Καλημέρα σε όλους. Καθετότητα και διπρόσωπη...PNG Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με $AB=2AC$. Στην προέκταση της $BC$ θεωρούμε $CE=BC$ και στην προέκταση της $EA$ σημείο $Z$ ώστε $\left ( BAC \right )=\left ( BAZ \right )$. Ι) Να εξεταστεί αν $BZ \perp EZ$ . Αν $\widehat{ABC}=\omega...\widehat{BEZ}=\theta $...

Πρόβλημα 4 Α' Λυκείου Ευκλείδης 2020 Α Λυκείου .4.png $\displaystyle B\widehat AZ = 25^\circ $ και από την προφανή ισότητα των $ATB, AED$ προκύπτει ότι $\displaystyle T\widehat AB = 20^\circ .$ Άρα το $ATE$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές κι επειδή η $AZ$ διχοτομεί την ορθή γωνία θα είναι μεσοκάθετος...

Λογισμός και λογισμικό.pngΣτη διάμετρο $AB=d$ ημικυκλίου , κινείται σημείο $S$ και έστω $AS=x$ . Γράφουμε το ημικύκλιο διαμέτρου $SKB$ , προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $AE$ . Υπολογίστε το : $(AEK)_{max}$ Αν $d=6$ , δοκιμάστε να βρείτε το $(AEK)_{max}$ , με χρήση του Wolframalpha και ......

Λοιπόν, το ότι θα πρέπει να απολογούμαστε κάθε φορά που ανεβάζουμε λύσεις για θέματα διαγωνισμών τα τελευταία χρόνια το θεωρώ απαράδεκτο! Θα πρέπει να θέσουμε και χρονικό όριο από τη στιγμή που ανέβουν εδώ τα θέματα ώστε να τα δουν όλοι; Συμμετέχουμε σε κάποιο διαγωνισμό που δεν ξέρω; Ή, ως mathema...

Πρόβλημα 4 Γ' Λυκείου Ευκλείδης 2020 Γ Λυκείου .4.png $\displaystyle BD = DZ \Rightarrow Z\widehat DC = 2Z\widehat BC = Z\widehat OC,$ άρα το $ZDOC$ είναι εγγράψιμο. $\displaystyle BD = DZ,BO = OZ,$ άρα η $OD$ διχοτομεί την $B\widehat OZ$ και $\displaystyle O\widehat ZD = D\widehat OZ = B\widehat O...

Λοιπόν, το ότι θα πρέπει να απολογούμαστε κάθε φορά που ανεβάζουμε λύσεις για θέματα διαγωνισμών τα τελευταία χρόνια το θεωρώ απαράδεκτο! Θα πρέπει να θέσουμε και χρονικό όριο από τη στιγμή που ανέβουν εδώ τα θέματα ώστε να τα δουν όλοι; Συμμετέχουμε σε κάποιο διαγωνισμό που δεν ξέρω; Ή, ως mathema...

Πρόβλημα 4 Γ' Λυκείου
Μόλις είδα ότι αναρτήθηκαν οι επίσημες λύσεις. Θα την διαβάσω κι αν η δική μου είναι διαφορετική, θα την γράψω αργότερα.

Χρόνια Πολλά και Καλά με Υγεία σε όσες και όσους γιορτάζουν σήμερα. Ιδιαίτερες ευχές στους:

Θανάση Καραντάνα(KARKAR)
Θάνο Καλογεράκη(sakis1963)
Θάνο Μάγκο
Θανάση Κοντογεώργη (socrates)
Θανάση Μπεληγιάννη
Θανάση Κοπάδη
thanasis.a.

Πρόβλημα 1 Γ' Γυμνασίου $a + 9 = {b^2} - 6b + 9 \Leftrightarrow a = {b^2} - 6b$ και ομοίως $b = {a^2} - 6a$ Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνω ${a^2} + {b^2} = 7(a + b)$ και με αφαίρεση κατά μέλη: $ - (b - a) = ({b^2} - {a^2}) - 6(b - a) = (b - a)(b + a - 6) \Leftrightarrow (b - a)(b + a - 6 + 1) = 0$ κι...

