Η αναζήτηση βρήκε 6701 εγγραφές

από george visvikis
Τετ Ιουν 20, 2018 8:04 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 57

Re: Ένα ελάχιστο κι ένα μέγιστο

Να συμπληρώσω απλώς για το 1) ερώτημα ότι αν R είναι η ακτίνα του κύκλου και OC=d, τότε:

\boxed{{(ABC)_{\min }} = \frac{{{R^2} - d\sqrt {2{R^2} - {d^2}} }}{2}}
από george visvikis
Τετ Ιουν 20, 2018 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO 2018
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 303

Re: JBMO 2018

Να ευχηθώ κι εγώ Καλή Επιτυχία στην Ελληνική και στην Κυπριακή αποστολή!!!
από george visvikis
Τετ Ιουν 20, 2018 8:39 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο γινόμενο 9
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 171

Re: Μέγιστο γινόμενο 9

Μέγιστο γινόμενο.pngΣε κύκλο $(O,r)$ θεωρήσαμε χορδή $AB=2\ell<2r$ . Σημείο $S$ κινείται στον κύκλο . Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $SA\cdot SB$ . Κυνηγήστε την "άλλη" λύση ... Μέγιστο γινόμενο 9.png $\displaystyle SA \cdot SB = 2r \cdot SM$ και μεγιστοποιείται όταν γίνει μέγιστο το ύψος $SM...
από george visvikis
Τρί Ιουν 19, 2018 6:10 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ένα και ένα δεύτερο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 168

Re: Ένα και ένα δεύτερο

Όλα εξαρτώνται από την ερμηνεία της εκφώνησης:

Αν είναι \displaystyle x \cdot 1 + \frac{1}{2} = x + 1 + \frac{1}{2} τότε είναι αδύνατη όπως γράφει ο nikkru

Αν όμως \displaystyle x\left( {1 + \frac{1}{2}} \right) = x + 1 + \frac{1}{2} τότε x=3.
από george visvikis
Τρί Ιουν 19, 2018 5:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ένα και ένα δεύτερο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 168

Re: Ένα και ένα δεύτερο

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Ιουν 19, 2018 11:58 am
Να εξεταστεί αν υπάρχει αριθμός το οποίου το γινόμενο επί 1+\frac{1}{2} είναι ίσο με το άθροισμα του αριθμού με το 1+\frac{1}{2}.
Ναι και είναι το 3.
από george visvikis
Τρί Ιουν 19, 2018 8:54 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Νέο μέγιστο
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 455

Re: Νέο μέγιστο

Πρόθεση του θεματοδότη ήταν να ζητήσει την εύρεση του μεγίστου , στην περίπτωση που $AB\parallel xx' , AD \parallel yy'$ , οπότε το θέμα καθίσταται αρκετά δυσκολότερο ... Είχα διαισθανθεί ότι ζητούσες κάτι τέτοιο, (αλλιώς δεν είχε νόημα η $AC$ να διέρχεται από το σημείο $S(-2,0)$), γι αυτό και την ...
από george visvikis
Δευ Ιουν 18, 2018 10:29 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πρόοδος σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 168

Re: Πρόοδος σε τραπέζιο

Το β) ερώτημα ελέγχεται για την ορθότητά του, επειδή ισχύει για ορισμένες περιπτώσεις, π. χ δεν ισχύει για $(a, b, c)= (7,23, 17)$ Το επαναδιατυπώνω λοιπόν: Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $a, b, c$ για τους οποίους οι $a, c-1, b$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπ...
από george visvikis
Δευ Ιουν 18, 2018 8:30 am
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Υπολογισμός ακτίνας κύκλου-1.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 127

Re: Υπολογισμός ακτίνας κύκλου-1.

1.png Καλησπέρα σε όλους . Δίνεται ημικύκλιο $(O, 9)$, διαμέτρου $AB$ και κύκλος που εφάπτεται του ημικυκλίου και της $AB$ στα σημεία $D, C$ αντίστοιχα. Αν $OP=1$, να υπολογίσετε την ακτίνα του εν λόγω κύκλου . Ακτίνα 1.png $\displaystyle O{C^2} = OE \cdot OD \Leftrightarrow {x^2} = 9(9 - 2r) \Left...
από george visvikis
Δευ Ιουν 18, 2018 7:29 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σε σταθερό κύκλο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 229

Re: Σε σταθερό κύκλο

Σ' ευχαριστώ πολύ Νίκο. Ας δούμε όμως αναλυτικά τη λύση. Σε σταθερό κύκλο.png Έστω $D, E, Z$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές $BC, AB, AC$ αντίστοιχα. Προφανώς ο κύκλος διαμέτρου $AI$ διέρχεται από τα $E, Z$ (οι $IE, IZ$ είναι κάθετες στις πλευρές του). $\displaystyle BD = B...
από george visvikis
Κυρ Ιουν 17, 2018 8:31 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σε σταθερό κύκλο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 229

Re: Σε σταθερό κύκλο

Σε σταθερό κύκλο.png Δίδονται τα σταθερά σημεία $B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ και το μεταβλητό $A$ για το οποίο : $3(AC - AB) = BC$. Έστω $I$ το έγκεντρο του $\vartriangle ABC$ και $M$ το ( άλλο) σημείο τομής του κύκλου διαμέτρου $AI$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$. Δείξετε ό...
από george visvikis
Σάβ Ιουν 16, 2018 8:30 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Άθροισμα εμβαδών
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 360

