που ισχύει.

Δυό γωνίες.png Στο πιο πάνω σχήμα δείξετε ότι $x = 60^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,y = 10^\circ $ Ο περιγεγραμμένος κύκλος του $ADC$ τέμνει την $BC$ στο $L.$ Από το εγγεγραμμένο $ADCL$ προκύπτουν εύκολα οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα. Άρα το $ADCL$ είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε: Δύο γ...

Από σταθερό σημείο 6.pngΙσοσκελές τρίγωνο $ABC , ( AB=AC)$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Από σημείο $S$ το οποίο κινείται στην βάση $BC$ , φέρω παράλληλες προς τα ίσα σκέλη , σχηματίζοντας το παραλληλόγραμμο $ADSE$ . Δείξτε ότι η κάθετη από το $S$ προς την διαγώνιο $DE$ , διέρχεται από σταθερό σημε...

Τα σημεία κινούνται στις πλευρές αντίστοιχα, τριγώνου και είναι τα μέσα των

Αν είναι το σημείο τομής των να δείξετε ότι το βρίσκεται πάντα "πάνω" από το

Δ.Υ.Δ.png Κατασκευή: Κατασκευάζω ορθογώνιο τρίγωνο $ABH$ με υποτείνουσα $AB=c$ και $\widehat B=\theta.$ Επί της $AB$ θεωρώ σημείο $E$ ώστε $AE=BH$ και φέρνω από το $E$ κάθετο στην $AB$ που τέμνει την $BH$ στην τρίτη κορυφή $C$ του ζητούμενου τριγώνου Απόδειξη: Φέρνω τη διχοτόμο $BD$ και τη διάμεσο ...

Θεωρώ τα σημεία και γράφω μεταβλητό κύκλο που εφάπτεται στον ημιάξονα στο σημείο

Από τα σημεία φέρνω τις δεύτερες εφαπτόμενες του κύκλου. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής τους

Υπολογίστε τον θετικό αριθμό $k$ , ώστε : $\displaystyle \int_{2k}^{20k}\frac{xdx}{\sqrt{kx+1}}=57k$ Με τον μετασχηματισμό που γράφει ο Μιχάλης εύκολα βρίσκω ότι μία παράγουσα της συνάρτησης $\displaystyle f(x) = \frac{x}{{\sqrt {kx + 1} }}$ είναι η $\displaystyle F(x) = \frac{{2(kx - 2)\sqrt {kx +...

Με πρόλαβε ο φίλτατος Νίκος. Αφήνω το σχήμα για τον κόπο.

Αφού απαντήθηκε, ας τη δούμε και χωρίς Καρτέσιο. Γόνιμος τόπος.png Φέρνω τη διχοτόμο $(\delta)$ της $S\widehat OT$ που τέμνει την $ST$ στο $D$ και από το $A$ την $\epsilon||\delta$ που τέμνει την $ST$ στο $E.$ Προφανώς οι ευθείες $(\delta), (\epsilon)$ είναι σταθερές. Λόγω της διχοτόμου και της παρα...

Έξοχη συνευθειακότητα.pngΤα ημικύκλια του σχήματος είναι ομοκεντρικά . Από τα άκρα μιας χορδής $SP$ του μεγάλου ημικυκλίου , φέραμε τα εφαπτόμενα προς το μικρό τμήματα $ST , PQ$ . Δείξτε ότι το μέσο της χορδής $M$ και τα σημεία επαφής $T , Q$ είναι συνευθειακά . Έξοχη συνευθειακότητα.png Τα ορθογών...

Προσωπικά, θεωρώ το σχήμα απαραίτητο στη γεωμετρική ερμηνεία των θεωρημάτων (ειδικότερα εκείνων που δεν έχουν σχολική απόδειξη όπως, Bolzano, Rolle, ΘΜΤ), για τους παρακάτω λόγους: $\displaystyle \bullet $ Αν το σχήμα δεν ήταν ουσιώδες, τότε δεν θα είχε κανένα λόγο ύπαρξης στα βιβλία της θεωρίας. $\...