Πρόβλημα 1 Α' Λυκείου $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = {(a + b)^2} - 2ab\\ \\ {a^3} + {b^3} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = 1 - 2ab\\ \\ {a^3} + {b^3} = 1 - 3ab \end{array} \right.$ και $\displaystyle ab = \f...

Πρόβλημα 4 Γ' Γυμνασίου Ευκλείδης 2020 Γ Γυμν .4.png α) $\displaystyle {\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = {\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} = 45^\circ $ ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο. Άρα $\displaystyle {\rm E}\widehat \Delta {\rm Z} = 45^\circ .$ β) $\displaystyle {\rm B}\widehat \Delta \Gamma = 90^\c...

Πρόβλημα 4 Β' Λυκείου Ευκλείδης 2020 Β Λυκείου .4.png Είναι $AB=AC=CD=DE,$ απ' όπου εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα $ABC, DEC$ είναι ίσα. Άρα, $\displaystyle C\widehat OE = 2C\widehat DE = 90^\circ \Rightarrow O\widehat EC = 45^\circ. $ Αλλά, $\displaystyle B\widehat EC = B\widehat AC = 45^\circ ,$...

Ώρα εφαπτομένης 11.pngΤο μικρό ημικύκλιο , κέντρου $K$ , έχει την μισή ακτίνα από το μεγάλο , κέντρου $O$ . Η χορδή $BS$ του μεγάλου , εφάπτεται του μικρού . Υπολογίστε την $\tan\widehat{SKB}$ . Χρόνια Πολλά Θανάση! Ώρα εφαπτομένης.11.png $\displaystyle B{P^2} = 9{r^2} - {r^2} = 8{r^2} \Leftrightar...

Ορθογώνιοι κύκλοι και εμβαδά.png Δύο ορθογώνιοι κύκλοι $(O,r), (K, R), r<R$ τέμνονται στα σημεία $M, N.$ Μία ευθεία που διέρχεται από το $M$ τέμνει τον κύκλο $(O)$ στο $A$ και τον $(K)$ στο $B.$ α) Να δείξετε ότι οι $AN, BK$ τέμνονται σε ένα σημείο $C$ του κύκλου $(K).$ β) Αν $r=3, R=4$ να βρείτε τ...

Άσκηση 63

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

´Ασκηση 61 Να υπολογιστεί το ολοκληρώμα: $\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{\sin^3 x + \cos^3 x}\, \mathrm{d}x}$ $\displaystyle J = \int_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x({{\tan }^3}x + 1)}}} {\rm{ }}dx$ και με την αντικατάσταση $\displaystyle \tan x = u,$ είναι $\dis...

Επαναφορά.

βρείτε το λόγο.png Στο τετράγωνο $ABCD$ το $M$ είναι μέσο του $BC$. Έστω σημείο $S$ στην $AM$. Η $BS$ τέμνει την $MD$ στο $T$. Να βρεθεί η θέση του $S$ για την οποία $AS = MT$ Κατασκευή: Έστω $O$ το κέντρο του τετραγώνου. Ανάποδα ίσα.png Ο κύκλος $(A, AO)$ τέμνει την $AB$ στο $K$ και η κάθετη στην ...

Κανονικότητες.pngΣτην πλευρά $AB$ , τετραγώνου $ABCD$ , θεωρούμε σημείο $S$ και με βάση το τμήμα $SB$ , σχεδιάζουμε εντός του τετραγώνου το ισόπλευρο τρίγωνο $TSB$ . Για ποια θέση του $S$ , είναι : $\widehat{DTS}=90^0$ και ποιος είναι ο λόγος των εμβαδών των περικύκλων των $TSB$ και $ASTD$ ; Κανονι...

Τα σημεία τριχοτομούν την πλευρά και τα την πλευρά τριγώνου Οι

σχηματίζουν το τετράπλευρο Αν να υπολογίσετε το