οι εικόνες τους σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.

Μπάμπης
( Δείτε το viewtopic.php?f=51&t=871)



Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης