Η αναζήτηση βρήκε 7799 εγγραφές

από george visvikis
Τετ Απρ 24, 2019 11:25 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γωνία υποτείνουσας - διαμέσου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 57

Re: Γωνία υποτείνουσας - διαμέσου

Γωνία υποτείνουσας διαμέσου.pngΟι πλευρές $AB,AC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , έχουν σταθερό άθροισμα $AB+AC=a$ . Ενδιαφερόμαστε για την γωνία $\theta$ , την οποία σχηματίζει η υποτείνουσα $BC$ με τη διάμεσο $BM$ . α) Για ποια θέση του $B$ είναι : $\tan\theta=\dfrac{1}{3}$ ... β) Υπο...
από george visvikis
Τρί Απρ 23, 2019 7:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ψάχνω την ακτίνα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 83

Ψάχνω την ακτίνα

Ψάχνω την ακτίνα.png
Ψάχνω την ακτίνα.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές
Οι BD, CE είναι διχοτόμοι του ορθογωνίου τριγώνου ABC (\widehat A=90^\circ) και ισχύει CD=4, EB=12.

Να βρείτε την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.
από george visvikis
Τρί Απρ 23, 2019 11:05 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Γωνία χωρίς..εξαρτήσεις
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 109

Re: Γωνία χωρίς..εξαρτήσεις

Καλημέρα. Γωνία χωρίς εξαρτήσεις.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC$ και $M$ το μέσον της $BC$. Πάνω στη διχοτόμο της $\widehat{BAM}$ εντοπίζουμε το σημείο $E$ για το οποίο ισχύει $\widehat{BEA}=\widehat{BCE}=\omega $ Να εξεταστεί αν η γωνία $\omega $ είναι σταθερή , ανεξάρτητη των γωνιών του $\trian...
από george visvikis
Δευ Απρ 22, 2019 7:08 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διπλάσιο τμήμα!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 281

Re: Διπλάσιο τμήμα!

Καλή Μεγάλη Εβδομάδα σε όλους!

Για να ολοκληρώσω αυτό που άφησα στη μέση...
Διπλάσιο τμήμα!png..png
Διπλάσιο τμήμα!png..png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές
Τα A, M, E είναι μέσα των BB', BC, CB', οπότε BC||=2AE και από την προφανή

ομοιότητα των τριγώνων APE, BQC είναι \boxed{BQ=2AP}
από george visvikis
Δευ Απρ 22, 2019 6:02 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ειδικό τετράπλευρο
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 77

Ειδικό τετράπλευρο

Ειδικό τετράπλευρο..png
Ειδικό τετράπλευρο..png (14.37 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές
Στο τετράπλευρο ABCD του σχήματος, εκτός από τις ονομασίες των γωνιών, δίνονται επιπλέον ότι AB=8, AC\bot CD,

CD=\dfrac{BC}{2} και \displaystyle \cos \omega  = \frac{{EC}}{{EB}}. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών BC, CD, AD και το μήκος της διαγωνίου AC.
από george visvikis
Δευ Απρ 22, 2019 11:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Άλλη μία όμορφη καθετότητα
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 483

Άλλη μία όμορφη καθετότητα

Άλλη μία όμορφη καθετότητα.png
Άλλη μία όμορφη καθετότητα.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές
CD είναι το ύψος, H το ορθόκεντρο και O το περίκεντρο οξυγώνιου τριγώνου ABC. Ο περίκυκλος

του τριγώνου BHC τέμνει την AB στο F και η FH την BC στο E. Να δείξετε ότι OD\bot DE.
από george visvikis
Δευ Απρ 22, 2019 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Αναμενόμενο μέσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 109

Re: Αναμενόμενο μέσο

Αναμενόμενο μέσο.png Έστω ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB} $ και τυχαίο του σημείο $C$. Στην προέκταση του $BC$ προς το $C$ θεωρώ σημείο $S$ και στην ευθεία $SO$ σημείο $D$. Η κάθετη από το $D$ στην $AC$τέμνει την $AS$ στο σημείο $M$ και την από το $A$ παράλληλη στην $AB$, στο σημείο $E$. Δείξε...
από george visvikis
Δευ Απρ 22, 2019 9:55 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ίσες διαφορές.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 90

Re: Ίσες διαφορές.

