Ωχ!!

Μ' αρέσει που έγραψα

"Από εκφώνηση είναι f(x)>0 άρα η f δε μηδενίζεται πουθενά και επειδή είναι συνεχής διατηρεί σταθερό πρόσημο. Είναι f(0)=1>0, άρα f(x)>0"
Tώρα το δα. Μάλιστα.

Eγώ το απέδειξα γιατί μετά με βοήθησε στο Γ4 να αποδείξω ότι το e^(π/2)-(π/2) είναι μεγαλύτερο του 1 και το ln του μεγαλύτερο του μηδενός.
Βέβαια είναι το γνωστό e^x >= x+1
!

Μιλάω από τη σκοπιά των μαθητών. Ήταν πολλά. Κουράστηκα να γράφω :p Eυτυχώς τα έλυσα όλα και μου άρεσαν και όλα τα θέματα, τα βρήκα σαφώς πιο πετυχημένα από άποψη κρίσεως. Βέβαια δεν έλειψαν οι χαζομάρες. Στο 4ο θέμα στο Δ1 άλλαξα τα όρια στο ολοκλήρωμα αλλά δεν άλλαξα τα πρόσημα στο πρώτο μέλος, το...

Tα 72 λεπτά αποτελούν το 5% των λεπτών της ημέρας. Αλλά 5= 2,5 + 2,5 Το ένα 2,5 εκφράζει το ποσοστό των λεπτών με θερμοκρασία κάτω από -10 και το άλλο το ποσοστό των λεπτών με θερμοκρασία πάνω από 30. Έτσι x-2s=-10 => s=10 x+2x=20 => s=10 Η σχέση που συνδέει τη μέση τιμή με το εύρος είναι, τυχαίως, ...

Kαλησπέρα, Είμαι και εγώ ένας από τους υποψήφιους που δίνανε σήμερα μαθηματικά γενικής παιδείας. Μπορώ να πω ότι σήμερα τα θέματα προκάλεσαν έκπληξη σ' αυτούς που είχανε συνηθίσει τα "απλά" θέματα των προηγούμενων ετών. Μου άρεσε το Β θέμα, μαζί με το Β1 το οποίο θεωρώ το πιο πονηρό ερώτημα του διαγ...

Να αποδειχθεί ότι για κάθε θετικό x και 0<α<1 ισχύει $x^a-ax<e^x-ex+a+1$ Η δική μου λύση είναι με ακρότατο και σύνολο τιμών. Για κάτι τέτοιες ασκήσεις αγαπάω τα μαθηματικά κατεύθυνσης και υπομένω την ατελείωτη - βαρετή μεθοδολογία που μας μαθαίνουν, για ασκήσεις που καμιά μεθοδολογία δε μπορεί να σο...

Ναι, είναι και αυτός ένας τρόπος, αλλά πολές φορές η μονοτονία σου λύνει τα χέρια, ειδικά όταν η λύση είναι προφανής :p

Για τη 2)

Η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα γνησίως αύξουσων συναρτήσεων (το οποίο αποδεικνύεται έυκολα), οπότε η εξίσωση f(x)=0 (δλδ η εξίσωση της άσκησης) θα έχει μοναδική λύση, η οποία είναι η προφανής x=1

Bάζω σαν άσκηση την απόδειξη ενός συμπεράσματος που μου...φανερώθηκε μέσα από πειράματα με το Geogebra. Δεν έχω ακόμη λύση και δεν ξέρω κατά πόσο είναι εύκολη η απόδειξή του, εξάλλου αύριο έχω σκοπό να ασχοληθώ μ' αυτό. Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό (δεν ξέρω αν γενικεύεται ακόμη) τρίγωνο ABC και έστ...

Για $x = -x$ στην αρχική σχέση λαμβάνουμε ότι $P^2(-x)-P(x^2)=2x^4$ Αφαιρώντας λοιπόν την αρχική σχέση απ' αυτή έχουμε ότι $P^2(x)-P^2(-x)=0\Leftrightarrow [P(x)-P(-x)][P(x)+P(-x)]=0$ oπότε $P(x)=P(-x)$ ή $P(x)=-P(-x)$ Έστω ότι $P(x)=P(-x)$ Απ' αυτή τη σχέση, λαμβάνουμε ότι οι συντελεστές των όρων μ...

