Εμβαδά άμεσης δράσης.png Με διάμετρο την πλευρά $BC$ οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ γράφω ημικύκλιο εκτός του τριγώνου και ονομάζω $A_1$ το σημείο τομής του με το το ύψος από την κορυφή $A.$ Ανάλογα ορίζονται τα σημεία $B_1, C_1.$ Συμβολίζω τα εμβαδά των τριγώνων $A_1BC,$ $B_1AC,$ $C_1AB$ με $E_a, E_b, E...

Νότιο τμήμα.png Τα ημικύκλια με διαμέτρους : $AC=5$ και $BD=10$ , τέμνονται στο σημείο $T$ , του οποίου το συμμετρικό ως προς την $AD$ , ονομάζω $S$ . Οι $TB,TC$ τέμνουν τις $SA , SD$ στα σημεία $L$ και $N$ αντίστοιχα . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος $LN$ . Μετά την πολύ ωραία λύση του Πρόδρομου ...

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία

Υπερδιπλάσιο.pngΣτο εξωτερικό σκαληνού ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , σχεδιάσαμε τρία ημικύκλια με διαμέτρους τις πλευρές του , των οποίων τα μέσα ονομάσαμε $M,N,L$ . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τριγώνου $MNL$ είναι υπερδιπλάσιο εκείνου του $\displaystyle ABC$ . Είναι, $\displaystyle AL = ...

Ερώτημα 3Πειραματικό ισοσκελές.png Δείξτε ότι ο περίκυκλος $(O)$ του $ASD$ έχει διπλάσια ακτίνα από τον περίκυκλο $(K)$ του $DCT$ και ότι η διάκεντρος $OK$ είναι κάθετη στην ευθεία $BC$ . Έστω $R, r$ οι ακτίνες του μεγάλου και του μικρού κύκλου αντίστοιχα. Είναι, $AQ=2SD=2DT.$ Πειραματικό ισοσκελές...

Κατασκευή και εμβαδόν.pngΚατασκευάστε - με κανόνα και διαβήτη - το τρίγωνο του σχήματος και υπολογίστε το εμβαδόν του . Κατασκευή και εμβαδόν.Κ.png Σε ευθεία θεωρώ τα διαδοχικά σημεία $B, S, P, C,$ ώστε $BS=4, SP=2, PC=6.$ Στη συνέχεια γράφω τα τόξα χορδών $BC, SP $ που δέχονται γωνίες $135^\circ$ ...

Πειραματικό ισοσκελές.pngΣτο ίχνος της διχοτόμου $BD$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC , ( AB=AC )$ , φέρουμε κάθετη , η οποία τέμνει την $AB$ στο $S$ και την προέκταση της $BC$ στο $T$ . Σχεδιάστε ένα τέτοιο ισοσκελές στο οποίο να είναι : $AS=CD$ . Στη συνέχεια βάλτε δικά σας ερωτήματα για μια συλλογική ά...

Πειραματικό ισοσκελές.pngΣτο ίχνος της διχοτόμου $BD$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC , ( AB=AC )$ , φέρουμε κάθετη , η οποία τέμνει την $AB$ στο $S$ και την προέκταση της $BC$ στο $T$ . Σχεδιάστε ένα τέτοιο ισοσκελές στο οποίο να είναι : $AS=CD$ . Στη συνέχεια βάλτε δικά σας ερωτήματα για μια συλλογική ά...

Εξωτική γωνία.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ισοσκελές , με $AB=AC$ . Στην προέκταση της $AB$ , θεωρώ σημείο $S$ , ώστε : $CS=CA$ . Φέρω $BT \perp CS$ . Υπολογίστε την $\widehat{CBT}=\phi$ , συναρτήσει της $\hat{A}=\theta$ . Άσκηση που οι μαθητές έχουν προθεσμία να απαντήσουν ως τα τέλη Νο...

Αλλιώς το δεύτερο. Με $R$ ακτίνα του περίκυκλου, λόγω $\displaystyle {\rm{Euler}}$ είναι $x=\dfrac{R}{2}$. Επίσης $\displaystyle a = 5,b = 3\sqrt 5 ,c = 2\sqrt {10} $ $\displaystyle (MLN) = \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{{R^2}}}{8} = \frac{1}{8}{\left( {\frac{{abc}}{{60}}} \right)^2} = ... = \frac{{25}}...

Ακτινοδιάγνωση.pngΚύκλος με κέντρο πάνω στην μεσοκάθετο της πλευράς $BC$ , τετραγώνου $ABCD$ , διέρχεται από τις κορυφές του $A,D$ και τέμνει την μεσοκάθετο στο σημείο $S$ . Αν : $SC\perp CA$ , υπολογίστε την ακτίνα $r $ του κύκλου , συναρτήσει της πλευράς $a$ . Ακτινοδιάγνωση.Κ.png Το $COBS$ είναι...

Τμήμα προέκτασης.pngΠροεκτείνουμε την υποτείνουσα $BC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , με $AB>AC$ κατά τμήμα $CS$ . Ονομάζουμε $T,P$ τις προβολές του $S$ στις ημιευθείες $BA , AC$ . Υπολογίστε το $CS$ αν : $PT\perp CS$ . Έστω $SC=x.$ Τμήμα προέκτασης.png $\displaystyle PS||AB \Rightarro...

Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΩραία ! Δεν αντέχω στον πειρασμό να θέσω ένα ακόμη ερώτημα : Αν το ύψος $AD$ χωρίζει τη βάση , σε τμήματα $BD=2 $ και $DC=3$ , υπολογίστε τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle ABC$ και $MNL$ . Έστω $AD=h.$ Ορθογώνιο και ισοσκελές.Κ2.png $\displaystyle \tan (\varphi + \ome...

Καλό μήνα! Νομίζω ότι οι ενδεδειγμένες λύσεις είναι του Ορέστη . Δεν υπάρχουν και πολλές επιλογές, εκτός ίσως από λίγη τριγωνομετρία στο (ΙΙ), $\displaystyle \tan (N\widehat \Delta \Gamma ) = \frac{1}{2},$ κλπ. Μου κάνει εντύπωση ότι δυσκολεύτηκαν στο (Ι). Στην Α' Λυκείου στα τετράγωνα, υπάρχει μια...

Στο κυνήγι της ορθότητας.pngΚύκλος $(K , r) $ , ο οποίος διέρχεται από τις κορυφές $B,C$ , του - πλευράς $a$ - τετραγώνου $ABCD$ , τέμνει την προέκταση της διαγωνίου $AC$ στο σημείο $S$ . Βρείτε την ακτίνα $r$ του κύκλου , αν : $SD\perp SK$ . Εκτός φακέλου. Έστω $CS=x.$ Στο κυνήγι της ορθότητας.Κ.p...

Ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΣτο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με $\hat{A}=45^0$ , τα σημεία $M,N$ είναι τα μέσα των πλευρών $AB,AC$ . Το ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ , τέμνει τις $AB , AC$ στα σημεία $S,T$ . Αν $L$ το μέσο του $ST$ , δείξτε ότι το τρίγωνο $LMN$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές . Ορθογώνιο ...

Κατασκευή, λόγος και γωνίες.png Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ και ένα σημείο του $A.$ Έστω $H$ η προβολή του $A$ στη διάμετρο, $M$ το μέσο του $HC$ και $D$ το συμμετρικό του $A$ ως προς $B.$ Αν $DM=AC,$ α) να κατασκευάσετε το σχήμα και να υπολογίσετε το λόγο $\displaystyle \frac{{BM}}{{MC}}.$ β)...

Παρά τρίχα ενάμισι.png Δίνονται οι καμπύλες με εξισώσεις $\displaystyle {C_1}:y = {x^2}$ και $\displaystyle {C_2}:y = {(x - 2\varphi )^2},$ όπου $\displaystyle \varphi $ ο χρυσός λόγος. Ένας κύκλος εφάπτεται στον $Ox$ και εξωτερικά στις καμπύλες $C_1, C_2,$ στα $A, B$ αντίστοιχα. Η $BA$ τέμνει τον ...

Χρόνια Πολλά με Υγεία και Δημιουργικότητα σε όλα τα μέλη του που γιορτάζουν σήμερα. Ιδιαίτερες ευχές στους:

Ανδρέα Βαρβεράκη
Ανδρέα Παντερή
Ανδρέα Πούλο

Όλοι θετικοί ακέραιοι.png Εκτός από τα μήκη των πλευρών του παραπάνω τριγώνου που είναι ακέραιοι αριθμοί, μπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε ότι και οι ακτίνες του εγγεγραμμένου και περιγεγραμμένου κύκλου είναι ακέραιοι καθώς επίσης και η αριθμητική τιμή του εμβαδού του. Μπορείτε να σχεδιάσετε ένα δικ...