Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από mathxl » Δευ Μάιος 26, 2014 3:04 pm

Ας γράφουμε εδώ τις λύσεις των θεμάτων που αναλάβαμε σε λάτεξ και ας ανοιχτεί αντίστοιχο τόπικ για την Γεωμετρία.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από mathxl » Δευ Μάιος 26, 2014 3:33 pm

Άσκηση 481
Δίνεται η εξίσωση {x^2} - 2\lambda x + 4\left( {\lambda  - 1} \right) = 0 , με παράμετρο \displaystyle{\lambda  \in R} .
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε \displaystyle{\lambda  \in R} .
(Μονάδες 8)
γ) Αν {x_1},{x_2} είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει:
{x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2} (Μονάδες 9)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ
α) Είναι \Delta  = {\left( { - 2\lambda } \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 4\left( {\lambda  - 1} \right) = 4{\lambda ^2} - 16\lambda  + 16 = 4\left( {{\lambda ^2} - 4\lambda  + 4} \right) = 4{\left( {\lambda  - 2} \right)^2}

β) Επειδή για κάθε \displaystyle{\lambda  \in R} είναι \Delta  = 4{\left( {\lambda  - 2} \right)^2} \ge 0 η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς.
γ) Από τους τύπους Vieta έχουμε: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} + {x_2} =  - \frac{\beta }{\alpha }}\\
{{x_1}{x_2} = \frac{\gamma }{\alpha }}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1} + {x_2} = 2\lambda }\\
{{x_1}{x_2} = 4\lambda  - 4}
\end{array}} \right. .
Οπότε
{x_1} + {x_2} = {x_1}{x_2} \Leftrightarrow 2\lambda  = 4\lambda  - 4 \Leftrightarrow \lambda  = 2


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από mathxl » Δευ Μάιος 26, 2014 4:21 pm

Ασκηση 1015
ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η αριθμητική πρόοδος \displaystyle{({\alpha _\nu })} με όρους \displaystyle{{\alpha _2} = 0,{\alpha _4} = 4}.
α) Να αποδείξετε ότι ω = 2 και {\alpha _1} =  - 2 , όπου \displaystyle{\omega } είναι η διαφορά της προόδου και {\alpha _1} ο πρώτος όρος της. (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι ο \displaystyle{\nu  - o\sigma \tau \varsigma } όρος της προόδου είναι ίσος με {\alpha _\nu } = 2\nu  - 4,\nu  \in {N^ * } και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 98.
(Μονάδες 15)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ
α) Είναι
\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _2} = 0}\\
{{\alpha _4} = 4}
\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1} + \left( {2 - 1} \right)\omega  = 0}\\
{{\alpha _1} + \left( {4 - 1} \right)\omega  = 4}
\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1} + \omega  = 0}\\
{{\alpha _1} + 3\omega  = 4}
\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1} + \omega  = 0}\\
{{\alpha _1} + \omega  + 2\omega  = 4}
\end{array} \Leftrightarrow } \right.}

\displaystyle{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1} + \omega  = 0}\\
{0 + 2\omega  = 4}
\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1} + 2 = 0}\\
{\omega  = 2}
\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\alpha _1} =  - 2}\\
{\omega  = 2}
\end{array}} \right.}
β) Είναι {\alpha _\nu } = {\alpha _1} + \left( {\nu  - 1} \right)\omega  =  - 2 + 2\left( {\nu  - 1} \right) = 2\nu  - 4,\nu  \in {N^ * }
Για να βρούμε ποιος όρος της αριθμητικής προόδου ισούται με 98 αρκεί να βρούμε το \nu ώστε {\alpha _\nu } = 98 .
Έχουμε {\alpha _\nu } = 98 \Leftrightarrow 2\nu  - 4 = 98 \Leftrightarrow \nu  = 51 . Άρα ο ζητούμενος όρος είναι ο {\alpha _{51}} .


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από mathxl » Δευ Μάιος 26, 2014 4:24 pm

PanosG έγραψε:Ας δει αυτός που θα οργανώσει τις λύσεις ή κάποιος άλλος αν η μορφή που τα έχω γράψει στο word είναι εντάξει
ή πρέπει να αλλάξω κάτι.

