:clap2: Αναδιατυπώνω το ερώτημα : Μπορούμε να ξεκινήσουμε την λύση , τοποθετώντας πρώτα το D ή το E ;


Έρευνα για τριπλή ισότητα.β.png
Επί της $BC$ θεωρώ σημείο $F,$ ώστε $BF=2FC.$ Παίρνω $E$ τυχόν σημείο του τμήματος $BF.$ Η παράλληλη

από το $F$ στην $AC$ τέμνει την $AE$ στο $P$ και η $BP ...

Έρευνα για τριπλή ισότητα.pngΣτο τρίγωνο ABC , δεν θα δυσκολευτείτε ιδιαίτερα να βρείτε σημεία D , E της BC

και σημείο T της AC , τέτοια ώστε αν η BT τέμνει τις AD , AE , στα σημεία S , P

αντίστοιχα , να είναι : BS=SP=PT . Υπάρχει άραγε και διαφορετική λύση ; :ewpu:


Δεν νομίζω ότι κατάλαβα ...

Ένα κυκλικό νόμισμα ακτίνας $1$ cm κυλάει γύρω από το εσωτερικό ενός τετραγώνου, χωρίς να ολισθαίνει, παραμένοντας πάντοτε σε επαφή με τα όρια του τετραγώνου.
Όταν επιστρέφει στο σημείο από όπου ξεκίνησε, το νόμισμα έχει πραγματοποιήσει ακριβώς μία πλήρη περιστροφή.
Ποιο είναι, σε εκατοστά, το ...

mick7 έγραψε: Τρί Σεπ 15, 2026 4:41 pm Να λυθεί η εξίσωση:

Παράξενη ισότητα.pngΜε κέντρο ένα σημείο S της βάσης BC του ισοπλεύρου τριγώνου ABC , γράφουμε

τον κύκλο (S , SA) , ο οποίος τέμνει τις προεκτάσεις των AC , CB , στα σημεία T , P ,

αντίστοιχα . Αν BP=CT , υπολογίστε το \sin\theta .


Έστω $a$ η πλευρά του ισοπλεύρου. Θέτω $BS=x, SA=R$ και ...

Νεανική κατασκευή.pngΚατασκευάστε το τρίγωνο ABC του σχήματος .

Αν είστε λίγο μεγαλύτεροι σκεφθείτε και άλλον τρόπο .


Για μεγαλύτερους:

Νεανική κατασκευή.Κβ.png
1) $\rm Stewart,$ $x^3+50=x^2(x+2)+2x(2+x),$ κλπ.

2) $\widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow A{C^2} =25= {x^2} + x(2 + x ...

Νεανική κατασκευή.pngΚατασκευάστε το τρίγωνο ABC του σχήματος .

Αν είστε λίγο μεγαλύτεροι σκεφθείτε και άλλον τρόπο .


Νεανική κατασκευή.Κ.png
\[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} \Leftrightarrow 25 = {x^2} - 1 + {(x + 1)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - 25 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt ...

Υψηλού βαθμού.pngΣτην προέκταση της πλευράς AB=4 του τετραγώνου ABCD , θεωρούμε σημείο T , με : BT=x .

Η DT τέμνει την BC στο σημείο S . Ονομάζω P την προβολή του B στην DT . Δημιουργήστε

πολυωνυμική εξίσωση με άγνωστο το x , ώστε να είναι : AP=ST . \bigstar 24 -ωρο μόνο για μαθητές ...

Υψηλού βαθμού.pngΣτην προέκταση της πλευράς AB=4 του τετραγώνου ABCD , θεωρούμε σημείο T , με : BT=x .

Η DT τέμνει την BC στο σημείο S . Ονομάζω P την προβολή του B στην DT . Δημιουργήστε

πολυωνυμική εξίσωση με άγνωστο το x , ώστε να είναι : AP=ST . \bigstar 24 -ωρο μόνο για μαθητές .


Μετά ...

Σταθερή ποσότητα.pngΣημείο S κινείται στην υποτείνουσα BC του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC .

Δείξτε ότι η ποσότητα : SA^2+SB\cdot SC είναι σταθερή .

( Προαιρετικό ) : Μελετήστε και την ποσότητα : SA^2-SB\cdot SC .


Για το κύριο ερώτημα, το τρίγωνο δεν χρειάζεται να είναι ορθογώνιο ...