Για τις τιμές του $x$ για τις οποίες ορίζεται , βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{1}{\tan^2x}-\dfrac{1}{\sin^2x}$ . Αν πάλι δεν προσέξουμε αυτό που γράφει ο Μιχάλης και αποπειραθούμε να βρούμε την παράγωγο, θα καταλήξουμε στην: $\displaystyle f'(x) = - \frac{{2\cos x}}{{{{\cos }^3}x...

Καλημέρα σε όλους! ΜΕΓ.ΓΙΝ.ΓΡ..png Με τους συμβολισμούς του σχήματος και ακολουθώντας την πρώτη μου ανάρτηση (#3), βρίσκω: $\displaystyle P(d + r - \sqrt {{r^2} - {t^2}} ,t),Q(d + r + \sqrt {{r^2} - {t^2}} ,t)$ και $\displaystyle SP \cdot PQ = 2\left( {{t^2} - {r^2} + (d + r)\sqrt {{r^2} - {t^2}} }...

ΕΠΑΛ 2021.png Τρίγωνο $ABC$ έχει σταθερή βάση $BC=40$ και η κορυφή του $A$ κινείται σε ευθεία παράλληλη στη βάση και σε απόσταση $30$ από αυτήν. Μεταβλητό ορθογώνιο $KLMN$ με $NM=x,$ έχει τις κορυφές του $K, L$ στις πλευρές $AB, AC$ αντίστοιχα, ενώ οι κορυφές $M, N$ είναι σημεία της βάσης $BC.$ Α) ...

george_drav έγραψε: ↑

Κυρ Φεβ 21, 2021 4:32 pm

Καλησπέρα.
Δεν κατάλαβα από που προκύπτει το y1 * y2

Τι ακριβώς δεν καταλαβαίνεις;

Καλησπέρα! Μπορεί κάποιος να πει αν οι γεωμετρικές ερμηνείες των θεωρημάτων (BOLZANO, ROLLE, ΘΜΤ, FERMAT) πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να συνοδεύονται από το σχήμα του σχολικού ειδάλλως ο υποψήφιος στερείται μονάδων; Ας φανταστούμε πρώτα ένα βιβλίο Γεωμετρίας που να μην περιέχει καθόλου σχήματα και στη συνέχ...

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 3. Το σημείο $M$ είναι το μέσο της βάσης $AC$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC$. Στην προέκταση των τμημάτων $AC$ και $BC$ προς το σημείο $C$ δίνονται τα σημεία $D$ και $K$ αντίστοιχα τέτοια, ώστε $BC=CD$ και $...

Ισοσκελές τραπέζιο.pngΑπό σημείο $S$ εξωτερικό κύκλου $(O,r)$ , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα $SA , SB$ και μια τέμνουσα $SPT$ . Ονομάζουμε $M , N $ τα μέσα των $AT , AP$ αντίστοιχα . Α1) Για ποια θέση της τέμνουσας $SPT$ , το $NMBP$ είναι ισοσκελές τραπέζιο ; Α2) Για ποια θέση του $S$ , η μικρότερ...

Ανισόρροπη ισότητα.pngΣχεδιάστε ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε , αν $M$ είναι το μέσο της $AB$ , $CS$ η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ και $AT \perp CS$ , να προκύπτει : $TA=TM$ . Ανισόρροπη...png Από γνωστή άσκηση του σχολικού βιβλίου( άσκ. 5 σύνθετα θέματα της παρ.5.9) είναι $TM||BC.$ Άρα: $...

Δίνεται το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο $\vartriangle ABC$, με $AB = AC$, σημείο έστω $D$, επί της πλευράς του $AB$ και ας είναι $E,\ F$, οι προβολές των σημείων $A,\ D$, επί των $AD,\ BC$, αντιστοίχως. Προσδιορίστε το σημείο $D$ ώστε να είναι $AE = DF$ . f 181_t 69080.PNG Κώστας Βήττας. ΥΓ. Το ...