Για αυτόν τον λόγο είναι καλό να τις γράψουμε και σε λάτεξ μήπως μας ξεφύγει και κάτι. Ο συντονιστής απλά να κάνει αντιγραφή και όχι διόρθωση.

Να δούμε ποιος "Παρμενίδης" θα βρεθεί για το συμμάζεμα.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από PanosG » Δευ Μάιος 26, 2014 4:25 pm

mathxl έγραψε:
PanosG έγραψε:Ας δει αυτός που θα οργανώσει τις λύσεις ή κάποιος άλλος αν η μορφή που τα έχω γράψει στο word είναι εντάξει
ή πρέπει να αλλάξω κάτι.

Για αυτόν τον λόγο είναι καλό να τις γράψουμε και σε λάτεξ μήπως μας ξεφύγει και κάτι. Ο συντονιστής απλά να κάνει αντιγραφή και όχι διόρθωση.

Να δούμε ποιος "Παρμενίδης" θα βρεθεί για το συμμάζεμα.


Εντάξει σε latex αλλά ζητήθηκε και σε word γι'αυτο ρωτάω αν είναι o.k.


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2295
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Δευ Μάιος 26, 2014 4:26 pm

PanosG έγραψε:Ας δει αυτός που θα οργανώσει τις λύσεις ή κάποιος άλλος αν η μορφή που τα έχω γράψει στο word είναι εντάξει
ή πρέπει να αλλάξω κάτι.


τέλεια


Καρδαμίτσης Σπύρος
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από PanosG » Δευ Μάιος 26, 2014 4:27 pm

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:
PanosG έγραψε:Ας δει αυτός που θα οργανώσει τις λύσεις ή κάποιος άλλος αν η μορφή που τα έχω γράψει στο word είναι εντάξει
ή πρέπει να αλλάξω κάτι.


τέλεια

Ωραία λοιπόν, συνεχίζω.


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6738
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από mathxl » Δευ Μάιος 26, 2014 4:30 pm

Κάτι τελευταίο. Για να μην γεμίσει ο ιστότοπος με γουόρντ. Ας οριστεί-βρεθεί κάποιος που θα κάνει το συμμάζεμα για να του στείλουμε τα αρχεία με ι - μέιλ. Το δικό μου είναι έτοιμο. Περιμένω τον παραλήπτη.
Το τελικό αρχείο γουόρντ μετά θα μπορεί να ανέβει στην τράπεζα θεμάτων.


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
makisman
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Τετ Μαρ 03, 2010 12:20 am

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από makisman » Δευ Μάιος 26, 2014 5:03 pm

η ALG_4_2082 ,έχει τυπογραφικό λάθος στο α. και επιπλέον ασάφεια στο γ αφου δεν διευκρινίζει αν ειναι διαφορετικές οι λύσεις με αποτέλεσμα το γ.ii να μην ισχύει παραίτητα.


Θεοδωρος Παγωνης
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Θεοδωρος Παγωνης » Δευ Μάιος 26, 2014 5:22 pm

4295

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί \displaystyle{y}, για τους οποίους ισχύει \displaystyle{\left| y-2 \right|<1}.
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{y\in \left( 1,3 \right)}.
β) Να απλοποιήσετε την παράσταση \displaystyle{K=\frac{\left| y-1 \right|+\left| y-3 \right|}{2}}

Ενδεικτικές απαντήσεις :

α) \displaystyle{\left| y-2 \right|<1\Leftrightarrow -1<y-2<1\Leftrightarrow -1+2<y-2+2<1+2\Leftrightarrow 1<y<3}, άρα \displaystyle{y\in \left( 1,3 \right)}.
β) Επειδή \displaystyle{y\in \left( 1,3 \right)} ισοδύναμα θα έχω :
\displaystyle{1<y<3\Leftrightarrow 1-1<y-1<3-1\Leftrightarrow 0<y-1<2} , επομένως \displaystyle{\left| y-1 \right|=y-1} και
\displaystyle{1<y<3\Leftrightarrow 1-3<y-3<3-3\Leftrightarrow -2<y-3<0} , επομένως \displaystyle{\left| y-3 \right|=3-y}.
Άρα η δοθείσα παράσταση απλοποιείται ως εξής : \displaystyle{K=\frac{\left| y-1 \right|+\left| y-3 \right|}{2}=\frac{y-1+3-y}{2}=\frac{2}{2}=1}.