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Κυρ Απρ 21, 2019 10:22 pm
1.png



Στο παραπάνω σχήμα το O είναι κέντρο του κύκλου.

Δείξτε ότι MH-HN=LR-RJ.
Παρόμοιο με του Μιχάλη.
Ίσες διαφορές.Φ.png
Ίσες διαφορές.Φ.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 53 φορές
Τα MNJL,N_1NJJ_1 είναι ισοσκελή τραπέζια, άρα το MN_1J_1L είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως:

\displaystyle M{N_1} = L{J_1} \Leftrightarrow MH - HN = LR - RJ
από george visvikis
Κυρ Απρ 21, 2019 11:39 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ισόπλευρο με αιτία.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 100

Re: Ισόπλευρο με αιτία.

1.png Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ με βαρύκεντρο το σημείο $O$. Αν $P$ το συμμετρικό του $O$ ως προς την $AC$, $M$ το μέσο της $AB$ και $D\equiv MP\cap AC$, να υπολογίσετε το λόγο $\dfrac{(AMD)}{(ABC)}$. Έστω $a$ η πλευρά του ισοπλεύρου. Το $AOP$ είναι προφανώς ισόπλευρο με πλευρά $\dfrac{a\s...
από george visvikis
Σάβ Απρ 20, 2019 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Απλή καθετότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 67

Απλή καθετότητα

Απλή καθετότητα.png
Απλή καθετότητα.png (14.66 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές
Έστω AD το ύψος και R η ακτίνα του περίκυκλου οξυγώνιου τριγώνου ABC (AB\ne AC). Στην προέκταση του ύψους

θεωρώ σημείο T, ώστε AT=2R. Αν S είναι το μέσο του τόξου \overset\frown{BC} στο οποίο δεν ανήκει το A να δείξετε ότι AS\bot ST.
από george visvikis
Σάβ Απρ 20, 2019 6:47 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ανιαρή με ενδιαφέρον
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 144

Re: Ανιαρή με ενδιαφέρον

Ανιαρή με ενδιαφέρον.pngΟι ημιευθείες $Ax , By$ είναι ομόρροπες και κάθετες σε τμήμα $AB=d$ . Σημείο $S$ κινείται στην $Ax$ , έτσι ώστε : $AS<AB$ . Η μεσοκάθετη του $BS$ τέμνει τα $AB , By$ στα σημεία $P,T$ αντίστοιχα . Υπολογίστε το ελάχιστο του $PT$ . Υπάρχει άραγε λύση χωρίς χρήση συντεταγμένων ...
από george visvikis
Σάβ Απρ 20, 2019 5:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 367

Re: Δ΄ Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO, 2019

Πρόβλημα 2 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$, όπου $\displaystyle{AB>2BC}$. Πάνω στην πλευρά του $\displaystyle{AB}$ παίρνουμε σημείο $\displaystyle{M}$, τέτοιο ώστε $\displaystyle{AM=BC}$ και πάνω στην ημιευθεία $\displaystyle{CB}$ σημείο $\displaystyle{N}$, τέτοιο ώστε $\dis...
από george visvikis
Σάβ Απρ 20, 2019 2:05 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 115

Re: Σύνολο τιμών

Να συμπληρώσω απλώς σε αυτά που γράφει ο Μιχάλης, ότι η τεχνική αυτή αναφέρεται και στο βιβλίο του

Πέτρου Γ. Τόγκα, ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ- Β ΤΟΜΟΣ (Έκδοση 1959).
από george visvikis
Σάβ Απρ 20, 2019 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γινόμενο από Θερμοπύλες
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 136