Διαφορά λόγων.pngΣτο τρίγωνο ABC του σχήματος , ( \hat{B}=3\hat{C} ) , υπολογίστε την διαφορά : \dfrac{CS}{SP}-\dfrac{SP}{PA} .


Προφανώς, $BS=SC,$ $AS=AB$ και με θεώρημα διχοτόμων:
Διαφορά λόγων.Κ.png
$\dfrac{{BS}}{{AB}} = \dfrac{{SP}}{{PA}} \Leftrightarrow \dfrac{{BS}}{{BS + AB}} = \dfrac ...

Καλημέρα Γιώργο. Ισχύει σε τυχαίο τρίγωνο…


Καλησπέρα Μιχάλη. Πράγματι, ισχύει σε τυχαίο τρίγωνο. Τέθηκε όμως
σκόπιμα σε ισοσκελές, γιατί επρόκειτο να ακολουθήσει και άλλο ερώτημα.
Κατασκευή σε ισοσκελές.b.png
Αν $S$ είναι το ζητούμενο σημείο της παραπάνω άσκησης και $O$

το περίκεντρο ...

Χρυσές δουλειές.pngΤο ορθογώνιο ABCD είναι χρυσό , δηλαδή ο λόγος των πλευρών του είναι \phi . Προεκτείνω την μικρότερη

πλευρά BA κατά τμήμα AE , ώστε : EB=BC και φέρω : BS\perp DE , η οποία τέμνει την AD στο T .

Α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{DS}{SE} .

Β) Αν ο κύκλος που ορίζουν τα D , E , B ...

Χρυσές δουλειές.pngΤο ορθογώνιο ABCD είναι χρυσό , δηλαδή ο λόγος των πλευρών του είναι \phi . Προεκτείνω την μικρότερη

πλευρά BA κατά τμήμα AE , ώστε : EB=BC και φέρω : BS\perp DE , η οποία τέμνει την AD στο T .

Α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{DS}{SE} .

Β) Αν ο κύκλος που ορίζουν τα D , E , B ...

Στο κυνήγι της ορθότητας.pngΠάνω στην μεσοκάθετο του τμήματος AB=2r , με μέσο O , παίρνω τμήμα ON=2r . Το ημικύκλιο

διαμέτρου AB , τέμνει την BN στο σημείο T . Εντοπίστε σημείο S στην προέκταση της AB , τέτοιο

ώστε , αν η ST επανατέμνει το τόξο στο σημείο P , να είναι NP \perp PT .


Στο ...

Μέγιστο και ωραίο.pngΜε κέντρο το άκρο O του τμήματος SO=6 και μεταβλητή ακτίνα r<6 , γράφω κύκλο ,

προς τον οποίο φέρω το εφαπτόμενο τμήμα SA . Αν B είναι το αντιδιαμετρικό του A

και η SB τέμνει τον κύκλο στο T , υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : ST\cdot TB .


Μέγιστο και ωραίο.png ...

Ιδού η διχοτόμος.pngΟι κύκλοι (O) και (K) , εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A . Η εφαπτομένη σε σημείο S του (K)

τέμνει τον (O) στα σημεία C , B . Δείξτε ότι η διχοτόμος AD της \widehat{BAC} , είναι κάθετη στην SA .


Ιδού η διχοτόμος.ΚΑ.png
Η κοινή εσωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων τέμνει ...

Τελικό τμήμα.pngΣτο σχήμα το M είναι το μέσο του τμήματος OC . Η μεσοκάθετος του SM ,

τέμνει την προέκταση της BC στο σημείο T . Υπολογίστε το τμήμα CT .


Ο Μενέλαος στα τρίγωνα $SAD, SBC$ με αντίστοιχες διατέμνουσες $\overline {BOC} ,\overline {AOD} $ δίνει:

$\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{{DC ...

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2026 10:20 am Τελικό τμήμα.pngΣτο σχήμα το είναι το μέσο του τμήματος . Η μεσοκάθετος του ,

τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το τμήμα .

Σημείο επαφής και μέσο.pngΣτις προεκτάσεις των πλευρών AB , AC , (AB>AC) του ορθογωνίου τριγώνου ABC ,

εντοπίστε σημεία P , T αντίστοιχα , τέτοια ώστε η PT να εφάπτεται του περικύκλου

του τριγώνου και μάλιστα το σημείο επαφής M , να είναι το μέσο του τμήματος PT .

Σημείωση : Μπορείτε να ...