β. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : ${{I}_{1}}=\int\limits_{e}^{2e}{\frac{1}{f(x)+f(2x)+...+f(2014x)}dx}$


Για το πρώτο ολοκλήρωμα θα υπολογίσουμε την παράγουσα. (Αντιλαμβάνομαι ότι δεν είναι αυτός ο σκοπός του υπολογισμού, παρ' όλα αυτά λόγω βραδινής κούρασης αφήνω κάποιον άλλον να θέσει μία ...

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left( 0\ ,\ +\infty \right)\to \mathbb{R}$ με $f(1)={f}'(1)-1=0$, για την οποία ισχύει $x{f}''(x)+\frac{f(x)}{x}={f}'(x)$ , για κάθε $x>0$ .
α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $f$ .

Διαφορετικά,

$\displaystyle{x^2f''(x)=f'(x)x-f(x) \implies f''(x)= \frac{f'(x)x-f(x ...

abgd έγραψε: Η έκφραση "συνάρτηση συνεχής στο -1" δεν είναι πρόταση εφόσον η συνάρτηση δεν ορίζεται στο -1.

Edit: Πάντως τώρα που σκέφτομαι τον ορισμό της συνέχειας έχεις δίκιο, γιατί η άρνηση του ορισμού πάλι εμπεριέχει μόνο εκείνα τα τα οποία ανήκουν στο .

Με αφορμή τα παραπάνω ας δούμε μία ακόμα ασυναρτησία...

Είναι σωστή η παρακάτω ισοδυναμία;

Έστω συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$.
Η $f$ είναι συνεχής στο $-1$ αν και μόνο αν η $f$ είναι ένα προς ένα και $f(0)=f(1)$.

Το θεώρησα αστείο.

Edit: Και αυτό: Έστω $f(x)= \sin x$. Ισχύει ότι ...

Με αφορμή τα παραπάνω ας δούμε μία ακόμα ασυναρτησία...

Είναι σωστή η παρακάτω ισοδυναμία;

Έστω συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$.
Η $f$ είναι συνεχής στο $-1$ αν και μόνο αν η $f$ είναι ένα προς ένα και $f(0)=f(1)$.

Το θεώρησα αστείο.

Edit: Και αυτό: Έστω $f(x)= \sin x$. Ισχύει ότι ...

Ψάχνοντας τα αρχεία μου βρήκα αυτό.
Δε πιστεύω ότι είναι δύσκολο, αλλά δεν είναι ούτε και εύκολο. Ελπίζω να σας αρέσει.

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\int_{0}^{\pi/4}\tan^{-1}\sqrt{\frac{\cos 2\theta }{2\cos^2 \theta }}d\theta }$

Έγινε αλλαγή του $\displaystyle{1}$ σε $\displaystyle{\pi/4 ...

Μήπως θα μπορούσατε να μου αποδείξετε ή να μου στείλεται κάποια παραπομπή γι αυτήν την γνωστή πρόταση?(κάθε πολυωνιμική συνάρτηση περιττού βαθμού έχει μία τουλάχιστον ρίζα)

Η απόδειξη είναι πολύ απλή και βασίζεται στο Θεώρημα Bolzano. Παίρνεις τα όρια $\lim_{x \to +\infty} P(x) = +\infty$ και ...

Τα παρακάτω με κάποια επιφύλαξη...
Το όριο προφανώς δεν υπάρχει, άρα η ισότητα της υπόθεσης στερείται νοήματος. Συνεπώς, οποιαδήποτε συνεπαγωγή είναι "λογικά" σωστή.

Να εξετάσετε ως προς τη σύγκλιση την ακόλουθη σειρά

.


Υ.Γ. Δεν έχω λύση.

5. $\displaystyle{\int (x+1)\cdot \ln x\cdot e^x\,dx}$

Διαφορετική λύση για το 5,

$\displaystyle{\int (x+1) \log(x)e^x dx= \int x\log(x)e^xdx +\int \log(x)e^x dx = x\log(x)e^x - \int \log(x)e^x dx - \int e^x dx + \int \log(x)e^x = x\log(x)e^x -e^x + C}$.

