Η αναζήτηση βρήκε 7440 εγγραφές

από george visvikis
Κυρ Ιαν 20, 2019 12:27 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πολλά μέσα και καθετότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 75

Re: Πολλά μέσα και καθετότητα

Πολλά μέσα.png Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,(A = 90^\circ )$. Το ύψος $AD$ το προεκτείνω, πέραν του $D$, κατά $DE = \dfrac{1}{2}AD$. Ας είναι δε $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ αντίστοιχα. Από τυχαίο σημείο $K$ της $AN$ γέρνω παράλληλη στη $BC$ που ...
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 5931

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Πρόβλημα-3 Γ Λυκείου
Γ Λυκείου 2019.png
Γ Λυκείου 2019.png (15.41 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Η ευθεία y=ax+4 στο σχήμα, περιστρέφεται γύρω απ' το σημείο (0,4) (εξαιρουμένης της κατακόρυφης).

Είναι φανερό ότι τέμνει την καμπύλη A=|x^2-4| τουλάχιστον σε δύο σημεία (από δύο έως και τέσσερα).

Αυτή δεν είναι λύση, απλώς μία διαπίστωση.
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 84

Re: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

Σημείωση: υπάρχει κ αμιγώς γεωμετρική λύση Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ευρήματα και το σχήμα. $\displaystyle \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{BM}}{{BE}} \Leftrightarrow BI = \frac{{aBD}}{{2b}}.$ Θα δείξω ότι: $\displaystyle {a^2} > B{I^2} + A{I^2} = 2B{I^2} \Leftrightarrow {a^2} > \frac{{2{a^2}(ac + {...
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Παράλληλα τμήματα.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 59

Re: Παράλληλα τμήματα.

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 5:45 pm
1.png



Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι AD\parallel BC.
Καλησπέρα.

\displaystyle AC = \frac{{BC}}{2} = 3 \Leftrightarrow AE = 1 \Rightarrow \frac{{AE}}{{EC}} = \frac{1}{2} = \frac{{AD}}{{BC}} κι επειδή τα B, D είναι εκατέρωθεν του E θα είναι AD||BC.
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 5:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 84

Re: Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο

FB2703c mathematica.jpg Σε ισοσκελές τραπέζιο $ABCD, AB=a//CD=b$ τα ίσα σκέλη είναι $AD=BC=b=\dfrac{a+c}{2}$ Αν $I\equiv AC\cap BD$, δείξτε οτι $\hat{AIB}>90^o$ Γεια σου Σάκη! Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο.png $\displaystyle AE = \frac{{a - c}}{2} \Rightarrow D{E^2} = {b^2} - \frac{{{{(a - c)}^2}...
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 2:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 5931

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Πρόβλημα 4 Γ Λυκείου Ευκλείδης 2019 G Λυκείου.png Φέρνω $\displaystyle \Gamma {\rm T}||{\rm A}\Delta .$ Είναι $\displaystyle {\rm B}\Gamma + {\rm A}\Delta = \Gamma \Delta \Leftrightarrow \Gamma {\rm T} + {\rm A}\Delta = \Gamma \Delta $ και από γνωστή άσκηση του σχολικού $\displaystyle \Gamma \wideh...
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 5931

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Πρόβλημα – 4 Α’ Λυκείου Ευκλείδης 2019 Α Λυκείου.png α) Φέρνω τη διάμετρο $BOZ$ και έστω $K$ το συμμετρικό του $Z$ ως προς $C$ και $H$ η προβολή του $C$ στην $AE.$ Το τρίγωνο $ZBK$ είναι ισοσκελές κι επειδή $\widehat Z=60^\circ$ θα είναι ισόπλευρο. Είναι όμως $BD=2DC,$ άρα $D$ είναι το βαρύκεντρο τ...
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:07 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 5931

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Πρόβλημα – 1 Β Λυκείου $\displaystyle ||x + 8| - 3x| = \frac{{x + 7}}{6}$ Επειδή το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό, το ίδιο θα συμβαίνει και με το δεύτερο, άρα $\displaystyle x \ge - 7 \Rightarrow x > - 8$ Οπότε η εξίσωση γράφεται:$\displaystyle |x + 8 - 3x| = \frac{{x + 7}}{6} \Leftrightarrow - 2x ...
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 5931

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Πρόβλημα 4 Β Λυκείου Ευκλείδης 2019 Β Λυκείου.png H $AC$ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, άρα $\displaystyle A\widehat IC = A\widehat KC = 90^\circ \Leftrightarrow $ $\boxed{CI=CK}$ $\displaystyle IA = IK \Leftrightarrow \omega = \varphi \Leftrightarrow 90^\circ - K\widehat AC = 90^\circ...
από george visvikis
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 5931

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Πρόβλημα- 1 Α' Λυκείου $\displaystyle {a^3} + {b^3} = 2ab(a + b) \Leftrightarrow (a + b)({a^2} - 3ab + {b^2}) = 0$ κι επειδή οι $a, b$ είναι θετικοί θα είναι $\displaystyle a + b \ne 0,$ άρα $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 3ab \Rightarrow {a^4} + {b^4} = 7{a^2}{b^2}$ $(1)$ και $\displaystyle K = \fr...
από george visvikis
Παρ Ιαν 18, 2019 7:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ο λόγος ο ..καλός!
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 269

Re: Ο λόγος ο ..καλός!

