Αλλιώς (λίγο τραβηγμένο; ) Αν είναι τα μέσα των τότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά

και η είναι η κοινή εξωτερική τους εφαπτομένη. Άρα κλπ.

Σε τρίγωνο δίνονται και η ακτίνα του εγγεγραμμένου

κύκλου Να δείξετε ότι ή

Μεσογινόμενο.png$\bigstar$ Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου τραπεζίου $ABCD$ τέμνονται κάθετα . Υπολογίστε το εμβαδόν του . H κάθετη από το $D$ στην $BD$ τέμνει την $BA$ στο $E.$ Μεσογινόμενο.png Είναι $\displaystyle DE||AC \Rightarrow EA = DC = b$ και $\displaystyle {h^2} = ab.$ Άρα, $\boxed{(ABCD) = \...

ΘΕΜΑ 2 Σε ένα παραλληλόγραμμο $ABCD$ είναι $AD\perp AC$.Έστω $N$ η προβολή του $C$ στην $BD$ και $P$ το συμμετρικό του $B$ ως προς την $AC.$ Να αποδειχθεί ότι $\angle ANP=90^o$. 39-μικροί.png Το $ACPD$ είναι ορθογώνιο εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega)$ κι επειδή $D\widehat NC=90^\circ,$ το $N$ είναι ...

ΘΕΜΑ 3 Από το μέσο $D$ της βάσης $BC$ του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρω τμήμα $DE \perp AB$. Αν $M,N$ είναι τα μέσα των $DC,DE$ αντίστοιχα , δείξτε ότι η γωνία $\widehat{ANM}$ είναι ορθή. Αλλιώς. 32-μικροί.png Τα τρίγωνα $AED, ADC$ είναι όμοια, άρα $\displaystyle \frac{{AE}}{{AD}} ...

ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ABC ( AB=AC)$ και τα σημεία $D,E$ των πλευρών $AB,AC$ αντίστοιχα, ώστε $AD=CE$ . Αν $M$ είναι το μέσο του $CD$ και $N$ το μέσο του $AE$ , να αποδειχθεί ότι $MN\perp BC$. Έστω $P$ το μέσο της $BC$ και $F$ το σημείο τομής των $MN, BA.$ Θέτω $CE=AD=x.$ 40-μικροί.png Μ...

ΘΕΜΑ 2 Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και ισχύει $AB=BC,AD=3DC$. Το σημείο $R$ βρίσκεται στην $BD$ έτσι ώστε $DR=2RB$, το σημείο $Q$ στην $AR$ ώστε $\angle ADQ = \angle BDQ$. Επιπλέον, $\angle ABQ + \angle CBD = \angle QBD$ και η $AB$ τέμνει την $DQ$ στο $P$. Να βρείτε το μέτρο της ...

ΘΕΜΑ 2 Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και ισχύει $AB=BC,AD=3DC$. Το σημείο $R$ βρίσκεται στην $BD$ έτσι ώστε $DR=2RB$, το σημείο $Q$ στην $AR$ ώστε $\angle ADQ = \angle BDQ$. Επιπλέον, $\angle ABQ + \angle CBD = \angle QBD$ και η $AB$ τέμνει την $DQ$ στο $P$. Να βρείτε το μέτρο της ...

Ας συγκεντρώσουμε εδώ, όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε για να αποδείξουμε τη γνωστή πρόταση:

Η διχοτόμος τριγώνου κείται μεταξύ του ύψους και της διαμέσου που άγονται από την ίδια κορυφή.

Τετράγωνος τοίχος.png$\bigstar$ Στο ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$ , "εγγράψαμε" το τετράγωνο $PQST$ . Καλύψαμε το $50\%$ της επιφάνειας του τριγώνου ; Για την σημερινή σχολική πραγματικότητα ( κυρίως για την Γεωμετρία ) , αυτό είναι ένα δύσκολο θέμα . Έστω $a$ η πλευρά του ισοπλεύρου και $x$ η πλευρά του...