Θεοδωρος Παγωνης
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Θεοδωρος Παγωνης » Δευ Μάιος 26, 2014 5:24 pm

4299

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \displaystyle{x} και \displaystyle{y} ισχύουν : \displaystyle{3\le x\le 5} και .\displaystyle{-2\le y\le -1} , να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων βρίσκονται οι τιμές των παραστάσεων :
α) \displaystyle{y-x}.
β) \displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}

Ενδεικτικές απαντήσεις :

α) Είναι \displaystyle{-2\le y\le -1} (1) και \displaystyle{3\le x\le 5\Leftrightarrow -3\ge -x\ge -5\Leftrightarrow -5\le -x\le -3} (2) .
Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε : \displaystyle{-7\le y-x\le -4}
\displaystyle{\begin{align}
  & -2\le y\le -1 \\ 
 & \underline{-5\le -x\le -3(+)} \\ 
 & -7\le y-x\le -4 \\ 
\end{align}}
άρα \displaystyle{y-x\in \left[ -7,-4 \right]}.
β) Είναι \displaystyle{-2\le y\le -1\Leftrightarrow 2\ge -y\ge 1\Leftrightarrow 1\le -y\le 2\Leftrightarrow {{1}^{2}}\le {{\left( -y \right)}^{2}}\le {{2}^{2}}\Leftrightarrow 1\le {{y}^{2}}\le 4} (1) και \displaystyle{3\le x\le 5\Leftrightarrow {{3}^{2}}\le {{x}^{2}}\le {{5}^{2}}\Leftrightarrow 9\le {{x}^{2}}\le 25} (2) .
Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έχουμε : \displaystyle{10\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 29}
άρα \displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\in \left[ 10,29 \right]}.


Οι δυο πρώτες είναι έτοιμες . Οι υπόλοιπες (4300,4301,4302,4303,4304,4305,4306,4308) το βράδυ μετά το μάθημα .


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από pana1333 » Δευ Μάιος 26, 2014 6:07 pm

Καλησπέρα....και εγώ τα έχω έτοιμα σε word. Εκκρεμεί το που τα στέλνουμε :)


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Καρδαμίτσης Σπύρος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2295
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:14 pm
Επικοινωνία:

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Καρδαμίτσης Σπύρος » Δευ Μάιος 26, 2014 7:41 pm

ΓΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

mathxl 481-499
gavrilos 7677-8458
Christos.N 503 - 938
Κατσίπης 944 - 1005
Τηλέγραφος 1007-1057
perpant 1062 - 1088
Στόγιας 1089 - 1101
panosG 1102- 1287
exdx 1288-1509
Χασάπης 1521 - 1533
Καναβής 2212 - 3828
Νικολόπουλος 3859 - 4299
Παγώνης 4295 – 4308
sifis 4308 – 8173
mg2002 473-480
Πρωτοπαπάς 1868 - 2055
Ιωάννου 2064 – 2229
ji2mada 2006 2234 - 2313
..............................
.............................
..............................


Γράφουμε σε word: αριθμός άσκησης όπως την έδωσε το ΙΕΠ -
εκφώνηση και λύση.