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους φίλους Γιάννη , Νίκο και Γιώργο για την άμεση ανταπόκριση! Θεωρώ βάσιμα ότι και το νέο ζητούμενο -με τροποποίηση τινών δεδομένων- θα προξενήσει το ενδιαφέρον , λόγω.. :) .. και του α π οτελέσματος. Ο λόγος ο ..περισπούδαστος!.PNG Στο σχήμα η $EAD$ είναι κάθετη στην διάμετρο...
από george visvikis
Παρ Ιαν 18, 2019 7:14 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μέγιστο εμβαδόν
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 144

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν.pngΈνα τμήμα $AB$ με άκρα επί των ημιαξόνων $Ox , Oy$ , έχει σταθερό μήκος $d$ . Φέρουμε τη διάμεσο $OM$ και το ύψος $OD$ του ορθογωνίου τριγώνου $OAB$ . Για ποια θέση του $AB , ( OA>OB )$ , επιτυγχάνεται το $(OMD)_{max}$ ; Μέγιστο εμβαδόν.KAR.png $\displaystyle DM \cdot OD \le \fra...
από george visvikis
Παρ Ιαν 18, 2019 5:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μισό
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 220

Re: Μισό

Άλλη μία υπολογιστική.
Μισό.β..png
Μισό.β..png (10.01 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές
Τα τρίγωνα CST, CAP είναι όμοια, \displaystyle \frac{{b - 2x}}{b} = \frac{x}{{\frac{{bc}}{a}}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{bc}}{{a + 2c}}}
από george visvikis
Παρ Ιαν 18, 2019 4:20 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Του Αγίου Αθανασίου
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 254

Του Αγίου Αθανασίου

Χρόνια Πολλά με Υγεία σε όσους και όσες γιορτάζουν σήμερα.

Ιδιαίτερες ευχές στους
Θανάση(KARKAR), Θάνο Καλογεράκη(sakis1963) καθώς επίσης και στους

Θάνο Μάγκο, Θανάση Κοντογεώργη (socrates), Θανάση Μπεληγιάννη, Θανάση Κοπάδη και thanasis.a.
από george visvikis
Παρ Ιαν 18, 2019 1:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Μισό
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 220

Re: Μισό

Μισό.pngΑπό σημείο $S$ της κάθετης πλευράς $AC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρουμε τμήμα $ST$ κάθετο προς την υποτείνουσα $BC$. Πως πρέπει να επιλέξουμε το $S$ , ώστε $AS=2ST$ ; Θεωρήστε γνωστά τα $b,c$ . Έχετε και την επιλογή της υπολογιστικής λύσης :ewpu: Χρόνια Πολλά Θανάση! Μισ...
από george visvikis
Παρ Ιαν 18, 2019 11:09 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ελάχιστο τμήμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 114

Re: Ελάχιστο τμήμα

Ε΄'αχιστο τμήμα.pngΣτις πλευρές $\displaystyle{ και }$ του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημεία $S,T$, ώστε : $AS=BT$ . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος $ST$ , συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου . Ελάχιστο τμήμα...png Νόμος συνημιτόνων στο $BST$ με $\cos B =\dfrac{c}{a},$...
από george visvikis
Πέμ Ιαν 17, 2019 4:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Διάμεσος και διχοτόμος
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 323

Re: Διάμεσος και διχοτόμος

Από τους τύπους διαμέσου και διχοτόμου: Αν π. χ η $AD$ είναι διάμεσος και διχοτόμος, τότε $\displaystyle \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} = A{D^2} = bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right),$ απ' όπου καταλήγουμε στην εξίσωση: $\displaystyle (b - c)\left( {2{{(b + c)}^2} - {a^2}} \...
από george visvikis
Πέμ Ιαν 17, 2019 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ίσες χορδές και γωνία
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 74

Re: Ίσες χορδές και γωνία

Ίσες χορδές και γωνία.pngΕπί των πλευρών $Ox,Oy$ της γωνίας $\phi$ θεωρούμε τυχόντα σημεία $S,T$ . α) Να εντοπίσετε σημείο $P$ της διχοτόμου , ώστε στον κύκλο $(S,P,T)$ , οι πλευρές της γωνίας να σχηματίζουν ίσες χορδές ( $ES=TD )$. β) Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SPT}$ . Διαφορετικά η κατασκευή. ...
από george visvikis
Τετ Ιαν 16, 2019 1:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Εύρεση τύπου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 147

Re: Εύρεση τύπου

Έστω συνάρτηση $f:[0,+\infty)\rightarrow R$με $f(0)=1$ για την οποία ισχύει $xf'(x)=f(x)+\int_{0}^{1}f(t)dt, x\geq 0$. Να βρεθεί ο τύπος της $f$. Για $x=0$ η δοσμένη σχέση γράφεται $\displaystyle 0 = 1 + \int_0^1 {f(t)dt} \Leftrightarrow \int_0^1 {f(t)dt} = - 1$ Για $x> 0,$ $\displaystyle \frac{{xf...
από george visvikis
Τετ Ιαν 16, 2019 11:30 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σταθερός λόγος ακτίνων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 256

Re: Σταθερός λόγος ακτίνων

Ευχαριστώ τον Νίκο Φραγκάκη , τον Αλέξανδρο Τριανταφυλλάκη και τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις πολύ ωραίες κατασκευές και λύσεις τους. Ας δούμε λίγο διαφορετικά το υπολογιστικό κομμάτι. Σταθερός λόγος ακτίνων.β.png Έστω $OM=d$ το απόστημα της χορδής $AB$ και $MP=x.$ Τότε με Πυθαγόρειο στο $OHK_1$ ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση