Πιο κάτω δεν πάει.pngΣτην διάμετρο $AB$ ενός ημικυκλίου βρίσκονται σημεία $P , T$ , τέτοια ώστε : $AP=2 , PT=7 ,TB=1$ . Σημείο $S$ κινείται στο ημικύκλιο . Το κέντρο $K$ του περικύκλου του τριγώνου $SPT$ , κινείται φυσικά πάνω στην μεσοκάθετο του τμήματος $PT$ . Βρείτε την "χαμηλότερη" θέση του $K$...

KARKAR έγραψε: ↑

Τετ Απρ 29, 2026 8:50 am

Βαριετέ.pngΚατασκευάστε τρίγωνο , με : , τέτοιο ώστε αν η μεσοκάθετος της τέμνει την

στο σημείο , να είναι : . Λόγω ευκολίας , αναζητούμε ποικιλία λύσεων

Χωρίς λόγια.

Μπορούμε να βρούμε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $x^2+y^2+1-\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ ; Θεωρώ την παράσταση ως τριώνυμο του $x,$ $\displaystyle f(x) = {x^2} - \frac{4}{5}(y + 1)x + {y^2} + 1 - \frac{{4y}}{5},$ που έχει ελάχιστο για $\displaystyle x = \frac{2}{5}(1 + y).$ Αν κάνω το ίδιο με τριώνυμ...

Συντεταγμένη κατασκευή.pngΟι συντεταγμένες των κορυφών $A , B$ , του τριγώνου $ABC$ φαίνονται στο σχήμα . Η κάθετη $BT$ από το $B$ προς την διάμεσο $AM$ , τέμνει την $AC$ στο $S$ . Αν : $(ABT)=(STMC)$ , βρείτε την τετμημένη του $C$ . Έχει ήδη αποδειχθεί πιο πάνω ότι η $BS$ είναι διάμεσος. Συντεταγμ...

Δείξτε ότι για κάθε $x , y \in \mathbb{R}$ , ισχύει : $x^2+y^2+1>\dfrac{4}{5}(x+y+xy)$ H ανισότητα γράφεται, $5x^2+5y^2+5-4x-4y-4xy>0,$ απ' όπου $\displaystyle ({x^2} - 4xy + 4{y^2}) + (4{x^2} - 4x + 1) + ({y^2} - 4y + 4) > 0 \Leftrightarrow $ $\displaystyle {(x - 2y)^2} + {(2x - 1)^2} + {(y - 2)^2...

Από το κέντρο ως το μέσο.pngΟ κύκλος $(K , 3)$ διέρχεται από το κέντρο του $(O , 2)$ και τον τέμνει στα σημεία $A , B$ . Εντοπίστε σημείο $S$ του $(O)$ , τέτοιο ώστε το μέσο $M$ του $KS$ , να βρίσκεται πάνω στην $AB$ και υπολογίστε το τμήμα $OM$ . Θα απαντήσω απευθείας στο δεύτερο ερώτημα, οπότε κα...

Ψάξτε για θέση.pngΑπό σημείο $S$ τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AN}$ , ακτίνας $5$ , φέρουμε : $ST \perp ON$ . Η διχοτόμος της $\widehat{TSO}$ , τέμνει την $ON$ στο σημείο $P$ . Βρείτε την θέση του $S$ , για την οποία : $OP=2$ . Ωραία γεωμετρική κατασκευή είναι του Μιχάλη Λάμπρου (#3) Ας δούμε ό...

Σε τρισορθογώνιο τετράεδρο $OABC$, με $O$ κορυφή της τρισορθογώνιας γωνίας, δίνεται ότι $OA=a, OB=b,OC=c$ με $a,b,c$ θετικούς αριθμούς. Να υπολογιστεί από τα $a,b,c$ η ακτίνα $R$ της περιγεγραμμένης σφαίρας του $OABC.$ Δεν υπάρχει πρόβλημα αν δοθεί λύση εκτός φακέλου... Έστω $M$ το μέσο της ακμής $...

\varphi=90^\circ Σταθερή μέσα στην κίνηση.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ , τα $M , N$ είναι τα μέσα των κάθετων πλευρών $AB , AC$ αντίστοιχα , ενώ το $AD$ είναι ύψος . Ονομάζουμε $B' , C' $ τις προβολές των $B , C$ , αντίστοιχα σε μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από την κορυφή $A$ . Οι $B'M , C'D$ τέμνο...

είναι σημείο της πλευράς τετραγώνου Η τέμνει τις στα

αντίστοιχα. Να βρείτε τη θέση του αν

Εξαιρετική συνευθειακότητα.pngΣε τρίγωνο $ABC$ , η κάθετος της $AB$ στο $A$ , τέμνει την μεσοκάθετο της $BC$ στο $K$ . Γράφουμε τον κύκλο $(K , KA)$ , προς τον οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $CS$ . Δείξτε ότι τα σημεία $A , S , M $ είναι συνευθειακά . ( $M$ είναι φυσικά το μέσο της $BC$ ) . Τα τ...

Είναι $CE=AC\cdot cos\theta=a\sqrt{2}\left(\dfrac{a-1}{a}\right)=\sqrt{2}(a-1)$ Από το εγγράψιμο $DEBC$ είναι: $BC\cdot DE+ BE \cdot DC=BD \cdot CE \Leftrightarrow DE+BE = \sqrt{2} CE \Leftrightarrow (DE+BE)^2 = (\sqrt{2} CE)^2 \Leftrightarrow $ $\Leftrightarrow DE^2+BE^2+2DE\cdot BE= 2CE^2 \Leftri...

mick7 έγραψε: ↑

Τετ Απρ 22, 2026 10:02 pm

Υπολογίστε το μήκος (?).

Νόμος συνημιτόνου στο

Πυθαγόρειο στο

Μετρική_5.png Στον περιγεγραμμένο κύκλο τετραγώνου $ABCD$ πλευράς $a$ και στο μικρό τόξο $\overset\frown{AB},$ θεωρώ σημείο $E$ και ονομάζω $A\widehat DE=\theta.$ Αν το εμβαδόν του τριγώνου $BED$ ισούται αριθμητικά με $a+1$ και $\cos \theta=\dfrac{a-1}{a},$ να βρείτε την πλευρά $a$ του τετραγώνου κ...

Αν οι $a,\,b,\, c$ είναι θετικοί με $a^b=8, \, c^b=10, \, a^c=512$, να βρεθεί η τιμή του ${\color {red} c^c}$. (Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές μας του Γυμνασίου.) ΔΙΟΡΘΩΣΗ. Το ζητούμενο είναι το $c^c$ και όχι το $b^b$ που έγραψα αρχικά. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία. . $\displaystyle {a...

Εγώ φτάνω μέχρι

Ο λόγος της συνάρτησης.pngΗ πλευρά $AB=x$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ μεταβάλλεται . Οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{A} , \hat{B}$ , τέμνονται στο σημείο $S$ . Δημιουργήστε συνάρτηση $\lambda(x)$ , η οποία να αποδίδει τον λόγο : $\dfrac{(ABC)}{(ABS)}$ . α) Βρείτε τον $\lambda$ , όταν $x=2$ . β) Βρε...

Τετράγωνο εφαπτομένης.pngΟι διχοτόμοι $AD , BE$ , του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , τέμνονται στο σημείο $S$ . Αν : $(ASB)=(CDSE)$ , υπολογίστε την : $\tan^2\theta$ . Η ισότητα των εμβαδών μάς εξασφαλίζει ότι $(ADC)=(AEB),$ απ' όπου Τετράγωνο εφαπτομένης.png $\displaystyle \frac{1}{2}b\frac{{ab}}{{b ...