Καλησπέρα. Με αφορμή και την παρατήρηση του Γιώργου εδώ Εδώ έγκεντρο, εκεί βαρύκεντρο!.PNG $\bigstar$ Το τρίγωνο $ABC$ έχει πλευρές $\left ( c,b,a \right )=\left ( 3,4,5 \right )$ και $I$ το έγκεντρο αυτού. Αν $BE \perp CI$ με $E \in CA$ τότε Να εξεταστεί αν το $I$ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ...

Θα αποδείξω ότι δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο, δηλαδή ότι το σχήμα είναι λάθος. Πράσινα άλογα.png Πράγματι με νόμο συνημιτόνου βρίσκω $\displaystyle x = 25 - 12\sqrt 2 $ και στη συνέχεια διαπιστώνω ότι $x^2+3^2>4^2,$ που σημαίνει ότι το τρίγωνο $TSC$ είναι οξυγώνιο, άρα η μεσοκάθετος του $TS$ τέμνει τη...

Λόγος με λόγο.pngΣτο τρίγωνο $ABC$ , είναι : $AB=5 , AC=7 , BC=8$ . Με κορυφή σημείο $S$ της $BC$ , τέτοιο ώστε : $SC=2$ , σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο $APSQ$ . Ο κύκλος $(P,Q , S )$ ξανατέμνει την $BC$ στο σημείο $T$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{(PTQ)}{(ABC)}$ Η αρχική μου λύση ήταν ίδια με τ...

$\bigstar$ Αν : $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{3}$ και $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{4}{9}$ , υπολογίστε την τιμή του : $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}$ , χωρίς να βρείτε τους $x, y$ . $\boxed{\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{{y + 2}} = \frac{{x + y + 4}}{{xy + 2(x + y) + 4}}}$ $(1)$ Από τ...

Άγνωστος γεωμετρικός τόπος.png Το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο διαμέτρου $BC$ και $N$ είναι ένα τυχαίο σημείο του τόξου $\overset\frown{AC}.$ Για το σημείο $M$ του επιπέδου γνωρίζουμε τα εξής: Τα $M, N$ είναι εκατέρωθεν της $BC, NM=NB$ και $B\widehat AM=C\widehat AN.$ Ζητούμε...

Αλλαγή τοποθέτησης.pngΒρίσκεστε στον αριστερό κλάδο της παραβολής : $y=x^2$ και αποφασίζετε να μεταβείτε στον δεξιό αλλά με το λιγότερο "κόστος" . Ποιο είναι το ελάχιστο του τμήματος $AB$ ; Αλλαγή τοποθέτησης.png $\displaystyle AB = \sqrt {{{(x + 2)}^2} + {{({x^2} - 4)}^2}} = \sqrt {{x^4} - 7{x^2} ...

Καλό μεσημέρι σε όλους!

Να παρατηρήσω απλώς, ότι στο τελευταίο ερώτημα, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με κορυφή

είναι το ύψος και η διάμεσος τριγώνου Αν ο κύκλος διαμέτρου διέρχεται

από το βαρύκεντρο του τριγώνου, να βρείτε μία σχέση ανάμεσα στις γωνίες και

Σταθερή διαφορά γωνιών.png $AM$ είναι η διάμεσος τριγώνου $ABC$ και το σημείο $N$ κινείται στο μικρό τόξο $\overset\frown {AM}$ του περίκυκλου του τριγώνου $ABM.$ Το σημείο $D$ επιλέγεται εσωτερικά της γωνίας $A\widehat MB$ ώστε $N\widehat MD=90^\circ$ και $ND=NB.$ Να δείξετε ότι η διαφορά $B\wideh...

Αναζήτηση σημείου.png$\bigstar$ Κύκλος ακτίνας $r$ εφάπτεται των θετικών ημιαξόνων . Από σημείο $A(a,0)$ του $Ox$ , φέρω εφαπτόμενη στον κύκλο , η οποία τέμνει τον $Oy$ στο σημείο $B(0,b)$ . α) Βρείτε ( με όποιον τρόπο θέλετε ! ) το $b$ , συναρτήσει των $a,r$ . β) Βρείτε το $b$ , αξιοποιώντας το λή...