Γινόμενο από Θερμοπύλες

Γινόμενο από Θερμοπύλες.png Το $ABCD$ είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις $AB=32, DC=18$ και ένα εσωτερικό του σημείο $P$ ώστε $\displaystyle P\widehat AD = P\widehat BA$ και $\displaystyle P\widehat DA = P\widehat CD.$ Αν $(PAB)=192,$ να υπολογίσετε το γινόμενο $\displaystyle PA \cdot PC.$ Το σχήμα...
από george visvikis
Σάβ Απρ 20, 2019 12:13 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύνολο τιμών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 115

Re: Σύνολο τιμών

Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $k>2$ , βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{x^2+2x+2}{2x^2+4x+k}$ . Προτιμητέες λύσεις που δεν χρησιμοποιούν παραγώγους . Έστω $\displaystyle f(x) = y \Leftrightarrow (2y - 1){x^2} + 2(2y - 1)x + ky - 2 = 0$ $\displaystyle \bullet $ Αν $y=\dfra...
από george visvikis
Σάβ Απρ 20, 2019 9:46 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Διπλάσιο τμήμα!
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 281

Re: Διπλάσιο τμήμα!

Έστω $\vartriangle ABC$ με $AB>AC$. Έστω $P$ ένα σημείο στην προέκταση της $BA$ προς το $A$, ώστε $AP+PC=AB$. Έστω ακόμη $M$ το μέσον της $BC$, και $Q$ σημείο της $AB$ ώστε $CQ \perp AM$. Να δείξετε, ότι $BQ=2AP$. Υ.Γ. Αφιερωμένη στους Φραγκάκη και Βισβίκη, τους ''βενιαμίν'' δεινόσαυρους ...!! :lol...
από george visvikis
Σάβ Απρ 20, 2019 8:46 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 155

Re: Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα

Μέγιστο τριγωνομετρικό άθροισμα.pngΕίναι φυσικά γνωστό ότι $\sin\theta+\cos\theta\leq \sqrt{2}$ . Εδώ όμως ενδιαφερόμαστε για το άθροισμα $\sin\theta+\cos\phi$ στο τετράγωνο του σχήματος . Το $S$ είναι σημείο στην προέκταση της $AB$ . Δείξτε ότι το $max(\sin\theta+\cos\phi)$ , ξεπερνά το $\sqrt{2}$...
από george visvikis
Παρ Απρ 19, 2019 7:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τετράγωνο-43.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 77

Re: Τετράγωνο-43.

Και μία χωρίς λόγια!
Τετράγωνο 43.png
Τετράγωνο 43.png (16.27 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές
από george visvikis
Παρ Απρ 19, 2019 7:34 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τετράγωνο-43.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 77

Re: Τετράγωνο-43.

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2019 6:58 pm
1.png




Καλησπέρα.

Δίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς 1.

Στη προέκταση της DC, προς το C, θεωρώ σημείο E τέτοιο ώστε CE=1+\sqrt{2}.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας \theta .

\displaystyle \tan \theta  = \frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} = \sqrt 2  - 1 \Leftrightarrow \theta  = 22,5^\circ
από george visvikis
Παρ Απρ 19, 2019 6:56 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ισόπλευρο χωρίς αιτία
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 219

Re: Ισόπλευρο χωρίς αιτία

Χαιρετώ τους φίλους! Έστω $R$ η ακτίνα του ημικυκλίου και $r$ η ακτίνα του κύκλου. Έστω ακόμη $KH$ το ύψος του τριγώνου $KLM$ και $Z$ το σημείο τομής των $AE, DC.$ Είναι, $\displaystyle B{D^2} = BC \cdot BA = \frac{{4R}}{3} \cdot 2R \Leftrightarrow $ $\boxed{BD = \frac{{2R\sqrt 6 }}{3}}$ $(1)$ Ισόπ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση