Ευχαριστούμε για την προσφορά .
Χρήσιμο γι΄αυτούς που σπουδάζουν τώρα αλλά και γι' αυτούς που σπούδασαν κάποτε.
Ευκαιρία να θυμηθούμε όμορφα πράγματα.

Πιθανώς έχει ξανατεθεί: να δειχθεί ότι η εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη* με κλίση μεταξύ $1/e$ και $(1/e)^2$. *συν την συμμετρική αυτής ;) Θεωρούμε τα σημεία $\displaystyle A(a,{{e}^{a}}),B(b,\ln b),a\in R,b>0$ Οι εφαπτόμενες προς τις γραφικές παραστάσεις είναι α...

Γεια σου Απόστολε

directrix=διευθετούσα
οπότε διευθετών κύκλος

Δίνω μια πιο γενική λύση... Εύκολα βρίσκουμε ότι ο ένας κύκλος $\displaystyle (L,r)$ είναι εσωτερικός του άλλου $\displaystyle (K,R)$ . Έστω ότι o άγνωστος κύκλος $\displaystyle (M,a)$ , εφάπτεται εσωτερικά στον $\displaystyle (K,R)$ και εξωτερικά στον $\displaystyle (L,r)$ . Τότε ισχύει $\displayst...

Αν όντως έτσι είναι η εκφώνηση (χωρίς ποσοδείκτες) τότε είναι σωστό αφού μεταφράζεται στο ότι οι τιμές των συναρτήσεων θα είναι ίσες ή αντίθετες. Ο Αποστόλης στην προηγούμενη ανάρτηση απαντά στην ορθή διατύπωση που θα έπρεπε να είναι $\displaystyle {{f}^{2}}(x)={{g}^{2}}(x)$ για κάθε $\displaystyle...

Αν όντως έτσι είναι η εκφώνηση (χωρίς ποσοδείκτες) τότε είναι σωστό αφού μεταφράζεται στο ότι οι τιμές των συναρτήσεων θα είναι ίσες ή αντίθετες. Ο Αποστόλης στην προηγούμενη ανάρτηση απαντά στην ορθή διατύπωση που θα έπρεπε να είναι $\displaystyle {{f}^{2}}(x)={{g}^{2}}(x)$ για κάθε $\displaystyle ...

Να τονίσουμε ότι στην περίπτωση $\displaystyle \kappa =4$ είναι : $\displaystyle \begin{array}{l} |{x^2} - 6x + 5| = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 5 = 4 \vee {x^2} - 6x + 5 = - 4 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 1 = 0 \vee {x^2} - 6x + 9 = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x = 3 \...

Αν η παραγωγίσιμη συνάρτηση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο , τότε είτε η έχει σημείο καμπής το
είτε παρουσιάζει τοπικό ακρότατο για .

Ο συμβολισμός Leibniz είναι στην ύλη της Γ΄Λυκείου αλλά οι μαθητές δεν είναι εξοικειωμένοι μ΄αυτόν.
Δείτε εδώ
μια άσκηση λυμένη και με τους δυο τρόπους .

Δεν το γράφουμε διότι θέλουμε να βρούμε το ρυθμό μεταβολής του $\displaystyle E $ ως προς $\displaystyle t$ και όχι ως προς $\displaystyle x(t)$ Στις ασκήσεις που ζητείται ο ρυθμός μεταβολής γωνίας , το $\displaystyle \theta (t)$δεν μπορεί να εκφραστεί άμεσα ως συνάρτηση του $\displaystyle t$, δηλαδ...

…..Για παράδειγμα σε άσκηση με εμβαδόν: $E\left ( x \right )= x^{2}+2x \Rightarrow E'\left ( t \right ) = 2x\left ( t \right )*x'(t)+2x'(t)$…….. Το σωστό είναι $E\left( x \right)={{x}^{2}}+2x\Rightarrow E\left( t \right)={{x}^{2}}(t)+2x(t)\Rightarrow {E}'\left( t \right)=2x\left( t \right)*{x}'(t)+2...

Έστω , παραγωγίσιμη με .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει με .

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού $a$ , να βρεθεί ο αριθμός των ριζών της εξίσωσης : $a\ell n (x+1)=\sqrt{x}$ . • Αν $\displaystyle \alpha \le 0$, μοναδική ρίζα είναι η $\displaystyle x=0$ Αν $\displaystyle a>0$ και $\displaystyle x>0$, είναι ισοδύναμη με την $\displaystyle \frac{\ln (x+1)}{\s...

Βρείτε τα , ώστε

Από εξετάσεις στην Ιταλία
Edit : Διορθώθηκε ουσιώδες τυπογραφικό. (Βλέπε επόμενη δημοσίευση)

Διότι δεν έχει μη-μηδενικές γραμμές και έτσι επαληθεύει τον ορισμό που δίνεται πριν.

Απορία: το δεν είναι φυσικός ;

Αν το , να βρεθεί το

Δεν μου αρέσει αυτή η ερώτηση. Εφαρμόζοντας τον ορισμό της συνέχειας είναι σωστό. Αν πάρουμε όμως την $\displaystyle f(x) = \sqrt x $ στο $\displaystyle 0$ , είναι αρχικά $\displaystyle \frac{0}{0}$ αλλά μετά την απλοποίηση γίνεται $\displaystyle \frac{1}{0}$ Άρα για κάποιες συναρτήσεις είναι σωστό ...

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $\displaystyle f$ φαίνεται στο σχήμα . Υπολογίστε τα παρακάτω όρια : α) $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(1-{{x}^{2}})$ β) $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(f(x)) \right]$ limit.png