Re: Άθροισμα εμβαδών

Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta $ . Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ; Άθροισμα εμβαδών.K1.png $\displaystyle {E_1} + {E_2} = \frac{1}{2}\left( {(AEKN) + (KNBZ) + (KZ\Gamma ...
από george visvikis
Σάβ Ιουν 16, 2018 1:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πυθαγόρεια τριάδα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 225

Re: Πυθαγόρεια τριάδα

Επαναφορά.
από george visvikis
Σάβ Ιουν 16, 2018 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Άθροισμα εμβαδών
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 360

Re: Άθροισμα εμβαδών

Το $\displaystyle K$ βρίσκεται επί της διαγωνίου του τετραγώνου και $\displaystyle KE \bot A\Delta $ . Ποια θέση του $\displaystyle K$ ελαχιστοποιεί το άθροισμα των εμβαδών των έγχρωμων τριγώνων ; Άθροισμα εμβαδών.K.png $\displaystyle \frac{{{E_1}}}{{(A\Delta \Gamma )}} = \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}},\f...
από george visvikis
Σάβ Ιουν 16, 2018 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα και μέσο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 171

Re: Καθετότητα και μέσο

και ορθή και μέσο.png Έστω κύκλος διαμέτρου $AOB$. 1. Να βρεθεί σημείο $S$ του κύκλου τέτοιο ώστε αν γράψουμε τον κύκλο $(A,AS)$ και η $SO$ τον τέμνει ακόμα στο $T$ να είναι: $ST \bot BT$. 2. Έστω $Q$ το αντιδιαμετρικό του $S$ στον κύκλο διαμέτρου $AOB$. Αν $M$ το μέσο του $TB$ , φέρνουμε τις ευθεί...
από george visvikis
Σάβ Ιουν 16, 2018 8:56 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητα και μέσο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 171

Re: Καθετότητα και μέσο

και ορθή και μέσο.png Έστω κύκλος διαμέτρου $AOB$. 1. Να βρεθεί σημείο $S$ του κύκλου τέτοιο ώστε αν γράψουμε τον κύκλο $(A,AS)$ και η $SO$ τον τέμνει ακόμα στο $T$ να είναι: $ST \bot BT$. Για την κατασκευή. Ορθή και μέσο.α.png Έστω $AB=2r.$ Γράφω τον κύκλο $\displaystyle \left( {O,\frac{r}{3}} \ri...
από george visvikis
Παρ Ιουν 15, 2018 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ειδικό ορθογώνιο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 105

Re: Ειδικό ορθογώνιο

Ειδικό ορθογώνιο.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι τύπου : "$90^0-60^0-30^0$" . Γράφουμε τον κύκλο $(A,AB)$ , ο οποίος τέμνει την $BC$ στο $T$ και την $AC$ στο $S$ . Το σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου . α) Δείξτε ότι : $AE=ET=TS$ ... β) Δείξτε ότι : $ET\perp TS$ γ) Υπολογίστε το τμή...
από george visvikis
Παρ Ιουν 15, 2018 8:42 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διχοτομική κατάσταση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 93

Re: Διχοτομική κατάσταση

Συμφωνώ με το Νίκο , ότι η ενδεδειγμένη λύση είναι του sokpanvas . Διχοτομική κατάσταση.png $\displaystyle S{T^2} = SA \cdot SE \Leftrightarrow $ $\boxed{S{T^2} = (x + 2)(x + 8)}$ $(1)$ Αλλά από θεώρημα διαμέσων στο $OTS:$ $\displaystyle {(x + 5)^2} + 9 = 50 + \frac{{S{T^2}}}{2} \Leftrightarrow S{T^...
από george visvikis
Πέμ Ιουν 14, 2018 7:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Πρόοδος σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 168

Πρόοδος σε τραπέζιο

Πρόοδος σε τραπέζιο.png Δίνεται τραπέζιο $ABCD$ με $\widehat A=\widehat D=90^\circ$ και $AB=a, CD=b, a<b.$ Επί των πλευρών $AD, BC$ θεωρούμε τα σημεία $P, Q$ αντίστοιχα, ώστε $PQ||AB$ και $(ABQP)=(PQCD).$ α. Να υπολογίσετε το τμήμα $PQ=c,$ συναρτήσει των $a, b.$ β. Αν οι $a, b,c$ είναι θετικοί ακέρ...
από george visvikis
Πέμ Ιουν 14, 2018 6:58 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Γινόμενο τριγωνομετρικών
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 180

Re: Γινόμενο τριγωνομετρικών

Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\cot 36^\circ \cdot \cot 72^\circ = \frac{\sqrt{5}}{5}}$ $\displaystyle \cot {36^0}\cot {72^0} = \cot {36^0}\frac{{2{{\cot }^2}{{36}^0} - 1}}{{2\cot {{36}^0}}} = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {\frac{{\cos {{36}^0}}}{{\sin {{36}^0}}}} \right)}^2} - 1} \right] = \frac{1}{...
από george visvikis
Πέμ Ιουν 14, 2018 8:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μικρότερες ακέραιες τιμές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 169

Re: Μικρότερες ακέραιες τιμές

Η $AD$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο $E.$ Έστω $AP$ το ύψος του τριγώνου και $H, N$ οι προβολές των $M, O$ πάνω στη $BC.$ Από τις διχοτόμους και την παραλληλία $AP||OE$ εύκολα διαπιστώνουμε ότι $AD=AB=c$ ($AP$ ύψος και διχοτόμος) και $AE=AQC=b.$ Είναι ακόμα $MH=BH=\dfrac{3BD}{4}$ και $\display...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση