Ημικύκλια και εφαπτόμενος κύκλος.ggb Δίδεται το ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ . Έστω $C$ κινητό σημείο εσωτερικό της διαμέτρου . Γράφω εσωτερικά του ημικυκλίου άλλο ημικύκλιο διαμέτρου $AC$. Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται, της διαμέτρου , εξωτερικά του μικρού ημικυκλίου και εσωτερικά του μεγάλ...

Καθετότητες και τμήμα.pngΤρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O)$ . Σε σημείο $S$ της βάσης $BC$ , υψώνουμε κάθετο τμήμα $SP$ και παρατηρούμε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο $P$ είναι κάθετη στην ευθεία $BA$ . Πώς επελέγη το σημείο $S$ ; Φέρω $OT \perp SP$ . Δείξτε ότι : $PT=\d...

Αν μου επιτρέπει ο Θανάσης ένα επιπλέον ερώτημα: Βρείτε και τη μέγιστη τιμή της

Γεια σας. Με άριστα το 10.PNG Το τρίγωνο $ABC$ έχει $AB=AC=15$ και $BC=18$.Θεωρούμε οποιοδήποτε σημείο $E$ επί της πλευράς $AB$. Η $CE$ τέμνει την διχοτόμο της $\widehat{A}$ στο σημείο $H$. Ο κύκλος που ορίζουν τα $B,E,H$ τέμνει ξανά την $BC$ στο $N$. Να δειχθεί ότι ισχύει $BN\leq 10$ . $24$ ώρες γ...

Συνευθειακά 28.pngΠάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου $BC$ θεωρούμε τυχόν σημείο $S$ . Στην προέκταση της $BS$ βρείτε σημείο $M$ , ώστε αν πάρουμε στην προέκταση της $CM$ , τμήμα $AM=MC$ , το μέσο $N$ του τμήματος $AB$ , να βρίσκεται στην ίδια ευθεία με τα $C , S$ . Έστω $O$ το μέσο της $BC.$ Προεκτείνω τη...

πλευρά - βάση- τμήμα βάσης - τμήμα βάσης - σεβασιανή 4 7 3 4 2 6 9 4 5 4 7 10 4 6 5 7 11 3 8 5 7 13 5 8 3 8 8 3 5 7 8 11 4 7 6 8 14 6 8 4 9 12 4 8 7 9 14 5 9 6 9 15 7 8 5 9 17 8 9 3 10 13 4 9 8 10 15 3 12 8 10 19 7 12 4 11 10 3 7 10 11 13 5 8 9 11 14 4 10 9 11 17 8 9 7 11 18 6 12 7 11 20 8 12 5 12 ...

Διπλασιασμός τμήματος.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου $AB$ ενός ημικυκλίου εντοπίστε τη θέση σημείου $S$ , ώστε αν φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα $ST$ , να προκύψει : $TS=2TB$ . Έστω $BS=x, TB=y.$ Διπλάσιο τμήμα.Κ.png Π. Θ στο $OTS:$ $\boxed{4{y^2} = {x^2} + 2Rx}$ $(1)$ και $\displaystyle {\rm{Stewart...

Καλησπέρα. Ας θεωρήσουμε την παράσταση $\Pi \left ( x \right )=\dfrac{a\cdot sinx}{b+sinx}$ όπου τα $a,b$ είναι σταθεροί και θετικοί αριθμοί ενώ το $x$ μεταβάλλεται στο διάστημα $\left ( 0 ,\pi \right )$. Να βρεθεί η τιμή του $x$ που μας δίνει μέγιστη τιμή για την παράσταση $\Pi \left ( x \right )$...

Ώρα για ότι θέλετε.pngΟ έγκυκλος $(K)$ του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB=AC) $ διέρχεται από το κέντρο $O$ του περικύκλου του . Βρείτε έναν τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας $\hat{B}$ , ( όποιον θέλετε ) ;) Ό,τι νάναι.png $\displaystyle {R^2} - 2Rr = O{K^2} = {r^2} \Leftrightarrow $ $...

Πολύ ωραία! Κι ένα επιπλέον ερώτημα. Αν το σημείο κινείται πάνω στο σταθερό τμήμα

να βρείτε τη θέση του για την οποία μεγιστοποιείται το εμβαδόν του κύκλου

Αυτό θέλουμε να δείξουμε: Ότι το $(BZ)$ γίνεται μέγιστο όταν η $BZ$ γίνει διάμετρος.. Φιλικά, Γιώργος Καλησπέρα! Έστω $EB=x.$ Από Ν. συνημιτόνων στο $EBC$ με $\displaystyle \cos B = \frac{a}{{2b}}$ βρίσκω $\boxed{C{E^2} = \frac{{{a^2}b + b{x^2} - {a^2}x}}{b}}$ $(1)$ Μέγιστο στο τέταρτο...png Από θε...

Ειδικό ισοσκελές.pngΤο σημείο $S$ ανήκει στην βάση $BC$ του ισοσκελούς τριγώνου $\displaystyle ABC$ , ενώ όλα τα εμφανιζόμενα τμήματα έχουν ακέραια μήκη . Σχεδιάστε κι εσείς τέτοιο τρίγωνο , φυσικά όχι όμοιο προς το δοθέν . Απαράβατος όρος : Πρέπει να εξηγήσετε πως το κατασκευάσατε :x Ειδικό ισοσκε...

rek2 έγραψε: ↑

Δευ Οκτ 14, 2019 4:28 pm

π.χ.

Κώστα είσαι πολύ θαρραλέος!

KARKAR έγραψε: ↑

Πέμ Οκτ 10, 2019 11:04 am

"Έφτυσα αίμα" για να βρω τέτοιο τρίγωνο με ακέραιες πλευρές...

Εγώ το εξέλαβα ως προτροπή για αιμόπτυση και είπα να το αποφύγω.

Μέγιστη αλλά μικρή.pngΤο ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ έχει σταθερό ύψος ενώ είναι $AB=4DC$ . Ονομάζω $M,N$ , τα μέσα των $AD,BC$ αντίστοιχα . Οι $MB , DN$ που φυσικά δεν είναι παράλληλες ( γιατί ; ) , τέμνονται στο $S$ . Πως να επιλέξουμε την βάση $AB$ , ώστε να μεγιστοποιηθεί η γωνία $\hat{S}$ ; Έστω...

Παραλλαγή (προς το ευκολότερο) ενός παλιού θέματος. Κύκλος και δύο ημικύκλια.png Στο σχήμα είναι $AB=2R, BC=2r$ και η ευθεία $(l)$ διέρχεται από το $B$ και είναι κάθετη στην $AC.$ Ένας κύκλος έχει το κέντρο του $K$ πάνω στην $(l)$ και εφάπτεται εξωτερικά στο ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ και εσωτερικά σ...

Γινόμενο χορδών.pngΣ'έναν κύκλο είναι σχεδιασμένες οι χορδές : $AB=4 , AC=6 , AD=6$ . Υπολογίστε το γινόμενο : $BC \cdot BD$ Έστω $BC=x, BD=y, CD=k.$ Από τα θεωρήματα Πτολεμαίου είναι: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 4k + 6x = 6y \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}(y - x)\\ \\ \dfrac{6}{y} = \d...

Λύση της εξίσωσης $\boxed{\frac{{100(a - 3)}}{3} = {(a - 3)^2} + {\left( {10 + \sqrt {3(a - 3)} } \right)^2}}$ $(1)$ Θέτω $\displaystyle \sqrt {3(a - 3)} = x > 0$ και η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle \frac{{100{x^2}}}{9} = \frac{{{x^4}}}{9} + {(10 + x)^2} \Leftrightarrow $ $\displaystyle \frac{{{x...

Καλημέρα σε όλους! Από το Φ στο π.PNG Στο τρίγωνο $ABC$ είναι $AB=AC...\widehat{A}=72^{0}$ και $M$ το μέσον της $BC$. Θεωρούμε το $E \in AB$ ώστε $\widehat{BCE}=18^{0}$. Η $CE$ τέμνει την $AM$ στο $H$. Αν $BC=5\Phi cm$ ( $\Phi $ , ο χρυσός αριθμός ) τότε Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκο...

Πολλαπλασιαστής.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι $AB=8,AC=6$ και η $CD$ είναι διχοτόμος . Σημείο $S$ κινείται επί της $AC$ , ώστε : $AS=x , ( 0<x<\dfrac{9}{4} )$ . Η $SD$ τέμνει την προέκταση της $CB$ στο σημείο $T$ . Εκφράστε το τμήμα $BT$ , συναρτήσει του $x$ και λύστε την εξίσω...

Είναι δυνατόν ;.pngΔίνεται ημικύκλιο διαμέτρου $POT=6$ . Δείξτε ότι υπάρχουν σημεία $B,C$ στις προεκτάσεις των $OP,OT$ , έτσι ώστε αν φέρουμε από αυτά τις εφαπτόμενες στο ημικύκλιο και αυτές τμηθούν στο $A$ , να είναι : $AB=5 $ , $ AC=8$ . Μήπως τώρα μπορείτε να κατασκευάσετε - έστω και με υπολογισ...