Η άσκηση είναι από Εθνική Ολυμπιάδα. Αλλάζω την διατύπωση στο πρώτο ερώτημα: α) Να δείξετε ότι $\displaystyle (ABC) = \frac{1}{3}\sqrt {2\left( {{m_a}^2{m_b}^2 + {m_b}^2{m_c}^2 + {m_c}^2{m_a}^2} \right) - \left( {{m_a}^4 + {m_b}^4 + {m_c}^4} \right)} $ β) Αν ${m_a} \le 2,{m_b} \le 3,{m_c} \le 4,$ ν...

Στις πλευρές ενός τετραγώνου παίρνουμε μήκη $1,2,3,4$, όπως στο σχήμα και φέρνουμε τις σημειωμένες ευθείες. Αν για τα εμβαδά ισχύει η ισότητα $A+C+E+G=I$, να υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου. (Ας την αφήσουμε $24$ ώρες για τους μαθητές μας). Τετράπλευρο σε τετράγωνο.png $\displaystyle \left\{ ...

Για σχολική χρήση (στο φάκελο που βρισκόμαστε) θα πρέπει να ορίζεται η αποδεικτέα σχέση, δηλαδή $x,y>0$ (έτσι κι αλλιώς δεν αληθεύει για $x=y=0$). Τότε όμως δεν ισχύει η υπόθεση. Καθυστερημένα ,αν και ποτέ δεν είναι αργά. Στο σχολικό βιβλίο Δ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θ.ΒΑΒΑΛΕΤΣΚΟΥ -Γ.ΜΠΟΥΣΓΟΥ ΤΟΜΟΣ ΠΡΩΤΟΣ 1976 σε...

Στο σχήμα του Νίκου, είναι το ύψος του τριγώνου

Σωστά. Αυτά ισχύουν για (για κάποιο λόγο είχα την εντύπωση πως είχε δοθεί ). Αν αλλάζουν
οι φορές των ανισώσεων και εναλλάσσονται τα μέγιστα με τα ελάχιστα. Ωστόσο, το τελικό αποτέλεσμα είναι το ίδιο.

Έστω $\displaystyle k,m\in R$ με $\displaystyle k\ne 0$ και οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x}$, $\displaystyle x>0$ και $\displaystyle g(x)=\frac{k{{x}^{2}}+mx+k}{x},\,\,\,\,x<0$. Δείξετε ότι η απόσταση των ολικών ακροτάτων τους είναι $\displaystyle d=2\sqrt{4{{k}^{2}}+1}...

Να σημειώσω απλώς ότι η η άσκηση υπάρχει στο βιβλίο
Γεωμετρία του Γιάννη Ντάνη στη σελίδα 258, ως 692. θεώρημα.

Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $\widehat B=40^\circ, \widehat C=80^\circ.$ Να εντοπίσετε σημείο $S$ στο εσωτερικό του τριγώνου, ώστε $\displaystyle BS = AC$ και $\displaystyle BS + SC = AB.$ Λύσεις με επιφοίτηση του Αγίου Πνεύματος δεν γίνονται δεκτές :lol: Δυστυχώς, θα πρέπει να εξηγήσετε πώς βρήκατε αυτό ...

Σωστά! Θα μπορούσε να είναι μία από όλες αυτές τις συναρτήσεις. Φαντάζομαι, θα υπάρχουν και άλλες.
Απλώς, η μου φάνηκε εκείνη τη στιγμή που έγραφα, η πιο "βολική".

Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον $y'y$ στο $\displaystyle A\left( {0, - \frac{1}{4}} \right),$ να εξετάσετε αν η $\displaystyle f(x) = \frac{1}{{{x^2} - 4}}$ θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα. Γιώργο η συνάρτηση όντως είναι αυτή. Αλλά εξήγησέ μου πώς εμπνεύστηκες το ερώτ...

Αν η γραφική παράσταση τέμνει τον στο να εξετάσετε αν η θα μπορούσε να είναι η συνάρτηση που απεικονίζεται στο σχήμα.

Μέγιστο γινόμενο 8.pngΣημείο $S$ κινείται στην διάμετρο $AB=d$ , ενός ημικυκλίου . Ευθεία , η οποία εφάπτεται στο ημικύκλιο διαμέτρου $AS$ ( του ίδιου ημιεπιπέδου ) στο μέσο του $M$ , τέμνει το αρχικό ημικύκλιο στα σημεία $M , L$ . Βρείτε το μέγιστο του γινομένου : $MN \cdot ML$ Έστω $O, K$ τα κέντ...

Να λύσετε την εξίσωση: $x = \sqrt {x - \dfrac{1}{x}} + \sqrt {1 - \dfrac{1}{x}} $ Καλησπέρα! Για $x\ge 1,$ $\displaystyle {\left( {x - \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {x - \frac{1}{x}} } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 1 - 2x\sqrt {1 - \frac{1}{x}} = x \Leftrightarrow {x^2}...

Χρόνια Πολλά με Υγεία σε όσους και όσες γιορτάζουν σήμερα.

Ιδιαίτερες ευχές στον Σταύρο Παπαδόπουλο!

drakpap έγραψε: ↑

Δευ Σεπ 14, 2020 9:31 am

viewtopic.php?t=40025

Το παράδειγμα στην παραπομπή είναι άκυρο για σχολική χρήση.

drakpap έγραψε: ↑

Κυρ Σεπ 13, 2020 11:44 pm

Νομίζω στον ορισμό της ισότητας συναρτήσεων είναι μαθηματικά λάθος να λέμε οτι έχουν τον ίδιο τύπο.

Γιατί είναι λάθος;

Πολλά συγχαρητήρια στην ομάδα μας στην JBMO 2020 για τις κορυφαίες επιδόσεις τους: Πρόδρομος Φωτιάδης: 31/40, Χρυσό μετάλλιο :winner_first_h4h: Κωνσταντίνος Κωνσταντινίδης: 31/40, Χρυσό Μετάλλιο :winner_first_h4h: Γεώργιος Τζαχρήστας: 26/40, Αργυρό Μετάλλιο :winner_second_h4h: Παναγιώτης Λιάμπας: 2...

Εμβαδόν τετραγώνου.pngΤο $S$ είναι εσωτερικό σημείο του τετραγώνου $ABCD$ και το $E$ σημείο της $BC$ , ώστε στο τρίγωνο $DSE$ να είναι : $DE=5 , DS=4 , SE=3$ . Αν τα $A,S,E$ είναι συνευθειακά , υπολογίστε το : $(ABCD)$ . Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\boxed{x = \sqrt {25 - {x^2}}}$ $(1)$...

Την έχουμε ξαναδεί εδώ. Δείτε την εκπληκτική απόδειξη του Ορέστη!

Διχοτόμηση_1.png Να βρείτε σημείο $S$ στην περίμετρο του σχήματος , εις τρόπον ώστε το ευθύγραμμο τμήμα $DS$ να διχοτομεί το εμβαδόν του μη κυρτού πενταγώνου $ABCDE$ Πρώτα θα υπολογίσω το εμβαδόν του μη κυρτού πενταγώνου. Σχηματίζω το ορθογώνιο $ABFE.$ Με Π. Θ πρώτα βρίσκω $EC^2=377$ και στη συνέχε...