Μέγιστη περίμετρος.pngΘεωρώ ότι είναι απίθανο να μην έχει ξανασυζητηθεί , παρά ταύτα το θέτω : Στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$ , υπάρχει σημείο $O$ , τέτοιο ώστε : $OA=4 , OB=2 , OC=3$ . Να βρεθεί η μέγιστη περίμετρος του τριγώνου , με οποιονδήποτε τρόπο . Μεγ.Περ..png Εικάζω ότι η μέγιστη περίμετρος ...

Διακόπτοντας το σερί του Θανάση :lol: Εφαπτομένη σε ισόπλευρο.png Το $ABC$ είναι ισόπλευρο τρίγωνο και το $S$ είναι σημείο του κύκλου που διέρχεται από το $A$ και εφάπτεται της $BC$ στο μέσο της, έτσι ώστε $\displaystyle S\widehat CB = S\widehat BA = \theta. $ Να υπολογίσετε την $\displaystyle \tan...

Πείραμα σε κύκλους.pngΓια τους άνισους κύκλους $(O,R)$ και $(K,r)$ , ισχύει : $d=OK>R+r$ . Σημείο $S$ κινείται επί του $(K)$ . Φέρουμε το "πάνω" εφαπτόμενο τμήμα $ST$ . α) Καθώς το $S$ περιστρέφεται ποιες είναι οι οριακές θέσεις του $T$ ; ( Ας τις ονομάσουμε $T' , T''$ ) . β) Αν οι αντίστοιχες θέσε...

Προεκτείνω την $SB$ κατά τμήμα $BL=SB$ και σχηματίζω το παραλληλόγραμμο $SLKC.$ Έστω $P$ το σημείο τομής των $AS, BC.$Είναι $AS=SP$ και $PC=2BP.$ Αλλά, $KC||=2SB,$ οπότε τα σημεία $A,S, P, K$ είναι συνευθειακά και $SK=3SP=3AS.$ Μια τρύπα στο νερό.png $\displaystyle 3\overrightarrow {SA} + 2\overrigh...

Αλλιώς. Με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ στο $ABC$ και τέμνουσα την $BS,$ είναι $\displaystyle {c^2}3x + 16{x^3} = 16{x^3} + 12{x^3} \Leftrightarrow $ $\boxed{c=2x}$ Ώρα εφαπτομένης.65.png $\displaystyle \tan A = \frac{{CM}}{{AM}} = \frac{{\sqrt {16{x^2} - {x^2}} }}{x} \Leftrightarrow $ $\boxed{\ta...

Ώρα εφαπτομένης 65.png$\bigstar$ Στο τρίγωνο $ABC$ υπάρχει σημείο $S$ της πλευράς $AC$ , ώστε να ισχύουν τα σημειωμένα στο σχήμα . Υπολογίστε την : $\tan\hat{A}$ Νόμος συνημιτόνου στο $ASC:$ $\displaystyle 4{x^2} = 25{x^2} - 24{x^2}\cos C \Leftrightarrow \cos C = \frac{7}{8} \Leftrightarrow \cos \f...

Και γωνίες και πλευρές.png Σε τρίγωνο $ABC$ με $a>b>c,$ ισχύει η σχέση $\displaystyle \cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1.$ $AD$ είναι η εσωτερική και $CS$ η εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου και έστω ότι οι $SD, AC$ τέμνονται στο $T.$ I) Να δείξετε ότι $\displaystyle B\widehat TD = D\widehat SC.$ II) Α...

Καλημέρα! $\displaystyle \frac{{3 + \cos 4A + \cos 4B + \cos 4C}}{2} = 1 \Leftrightarrow \cos 4A + \cos 4B + \cos 4C = - 1 \Leftrightarrow $ $\displaystyle 2\cos (2A + 2B)\cos (2A - 2B) + 2{\cos ^2}2C - 1 = - 1 \Leftrightarrow $ $\displaystyle 2\cos 2C\left( {\cos (2A - 2B) + \cos (2A + 2B)} \right...

Οι ασκήσεις του τύπου : "όποιος δεν έχει βάσανα ... " , πυκνώνουν επικίνδυνα :Κυνηγώντας την ορθότητα.png Στο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ , είναι : $AB=AD=a$ και $DC=ka , 0<k<1$ . Το $M$ είναι το μέσο της διαγωνίου $BD$ . Η $AM$ τέμνει την $BC$ στο $T$ και η $DT$ την προέκταση της $AB$ , στο $S$ .Υπο...

Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι τα ύψη του και η διχοτόμος.

Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου αν και

KARKAR έγραψε: ↑

Τρί Νοέμ 24, 2020 12:30 pm

Υποθέτω Γιώργο ότι είναι ισοδύναμο αυτού , σελίδα .

Ψάχνεις αυτό .

Ναι, Θανάση. Αυτό ακριβώς!

Για το δεύτερο ερώτημα στη γενική του μορφή. Κάλυψη...png Αν $\displaystyle \frac{{DB}}{{DC}} = l,\frac{{EC}}{{EA}} = m,\frac{{ZA}}{{ZB}} = n,$ τότε: $\boxed{\frac{{(DEZ)}}{{(ABC)}} = \frac{{lmn + 1}}{{(l + 1)(m + 1)(n + 1)}}}$ Στην περίπτωσή μας είναι $l=m=n=2.$ Την έχω προτείνει παλαιότερα στο :lo...

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑

Δευ Νοέμ 23, 2020 8:59 pm

Για την πληρότητα της λύσης ας αναφέρουμε και τον έλεγχο

για .

Αυτό εξυπακούεται, αφού έχουμε ξεκαθαρίσει από την αρχή ότι

Σας ευχαριστώ όλους για τις πολύ ωραίες λύσεις. Δίνω κάτι παρόμοιο. Εγγράψιμο από παραλληλόγραμμο.ΙΙ.png Είναι, $\displaystyle DC = AB = BE,KC = KE$ και $\displaystyle K\widehat EC = K\widehat CE = K\widehat CD,$ άρα τα τρίγωνα $KDC, KBE$ είναι ίσα, δηλαδή $K\widehat DC=K\widehat BE$ που αποδεικνύε...

Αρχικά, $a>0$ (Αν $a<0$ δεν έχει λύση, ενώ αν $a=0$ έχει δύο ρίζες). Άρα, $\boxed{\frac{{7 - |x|}}{{|x| - 2}} = a}$ $(1)$ ή $\boxed{\frac{{7 - |x|}}{{|x| - 2}} = -a}$ $(2)$ Η $(1)$ δίνει $\displaystyle |x| = \frac{{2a + 7}}{{a + 1}},$ απ' όπου προκύπτουν δύο ρίζες (αφού $a>0$). H $(2)$ δίνει $\displ...

Χαιρετώ. 22-11 Ίσα εμβαδά.png Το $E \in BM$ όπου $BM$ διάμεσος του τριγώνου $AB\Gamma $. Οι $\Gamma E,AE$ τέμνουν τις $AB,B\Gamma $ στα $Z,H$ αντιστοίχως. Να εξεταστεί αν$\left ( BEZ \right )=\left ( BEH \right )$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος. Ίσα εμβαδά.png Αν $N$ είναι το σημείο τομής των $BM, ZH,$ τ...

Ώρα εφαπτομένης 64.png$\bigstar$ Προεκτείνοντας την πλευρά $BA=c$ , του ισοσκελούς τριγώνου $ABC , (AB=AC)$ κατά τμήμα : $AS=\dfrac{c}{2}$ , παρατηρώ ότι : $CS=2CB$ . Υπολογίστε την $\tan\widehat{BAC}$ . Αν χρειαστείτε γνώσεις τριγωνομετρίας , μην διστάσετε ! Φέρνω το ύψος $CD$ και θέτω $AD=x.$ Ώρα...

Κανονικό τετράεδρο.

Καλησπέρα! Μετά τις πολύ ωραίες κατασκευές του Μιχάλη και του Αλέξανδρου , ας υπολογίσουμε την πλευρά $x$ του ισοπλεύρου. Στόχος.png Με νόμο συνημιτόνων διαδοχικά στα τρίγωνα $OBE, OBC$ βρίσκω πρώτα, $\displaystyle \cos \theta = \frac{{11}}{{16}} \Leftrightarrow \sin \theta = \frac{{3\sqrt {15} }}{...

Η διαπίστωση της εγγραψιμότητας είναι όλα τα λεφτά . Για την απόδειξη της καθετότητας ( γνωστό λήμμα ) , δείτε και εδώ . Υπάρχουν κι άλλες σχετικές αναρτήσεις αλλά δεν μπόρεσα να τις βρω :oops: Να που βρήκα , εκεί Δεν σε καταλαβαίνω Θανάση. Βάζεις μία άσκηση και πριν καν περάσουν 3 ώρες, ρίχνεις τι...