Όχι, δεν είναι γνησίως αύξουσα, αντιθέτως είναι γνησίως φθίνουσα. Η βάση χρησιμοποιείται μόνο όταν θέλουμε να λογαριθμίσουμε τα μέλη μιας ανίσωσης για να πάρουμε τη ζητούμενη συνάρτηση. Γενικά η μονοτονία μιας σύνθετης συνάρτησης προσδιορίζεται από την μονοτονία των δύο συναρτήσεων που συντίθενται. ...

Ναι, β λυκείου είμαι.

Όσο για το γνησίως αύξουσες παίρνουμε ότι χ1<χ2 <=> χ1+1<χ2+1 και λογαριθμίζουμε με βάση με το 3 το οποίο είναι μεγαλύτερο του 1, οπότε διατηρείται η φορά της ανίσωσης, άρα η είναι γνησίως αύξουσα. Ομοίως για την άλλη.

Αν θέσουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f(x) εύκολα βλέπουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα ως άθροισμα γνησίως αύξουσων συναρτήσεων (άρα και 1-1). Οπότε η εξίσωση f(x)=a έχει μόνο μια λύση για ένα συγκεκριμένο α, όπου εδώ είναι η προφανής x=2

Μέσα στην πρώτη ρίζα έχουμε την ταυτότητα $[\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x})^2$ μέσα στην αγκύλη έχουμε την ταυτότηα $[\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}][2+\sqrt{1-x^2}]$ ( η γνωστή a^3-b^3...) κάνουμε πράξεις, διακρίνουμε περιπτώσεις για τις τιμές του x (το οποίο είναι ανάμεσα από το -1 και το +1) και τελειώσαμε. Επανέρ...

2. Εάν $\displaystyle{{z_1},{z_2} \in C}$, να δείξετε ότι $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right| \le \left| {{z_1} - {z_2}} \right|}$ Καλημέρα! Θα κάνω την πρώτη μου προσπάθεια στο mathematica να λύσω άσκηση με μιγαδικούς... Ελπίζω να μην έχω πολλά λάθη... :D έχουμε: $|z_1|-...

Λοιπόν, βάζω τη λύση μου μετά από κόπους και βάσανα. Είπαμε, ορίζουμε $log_8(x^2+7)=a>0$ $log_\frac{3}{4}a+log_\frac{1}{2}(log_\frac{1}{4}\frac{1}{2^a\cdot 4^a})+2=0\Leftrightarrow log_\frac{3}{4}a+log_\frac{1}{2}(log_\frac{1}{4}\frac{1}{4^a}+log_\frac{1}{4}(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}a})+2=0\Leftrigh...

Δίνω τη βασική μου σκέψη χωρίς να γράψω τη λύση γιατί δεν μπορώ να χειρισθώ μεγάλες παραστάσεις στο latex και θα χαθώ. Μπορεί να την ανεβάσω μετά σαν χειρόγραφο. Λοιπόν, θέτουμε $log_8(x^2+7)=a>0$ Tότε $x^2+7=8^a$ κάνουμε πράξεις, καταλήγουμε σε μια αλλαγή βάσης, βρίσκουμε το a και μετά το x( αν υπά...

Ας δώσω μια μεταμεσονύχτια λύση, μιας και μόλις γύρισα απ' έξω και δε νυστάζω. Λοιπόν, λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το λογάριθμο με βάση το 27/49 ${3}^{3x}={7}^{2x-1}\Leftrightarrow {log}_{\frac{27}{49}}{3}^{3x}={log}_{\frac{27}{49}}{7}^{2x-1}\Leftrightarrow x{log}_{\frac{27}{49}}2...

Α οκ ,κατάλαβα. Τώρα όμως δεν μπορούμε να πούμε ότι ο εκθέτης 1/τρίτη ρίζα του χ δεν μπορεί να είναι άρρητος αλλά ούτε και ρητός της μορφής α/β με α διάφορο του 1 γιατί τότε όλος ο δεύτερος όρος θα ήταν άρρητος, οπότε δε θα μπορούσε το άθροισμα δύο άρρητων ( ή ενός ρητού και ενός άρρητου) να είναι ρ...

Mάλλον θα πω κάτι κουφό, τουλάχιστον η προσπάθεια μετράει :lol: Στο σχολείο τουλάχιστον, μας μαθαίνουνε ότι κάθε ρίζα της μορφής $\sqrt[a]{b}$ με b>0 και α φυσικό αριθμό γράφεται στη μορφή ${b}^{\frac{1}{a}}$. Οπότε (λογικά) όταν έχουμε έναν αριθμό υψωμένο σε έναν εκθέτη της μορφής 1/α πρέπει ο α να...