Για το 8 δεν νομίζω ότι εκφράζεται με ...

Για $x<0$ θέτουμε στην $\color{red}(1)$ όπου $x$ το $-x$. Αφού η $f$ είναι άρτια θα ισχύει $f(-x)=f(x)$ και παραγωγίζοντας: $-f'(-x)=f'(x)$. Συνεπώς έχουμε:

$\displaystyle -xf'(-x) \ln (-x)+f(-x)=-x -x \ln (-x) \Rightarrow \\ x f'(x) \ln (-x)+ f(x)=-x- x \ln(-x) \Rightarrow \\ \ln (-x) \left(f'(x ...

Σας ευχαριστώ και τους δύο για την ενασχόληση με το θέμα. Για το επί εργάστηκα ως εξής (με μικρές διαφοροποιήσεις):

$(\implies)$ Έστω ότι η $f$ είναι επί του $P(A) \times P(B)$ και ταυτόχρονα $x \in A\cap B$. Άρα υπάρχει $X \in P(E)$, τέτοιο ώστε

$f(X)=(\{x\}, \emptyset)=(X\cap A, X\cap B ...

Πώς συνεχίζουμε τη διαδικασία της ανάλυσης σε απλά κλάσματα αν δεν γίνεται να βρεθούν οι ρίζες του παρανομαστή; (Μιλώ γενικά).

Έστω $E$ ένα μη κενό σύνολο και $A,B$ δύο μη κενά υποσύνολα του $E$.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f:P(E) \to P(A) \times P(B)$ που δίδεται από τον κανόνα

$f(X)=(X\cap A, X\cap B)$, για κάθε $X\in P(E)$.

Να αποδείξετε ότι η συλλογή $\{A,B\}$ είναι μία διαμέριση του $E$ αν και μόνο αν η $f$ είναι ...

Δίνεται η συνάρτηση $f:R \to R$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $R$ και για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

$\bullet$ $f'\left( 0 \right) = 1$
$\bullet$ $f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right){e^{2xy}},\forall x,y \in R$.

Να δείξετε ότι:
i) $f\left( 0 \right) = 1$
ii) $f ...

ΑΣΚΗΣΗ 268: Αν $\displaystyle{x,y \in R^{*}}$, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{4(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})-9(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+10 \geq 0}$

Έχουμε,

$\displaystyle{4\bigg(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\bigg)-9\bigg(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\bigg)+10 = 4\bigg(\frac{x}{y}+\frac{y}{x ...

Θα σας προτείνω ένα δικό μου δημιούργημα :) .

Άσκηση 5: Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c>0}$ να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{ \frac{c}{ac+a^2} + \frac{a}{ab+b^2} + \frac{b}{bc+c^2} \geq \frac{1}{2} \bigg ( \frac{a^3b+ab^3}{a^5+b^5} + \frac{b^3c+bc^3}{b^5+c^5} + \frac ...

Για μένα το πιο αστείο πράγμα στο σχολικό βιβλίο είναι μάλλον οι τελείες στο τέλος των ασκήσεων

Δηλαδή οκ θα πρέπει να είσαι εντελώς ψυχάκιας για να γράφεις "9.800." ή "|2x-1|=x-2."


Χαχαχαχαχαχαχα...καλό!

Επειδή συνήθως το εφαρμόζω και εγώ, θέλω να πιστεύω πως δεν είναι ψύχωση. Ένα ...

Ακόμα μία ανισότητα.
Έστω $a,b,c,d$ θετικοί πραγματικοί αριθμοί και $a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Να δειχθεί ότι
$\displaystyle{a^3+b^3+c^3+d^3\leq 8}$

Είναι $\displaystyle{0\leq b^2+c^2+d^2=4-a^2\implies a\leq 2\implies \boxed{a^3\leq 2a^2}}$

Ομοίως έχουμε $\displaystyle{b^3\leq 2b^2,~c^3\leq 2c^2,~d^3 ...

Ανισότητα που πρότεινε ο Αργύρης.

Έστω θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε . Να δειχθεί ότι

.