1-Γραμματοσειρά TimesnewRoman
2-Μέγεθος Γραμματοσειράς 12
3-όλα τα μαθηματικά σύμβολα σε math type
4-Αναλυτικός τρόπος λύσης
5- Κάθε λύση να δημοσιεύεται και σε latex


Mόλις ετοιμαστούν τα στέλνετε στο μέηλ μου

spyroskardamitsis@hotmail.com

σε αρχείο doc (το προτιμώ γιατί έχω παλιό υπολογιστή) με τίτλο τον αριθμό των ασκήσεων πχ 503 – 938
και σε δεύτερο αρχείο γραμμένα με latex (όποιος δεν γνωρίζει τα μετατρέπω εγώ)

Αν κάποιος τελείωσε την δεκάδα του και έχει κουράγιο να συνεχίσει ευχαρίστως με πμ να τον καταγράψω και σε άλλη ομάδα ασκήσεων
τελευταία επεξεργασία από Καρδαμίτσης Σπύρος σε Δευ Μάιος 26, 2014 11:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Καρδαμίτσης Σπύρος
pap65
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από pap65 » Δευ Μάιος 26, 2014 9:57 pm

κάνω τα 4679,4680,4681,4682,2238
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Τρί Μάιος 27, 2014 11:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
pap65
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από pap65 » Δευ Μάιος 26, 2014 10:53 pm

Άσκηση 4679
Δίνεται η συνάρτηση: f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-x+\frac{a}{4}}
α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού \alpha, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \displaystyle{f} να είναι το σύνολο\mathbb{R} . (Μονάδες 10)
β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησηςf διέρχεται από το σημείο A\left( 0,\frac{1}{2} \right) , τότε:
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\alpha =1} και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύμβολο της
τετραγωνικής ρίζας. (Μονάδες 7)
ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=\frac{1}{2} . (Μονάδες 8)
Προτεινόμενη Λύση
α) Θα πρέπει {{x}^{2}}-x+\frac{a}{4}\ge 0 για κάθε x\in \mathbb{R} , επομένως \Delta \le 0 . Άρα \Delta =1-a\le 0\Leftrightarrow a\ge 1
β) i) Άρα f(0)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{4}}=\frac{1}{2} ,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), ότι \displaystyle{\alpha =1}
Για \displaystyle{\alpha =1} τότε \displaystyle{f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-x+\frac{1}{4}}=\sqrt{{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\left| x-\frac{1}{2} \right|}
ii) f(x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left| x-\frac{1}{2} \right|=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\displaystyle{x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}} ή \displaystyle{x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}} , επομένως x=0 ή x=1


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
pap65
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από pap65 » Δευ Μάιος 26, 2014 11:44 pm

Άσκηση 4680
Δίνεται η εξίσωση: {{x}^{2}}-x+\lambda -{{\lambda }^{2}}=0 με παράμετρο \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\ \quad \left( 1 \right)}
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα \displaystyle{\Delta } της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\ } (Μονάδες 10)
β) Για ποια τιμή του \displaystyle{\lambda } η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)
γ) Αν {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του \displaystyle{\lambda } ισχύει 0<d\left( {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} \right)<2 . (Μονάδες 9)
Προτεινόμενη Λύση
α) \Delta =1-4\left( \lambda -{{\lambda }^{2}} \right)=4{{\lambda }^{2}}-4\lambda +1={{\left( 2\lambda -1 \right)}^{2}}\ge 0. Επομένως αφού \Delta \ge 0 η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\ }.
β) Για να έχει η εξίσωση (1) δύο ρίζες ίσες πρέπει \Delta =0\Leftrightarrow {{\left( 2\lambda -1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \lambda =\frac{1}{2}
γ) Οι ρίζες της εξίσωσης (1) είναι: {{\chi }_{1}}\,=\frac{1+\left( 2\lambda -1 \right)}{2},\quad {{\chi }_{2}}\,=\frac{1-\left( 2\lambda -1 \right)}{2} Επομένως\left| {{\chi }_{1}}-\,{{\chi }_{2}} \right|=\left| \frac{1+\left( 2\lambda -1 \right)}{2}-\frac{1-\left( 2\lambda -1 \right)}{2} \right|=\left| 2\lambda -1 \right|
Όμως 0<d\left( {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} \right)<2\Leftrightarrow 0<\left| {{\chi }_{1}}-\,{{\chi }_{2}} \right|<2\Leftrightarrow 0<\left| 2\lambda -1 \right|<2
Το \left| 2\lambda -1 \right|>0 ισχύει για κάθε \displaystyle{\lambda \ne \frac{1}{2}\ }
Επίσης \left| 2\lambda -1 \right|<2\Leftrightarrow -2<2\lambda -1<2\Leftrightarrow -1<2\lambda <3\Leftrightarrow -\frac{1}{2}<\lambda <\frac{3}{2}
Άρα \lambda \in \left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)\bigcup \left( \frac{1}{2},\frac{3}{2} \right)


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
pap65
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από pap65 » Τρί Μάιος 27, 2014 12:02 am

Άσκηση 4681
Δίνεται η εξίσωση: {{x}^{2}}-x+\lambda -{{\lambda }^{2}}=0 με παράμετρο \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\ \quad \left( 1 \right)}
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα \displaystyle{\Delta } της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\ } (Μονάδες 10)
β) Για ποια τιμή του \displaystyle{\lambda } η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)
γ) Αν \lambda \ne \frac{1}{2} και {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες τιμές του \displaystyle{\lambda } ισχύει d\left( {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} \right)=\frac{1}{d\left( {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} \right)} . (Μονάδες 9)
Προτεινόμενη Λύση
α) \Delta =1-4\left( \lambda -{{\lambda }^{2}} \right)=4{{\lambda }^{2}}-4\lambda +1={{\left( 2\lambda -1 \right)}^{2}}\ge 0. Επομένως αφού \Delta \ge 0 η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\ }.
β) Για να έχει η εξίσωση (1) δύο ρίζες ίσες πρέπει \Delta =0\Leftrightarrow {{\left( 2\lambda -1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \lambda =\frac{1}{2}
γ) Οι ρίζες της εξίσωσης (1) είναι {{\chi }_{1}}\,=\frac{1+\left( 2\lambda -1 \right)}{2},\quad {{\chi }_{2}}\,=\frac{1-\left( 2\lambda -1 \right)}{2}
Επομένωςd\left( {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} \right)=\left| {{\chi }_{1}}-\,{{\chi }_{2}} \right|=\left| \frac{1+\left( 2\lambda -1 \right)}{2}-\frac{1-\left( 2\lambda -1 \right)}{2} \right|=\left| 2\lambda -1 \right|
Άρα για \lambda \ne \frac{1}{2} έχουμε d\left( {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} \right)=\frac{1}{d\left( {{\chi }_{1,}}\,{{\chi }_{2}} \right)}\Leftrightarrow \left| 2\lambda -1 \right|=\frac{1}{\left| 2\lambda -1 \right|}\Leftrightarrow {{\left| 2\lambda -1 \right|}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| 2\lambda -1 \right|=1
Επομένως 2\lambda -1=1 ή 2\lambda -1=-1
Δηλαδή \lambda =-1 ή \lambda =0


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Θεοδωρος Παγωνης
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Θεοδωρος Παγωνης » Τρί Μάιος 27, 2014 12:19 am

4300

Σε μια αριθμητική πρόοδο \displaystyle{\left( {{a}_{v}} \right)} ισχύουν : \displaystyle{{{a}_{1}}=2} και \displaystyle{{{a}_{25}}={{a}_{12}}+39} .
α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι \displaystyle{\omega =3}.
β) Να βρείτε ποιός όρος της προόδου είναι ίσος με \displaystyle{152}.

Ενδεικτικές απαντήσεις :

α) Γνωρίζω ότι ο νιοστός όρος μια προόδου δίνεται από τον τύπο \displaystyle{{{a}_{v}}={{a}_{1}}+\left( v-1 \right)\omega } , όπου \displaystyle{\omega } η διαφορά της προόδου . Οπότε για \displaystyle{v=25} έχω \displaystyle{{{a}_{25}}={{a}_{1}}+24\omega } (1) ενώ για \displaystyle{v=12} έχω \displaystyle{{{a}_{12}}={{a}_{1}}+11\omega }(2)
Άρα λόγω των (1),(2) η σχέση \displaystyle{{{a}_{25}}={{a}_{12}}+39} γίνεται \displaystyle{{{a}_{25}}={{a}_{12}}+39\Leftrightarrow {{a}_{1}}+24\omega ={{a}_{1}}+11\omega +39\Leftrightarrow 24\omega -11\omega =39\Leftrightarrow }
\displaystyle{13\omega =39\Leftrightarrow \omega =3}.
β) Για να βρούμε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος με 152 αρκεί να βρούμε το \displaystyle{v} ώστε \displaystyle{{{a}_{v}}=152}.
Οπότε έχουμε \displaystyle{{{a}_{v}}={{a}_{1}}+\left( v-1 \right)\omega \Leftrightarrow 152=2+3\left( v-1 \right)\Leftrightarrow 3\left( v-1 \right)=150\Leftrightarrow v-1=50\Leftrightarrow v=51} .
Άρα ο ζητούμενος όρος είναι ο \displaystyle{{{a}_{51}}}.


Θεοδωρος Παγωνης
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από Θεοδωρος Παγωνης » Τρί Μάιος 27, 2014 12:20 am

4301

Δίνεται αριθμητική πρόοδος \displaystyle{\left( {{a}_{v}} \right)} με διαφορά \displaystyle{\omega } .
α) Να δείξετε ότι : \displaystyle{\frac{{{a}_{15}}-{{a}_{9}}}{{{a}_{10}}-{{a}_{7}}}=2}.
β) Αν \displaystyle{{{a}_{15}}-{{a}_{9}}=18} , να βρείτε την διαφορά \displaystyle{\omega } της προόδου .

Ενδεικτικές απαντήσεις :

α) Γνωρίζω ότι ο νιοστός όρος μια προόδου δίνεται από τον τύπο \displaystyle{{{a}_{v}}={{a}_{1}}+\left( v-1 \right)\omega }.
Οπότε έχω \displaystyle{\frac{{{a}_{15}}-{{a}_{9}}}{{{a}_{10}}-{{a}_{7}}}=\frac{\left( {{a}_{1}}+14\omega  \right)-\left( {{a}_{1}}+8\omega  \right)}{\left( {{a}_{1}}+9\omega  \right)-\left( {{a}_{1}}+6\omega  \right)}=\frac{{{a}_{1}}+14\omega -{{a}_{1}}-8\omega }{{{a}_{1}}+9\omega -{{a}_{1}}-6\omega }=\frac{6\omega }{3\omega }=2}.
β) Είναι \displaystyle{{{a}_{15}}-{{a}_{9}}=18\Leftrightarrow \left( {{a}_{1}}+14\omega  \right)-\left( {{a}_{1}}+8\omega  \right)=18\Leftrightarrow {{a}_{1}}+14\omega -{{a}_{1}}-8\omega =18\Leftrightarrow 6\omega =18\Leftrightarrow \omega =3}.


Θεοδωρος Παγωνης
Δημοσιεύσεις: 311
Εγγραφή: Τετ Οκτ 26, 2011 2:10 pm
Τοποθεσία: Αγρίνιο

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Θεοδωρος Παγωνης » Τρί Μάιος 27, 2014 12:20 am

4302

Δίνεται η εξίσωση \displaystyle{\left( a+3 \right)x={{a}^{2}}-9}, με παράμετρο \displaystyle{a\in \mathbb{R}}.
α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις :
i) όταν \displaystyle{a=1}
ii) όταν \displaystyle{a=-3}
β) Να βρείτε τις τιμές του \displaystyle{a} , για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε την λύση αυτή .

Ενδεικτικές απαντήσεις :

α) i) Για \displaystyle{a=1} η δοθείσα εξίσωση γίνεται \displaystyle{4x=-8\Leftrightarrow x=-2}.
ii) Για \displaystyle{a=-3} η δοθείσα εξίσωση γίνεται \displaystyle{0x=0} η οποία είναι αόριστη .
β) Για να έχει η δοθείσα εξίσωση μοναδική λύση πρέπει \displaystyle{a+3\ne 0\Leftrightarrow a\ne -3} .
Για \displaystyle{a\ne -3} έχω \displaystyle{\left( a+3 \right)x=\left( a-3 \right)\left( a+3 \right)\Leftrightarrow x=\frac{\left( a-3 \right)\left( a+3 \right)}{a+3}\Leftrightarrow x=a-3} η μοναδική λύση .



Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Άλγεβρα A”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες