Πολλά μέσα.png Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $ABC\,\,(A = 90^\circ )$. Το ύψος $AD$ το προεκτείνω, πέραν του $D$, κατά $DE = \dfrac{1}{2}AD$. Ας είναι δε $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $DB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC$ αντίστοιχα. Από τυχαίο σημείο $K$ της $AN$ γέρνω παράλληλη στη $BC$ που ...

Πρόβλημα-3 Γ Λυκείου Η ευθεία στο σχήμα, περιστρέφεται γύρω απ' το σημείο (εξαιρουμένης της κατακόρυφης).

Είναι φανερό ότι τέμνει την καμπύλη τουλάχιστον σε δύο σημεία (από δύο έως και τέσσερα).

Αυτή δεν είναι λύση, απλώς μία διαπίστωση.

Σημείωση: υπάρχει κ αμιγώς γεωμετρική λύση Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ευρήματα και το σχήμα. $\displaystyle \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{BM}}{{BE}} \Leftrightarrow BI = \frac{{aBD}}{{2b}}.$ Θα δείξω ότι: $\displaystyle {a^2} > B{I^2} + A{I^2} = 2B{I^2} \Leftrightarrow {a^2} > \frac{{2{a^2}(ac + {...

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑

Σάβ Ιαν 19, 2019 5:45 pm

1.png



Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείξτε ότι .

Καλησπέρα.

κι επειδή τα είναι εκατέρωθεν του θα είναι

FB2703c mathematica.jpg Σε ισοσκελές τραπέζιο $ABCD, AB=a//CD=b$ τα ίσα σκέλη είναι $AD=BC=b=\dfrac{a+c}{2}$ Αν $I\equiv AC\cap BD$, δείξτε οτι $\hat{AIB}>90^o$ Γεια σου Σάκη! Ανισότητα σε ισοσκελές τραπέζιο.png $\displaystyle AE = \frac{{a - c}}{2} \Rightarrow D{E^2} = {b^2} - \frac{{{{(a - c)}^2}...

Πρόβλημα 4 Γ Λυκείου Ευκλείδης 2019 G Λυκείου.png Φέρνω $\displaystyle \Gamma {\rm T}||{\rm A}\Delta .$ Είναι $\displaystyle {\rm B}\Gamma + {\rm A}\Delta = \Gamma \Delta \Leftrightarrow \Gamma {\rm T} + {\rm A}\Delta = \Gamma \Delta $ και από γνωστή άσκηση του σχολικού $\displaystyle \Gamma \wideh...

Πρόβλημα – 4 Α’ Λυκείου Ευκλείδης 2019 Α Λυκείου.png α) Φέρνω τη διάμετρο $BOZ$ και έστω $K$ το συμμετρικό του $Z$ ως προς $C$ και $H$ η προβολή του $C$ στην $AE.$ Το τρίγωνο $ZBK$ είναι ισοσκελές κι επειδή $\widehat Z=60^\circ$ θα είναι ισόπλευρο. Είναι όμως $BD=2DC,$ άρα $D$ είναι το βαρύκεντρο τ...

Πρόβλημα – 1 Β Λυκείου $\displaystyle ||x + 8| - 3x| = \frac{{x + 7}}{6}$ Επειδή το πρώτο μέλος είναι μη αρνητικό, το ίδιο θα συμβαίνει και με το δεύτερο, άρα $\displaystyle x \ge - 7 \Rightarrow x > - 8$ Οπότε η εξίσωση γράφεται:$\displaystyle |x + 8 - 3x| = \frac{{x + 7}}{6} \Leftrightarrow - 2x ...

Πρόβλημα 4 Β Λυκείου Ευκλείδης 2019 Β Λυκείου.png H $AC$ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, άρα $\displaystyle A\widehat IC = A\widehat KC = 90^\circ \Leftrightarrow $ $\boxed{CI=CK}$ $\displaystyle IA = IK \Leftrightarrow \omega = \varphi \Leftrightarrow 90^\circ - K\widehat AC = 90^\circ...

Πρόβλημα- 1 Α' Λυκείου $\displaystyle {a^3} + {b^3} = 2ab(a + b) \Leftrightarrow (a + b)({a^2} - 3ab + {b^2}) = 0$ κι επειδή οι $a, b$ είναι θετικοί θα είναι $\displaystyle a + b \ne 0,$ άρα $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 3ab \Rightarrow {a^4} + {b^4} = 7{a^2}{b^2}$ $(1)$ και $\displaystyle K = \fr...

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους φίλους Γιάννη , Νίκο και Γιώργο για την άμεση ανταπόκριση! Θεωρώ βάσιμα ότι και το νέο ζητούμενο -με τροποποίηση τινών δεδομένων- θα προξενήσει το ενδιαφέρον , λόγω.. :) .. και του α π οτελέσματος. Ο λόγος ο ..περισπούδαστος!.PNG Στο σχήμα η $EAD$ είναι κάθετη στην διάμετρο...

Μέγιστο εμβαδόν.pngΈνα τμήμα $AB$ με άκρα επί των ημιαξόνων $Ox , Oy$ , έχει σταθερό μήκος $d$ . Φέρουμε τη διάμεσο $OM$ και το ύψος $OD$ του ορθογωνίου τριγώνου $OAB$ . Για ποια θέση του $AB , ( OA>OB )$ , επιτυγχάνεται το $(OMD)_{max}$ ; Μέγιστο εμβαδόν.KAR.png $\displaystyle DM \cdot OD \le \fra...

Άλλη μία υπολογιστική. Τα τρίγωνα είναι όμοια,

Χρόνια Πολλά με Υγεία σε όσους και όσες γιορτάζουν σήμερα.

Ιδιαίτερες ευχές στους Θανάση(KARKAR), Θάνο Καλογεράκη(sakis1963) καθώς επίσης και στους

Θάνο Μάγκο, Θανάση Κοντογεώργη (socrates), Θανάση Μπεληγιάννη, Θανάση Κοπάδη και thanasis.a.

Μισό.pngΑπό σημείο $S$ της κάθετης πλευράς $AC$ , ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , φέρουμε τμήμα $ST$ κάθετο προς την υποτείνουσα $BC$. Πως πρέπει να επιλέξουμε το $S$ , ώστε $AS=2ST$ ; Θεωρήστε γνωστά τα $b,c$ . Έχετε και την επιλογή της υπολογιστικής λύσης :ewpu: Χρόνια Πολλά Θανάση! Μισ...

Ε΄'αχιστο τμήμα.pngΣτις πλευρές $\displaystyle{ και }$ του ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημεία $S,T$, ώστε : $AS=BT$ . Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος $ST$ , συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου . Ελάχιστο τμήμα...png Νόμος συνημιτόνων στο $BST$ με $\cos B =\dfrac{c}{a},$...

Από τους τύπους διαμέσου και διχοτόμου: Αν π. χ η $AD$ είναι διάμεσος και διχοτόμος, τότε $\displaystyle \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} = A{D^2} = bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right),$ απ' όπου καταλήγουμε στην εξίσωση: $\displaystyle (b - c)\left( {2{{(b + c)}^2} - {a^2}} \...

Ίσες χορδές και γωνία.pngΕπί των πλευρών $Ox,Oy$ της γωνίας $\phi$ θεωρούμε τυχόντα σημεία $S,T$ . α) Να εντοπίσετε σημείο $P$ της διχοτόμου , ώστε στον κύκλο $(S,P,T)$ , οι πλευρές της γωνίας να σχηματίζουν ίσες χορδές ( $ES=TD )$. β) Υπολογίστε τη γωνία $\widehat{SPT}$ . Διαφορετικά η κατασκευή. ...

Έστω συνάρτηση $f:[0,+\infty)\rightarrow R$με $f(0)=1$ για την οποία ισχύει $xf'(x)=f(x)+\int_{0}^{1}f(t)dt, x\geq 0$. Να βρεθεί ο τύπος της $f$. Για $x=0$ η δοσμένη σχέση γράφεται $\displaystyle 0 = 1 + \int_0^1 {f(t)dt} \Leftrightarrow \int_0^1 {f(t)dt} = - 1$ Για $x> 0,$ $\displaystyle \frac{{xf...

Ευχαριστώ τον Νίκο Φραγκάκη , τον Αλέξανδρο Τριανταφυλλάκη και τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις πολύ ωραίες κατασκευές και λύσεις τους. Ας δούμε λίγο διαφορετικά το υπολογιστικό κομμάτι. Σταθερός λόγος ακτίνων.β.png Έστω $OM=d$ το απόστημα της χορδής $AB$ και $MP=x.$ Τότε με Πυθαγόρειο στο $OHK_1$ ...