rek2 έγραψε: ↑

Κυρ Σεπ 23, 2018 8:05 pm

Παίρνουμε τμήμα . Η ισότητα των τριγώνων δίνει την λύση.

1.png Στο παραπάνω σχήμα το $O$ είναι κέντρο του ημικύκλιου, το $MNPO$ τετράγωνο και το $B$ κέντρο του τεταρτοκύκλιου. Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{x}{y}$. Έστω $DH||BC.$ Ημ.Τεταρ.Τετρ..png $\displaystyle \frac{R}{{2R}} = \tan \theta = \frac{{DH}}{{AH}} \Leftrightarrow AH = 2DH \Leftrightarrow DH = M...

Δίνεται τετράπλευρο $ABCD$ και σημεία $K,L,M,N$ για τα οποία ισχύει $2\vec{KA}=\vec{BK}, 2\vec{LC}=\vec{BL}, 2\vec{MD}=\vec{CM}, 2\vec{ND}=\vec{AN}$. Να δείξετε ότι $\vec{KM}+\vec{NL}=\vec{AC}$. Διανυσματική ισότητα.png Από τις σχέσεις που έχουν δοθεί είναι προφανές ότι $\displaystyle NM|| = \frac{...

Δίνεται ρόμβος με και το μέσο της πλευράς Αν είναι σημείο της

ώστε και οι τέμνονται στο με να υπολογίσετε την

Παίρνοντας αφορμή από ένα σχόλιο του Γ. Ρίζου κατά την επεξεργασία των λύσεων των πανελληνίων , ανακινώ το θέμα της αιτιολόγησης στα γραπτά των μαθητών. Χάριν παραδείγματος έχω στο συνημμένο τη λύση του Δ1 με τρεις τρόπους : Η 1η λύση είναι αυτή που δώσαμε στο δελτίο . Η 2η έχει μια περίληψη της αι...

Χαίρετε. Μια τροποποίηση παλαιού θέματος με την προσδοκία να δούμε και νέες ιδέες-λύσεις. Σταθερός λόγος.PNG Το (σταθερό) τρίγωνο $ABC$ έχει $\widehat{A}=90^{0}$ , το $M$ είναι το μέσον της $BC$ ενώ το $E$ κινείται στην πλευρά $AC$ Η μεσοκάθετος του $BC$ τέμνει την $AC$ στο $N$ και τον περίκυκλο το...

Δίνεται τρίγωνο $ABC$ και η διχοτόμος της $\widehat{ABC}$ τέμνει την $AC$ στο $D$. Επείσης η διχοτόμος της $\widehat{DBC}$ τέμνει την $AC$ στο $E$ Αν $AD=DE$ να αποδείξετε $BD>AB$ Ανισότητα...δ.png Από θεώρημα διχοτόμων: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}...

Τραπεζιακά θέματα.pngΑ) Σχεδιάστε ένα τραπέζιο $ABCD$ με βάσεις : $AB=42 , DC=14$ και μη παράλληλες πλευρές : $AD=27 , BC=15$ . Β1) Δείξτε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{C}, \hat{D}$ τέμνονται σε σημείο $T$ της $AB$ . Β2) Αν οι διχοτόμοι των $\hat{A} , \hat{B}$ τέμνονται στο $S$ , υπολογίστε το ...

Σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις στο παρόν θέμα. Η δική μου προσέγγιση είναι ακριβώς ίδια με του Νίκου Φραγκάκη. Να αναφέρω απλώς ότι υπάρχει και λύση (εκτός φακέλου) με θεώρημα Μενελάου. Θα την ανεβάσω κάποια στιγμή αν δεν την γράψει κάποιος άλλος.

Ο παραλληλογραμμίστας.pngΈνα από τα δύο σημεία τομής των ( άνισων ) κύκλων $(O)$ και $(K)$ , ονομάζω $S$ . Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο $S$ τους τέμνουν και στα $P,T$ . Ονομάζω $Q$ το κέντρο του κύκλου $(S,P,T)$ . Δείξτε ότι το $SOQK$ είναι παραλληλόγραμμο . Ο παραλληλογραμμίστας.png Τα τρίγων...

Μόνος μου και δυό σας.pngΤα ισόπλευρα τρίγωνα $\displaystyle ABC$ και $DEZ$ είναι εγγεγραμμένα στον ίδιο κύκλο . Δείξτε ότι : $EC\parallel AD\parallel BZ$ και επιπλέον ότι : $EC=AD+BZ$ . 1 VS 2.png $\displaystyle AC = DE = BC = EZ,$ άρα τα $ADCE, BZCE$ είναι ισοσκελή τραπέζια και $\boxed{EC\paralle...

Ιδιότητα χαρταετού.pngΣτον χαρταετό $ABCD$ , με ορθές τις γωνίες $\hat{B} ,\hat{D}$ , το $S$ είναι σημείο του τόξου του τομέα $A\overset{\frown}{BD}$ . Αν $SP=1$ και $SQ=2$ , υπολογίστε την απόσταση $ST$ . Τα τρίγωνα $QSP, TSQ$ είναι όμοια και είναι πάντα $\displaystyle S{Q^2} = SP \cdot ST.$ Στην ...

Φυσιολογικό μέγιστο.pngΣημείο $S$ κινείται επί του τμήματος $AB=d$ . Σχεδιάζω στο ίδιο ημιεπίπεδο το τετράγωνο $ASPQ$ και το ισόπλευρο τρίγωνο $SBT$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $TPS$ Φυσιολογικό μέγιστο.png $\displaystyle {(TPS)_{\max }} = \frac{{{d^2}}}{{16}},$ όταν το $S$ είναι μ...

Τομέας εκπλήξεων !.pngΑ) Β) Η χορδή $AB$ τέμνει τον κύκλο στα σημεία $P,Q$ . Για ποιο μέτρο της γωνίας του τομέα , προκύπτει $PQ=ST$ ; Δεν απαγορεύεται η χρήση λογισμικού :lol: Έστω $2\theta$ η γωνία του τομέα, $R$ η ακτίνα του και $r$ η ακτίνα του κύκλου. Είναι $OK=R-r, OT=OS=\sqrt{R^2-2Rr}$ Τομέα...

Χρόνια Πολλά στο γκουρού της Γεωμετρίας Στάθη Κούτρα!

Πολλές ευχές στο γιο του Σωτήρη Λουρίδα, και στην Ευσταθία του

Απίστευτος αριθμητικός μέσος.pngΟ κύκλος $(K)$ διέρχεται από το κέντρο κύκλου $(O)$ , τον οποίον τέμνει στα σημεία $A,B$ , ενώ η διάκεντρος τέμνει τον $(O)$ στο $C$ . Έστω σημείο $S$ του $(K)$ , εσωτερικό του $(O)$ . Δείξτε ότι για την απόσταση $CT$ του $C$ από την ευθεία $SO$ , ισχύει : $CT=\dfrac...

Ισότητα τριγώνων.png Σε δύο τρίγωνα $ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DEZ$ , τα ύψη τους $AH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT$ είναι ίσα . Αν επί πλέον : $\left\{ \begin{gathered} BC = EZ \hfill \\ \widehat A = \widehat D \hfill \\ \end{gathered} \right.$ είναι τα τρίγωνα ίσα ; Για να δείξω ότι τα τρίγω...

Τομέας εκπλήξεων !.pngΑ) Στον κυκλικό τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ εγγράψτε κύκλο $(K)$ , εφαπτόμενο στο μέσο του τόξου του και σε σημεία των πλευρών του , τα οποία ας ονομάσουμε $S$ και $T$ . Για την κατασκευή. Τομέας εκπλήξεων.α.png Στο μέσο $M$ του τόξου $\overset\frown{AB}$ φέρνω εφαπτομένη πο...

Η ακτίνα του Ζήτα.png Στο σχήμα να υπολογιστεί η ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία $A\,\,,\,\,B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$,ως έκφραση των μηκών : $AB = a\,\,,\,\,BC = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD = c$. Εφαρμογή : $a = 4\,\,,\,\,b = 3\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 2$ Ζικ Ζακ.png...

Τόπος και σταθερότητα.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και $S$ είναι το αντιδιαμετρικό του $A$ . Σημείο $P$ κινείται επί της πλευράς $AB$ . Σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $QPS$ , με το $Q$ πλησιέστερα προς το $C$ απ' ότι στο $B$ . α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο τ...