Καθετότητα.png Έστω ημικύκλιο κέντρου $O$ και διαμέτρου $AB$. Από σημείο $M$ της προέκτασης της $AB$ φέρνω τέμνουσα του ημικυκλίου. Η τέμνουσα αυτή συναντά πρώτα στο $D$ και μετά στο $C$ , το ημικύκλιο. Γράφω τούς κύκλους , $\left( {O,B,D} \right)\,\,\,$ και $\left( {O,A,C} \right)$ που τέμνονται α...

Ψύλλοι στ' άχυρα.pngΣε κύκλο $(O,5)$ , θεωρούμε τις εκατέρωθεν του κέντρου , παράλληλες χορδές $AB=6$ και : $CD=8$ . Η ευθεία $AO$ τέμνει την χορδή $CD$ στο σημείο $P$ , από το οποίο φέρουμε την παράλληλη προς την $CB$ , η οποία τέμνει την προέκταση της $AB$ , στο σημείο $S$ . Υπολογίστε την εφαπτο...

Παλαιολόγος.pngΧωρίζουμε τις ακτίνες $OA , OB$ , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , σε τμήματα $OK=y , KA=x$ και $OL=x , LB=y$ . Οι κύκλοι $(K , KA)$ και $(L , LB)$ , τέμνονται στα σημεία $T , P$ , ενώ η ευθεία $TP$ τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο $S$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{SA...

Δίδονται τα σημεία $\mathrm{A}(-1, 2)$, $\mathrm{B}(1, -2)$ και $\Gamma(2, 3)$. Να βρεθεί σημείο $\mathrm{M}$ επί του άξονα $y'y$, ώστε η παράσταση $\displaystyle{\mathrm{d} = \left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M} \Gamm...

Ισόπλευρο σε ορθογώνιο.2.png Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AB$ ορθογωνίου $ABCD$ και $O$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Επί των τμημάτων $OA, OD$ θεωρώ τα σημεία $K, L$ αντίστοιχα, ώστε $MK=ML.$ α) Να δείξετε ότι οι γωνίες του τριγώνου $KLM$ παραμένουν σταθερές ανεξάρτητα από τις θέσεις των σημ...

Ισεμβαδικές δυσκολίες .pngΤο ορθογώνιο $ABCD$ έχει διαστάσεις $a \times b$ , ( εν προκειμένω : $8 \times 2$ ) . Στο "άνω" ημιεπίπεδο και εξωτερικά του ορθογωνίου , βρείτε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε αν οι $SA , SB$ τέμνουν την $DC$ , στα σημεία $P , T$ αντίστοιχα , να προκύπτει η ισότητα : $(SPT)=(ABC...

Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα $\vec{\alpha}$, $\vec{\beta}$ για τα οποία ισχύει $\left | \vec{\alpha} \right | = x$, $\left | \vec{\beta} \right | = 3x-4$ και $\left | \vec{\alpha} + \vec{\beta} \right |=x^2$ όπου $x \in \mathbb{R}$. Να βρεθεί η τιμή του $x \in \mathbb{R}$. Να δειχθεί ότι $\vec{\a...

Είμαι κι εγώ από τους τυχερούς, όπως ο Θανάσης, αφού γνωρίζω ήδη την ποιότητα

του βιβλίου, πριν ακόμα από την αναθεωρημένη έκδοση Καλοτάξιδο, Τόλη!

Το πράσινο δεν πάει παραπάνω.pngΤο σημείο $S$ κινείται στη διάμετρο $AB$ ενός ημικυκλίου . Φέρουμε την εφαπτομένη $BT$ προς το ημικύκλιο διαμέτρου $AS$ - η οποία τέμνει το αρχικό στο σημείο $P$ - και την $AT$ , η οποία τέμνει το μεγάλο τόξο στο σημείο $Q$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνο...

Ανάλογα με το σημείο επαφής.pngΟι κύκλοι $(K,R)$ και $(L,r)$ εφάπτονται εξωτερικά σε σημείο $S(a,b)$ του πρώτου τεταρτημορίου , ενώ ο πρώτος εφάπτεται του $Ox$ στο $P$ και ο δεύτερος του $Oy$ στο $T$ . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{R}{r}$ . Ειδικότερα υπολογίστε αυτόν τον λόγο αν : $(a,b)=(3,4)$ , ...

Δίνεται τετράγωνο πλευράς Στη μεσοκάθετο του και εκτός του τετραγώνου,

θεωρώ ένα σημείο Να βρείτε τη θέση του αν είναι γνωστό ότι

Γωνιολογία σε ισόπλευρο.png Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC,$ τυχόν σημείο $D$ της πλευράς $AB$ και σημείο $E$ της $AC$ ώστε $DE||BC.$ Το $K$ είναι περίκεντρο του τριγώνου $ADE$ και το $M$ μέσο του $BE.$ α) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου $KMC.$ β) Αν επιπλέον $A\widehat CK=B\widehat CM$ να υπολογ...

Έστω $\displaystyle f(x) = {e^x} - ex,\,\,\,x \in R$ Δείξετε ότι $\displaystyle f(1 + x) > f(1 - x)$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$ . Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle g(x) = {e^x} - {e^{ - x}} - 2x, x>0$ με παράγωγο $\displaystyle g'(x) = {e^x} + {e^{ - x}} - 2 > (x + 1) + (1 - x) - 2 = 0,$ άρα ...

Εγκεντρικότητες.pngΤο σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Αν : $\widehat{BAE}=2\widehat{ABE}$ , δείξτε ότι : $AE+AC=BC$ . Και μία τριγωνομετρική. Έστω $r$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και $s$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου. Εγκεντρικότητες.Κ2.png $\displaystyle \left\{ \begin{gathe...

Εγκεντρικότητες.pngΤο σημείο $E$ είναι το έγκεντρο του τριγώνου $ABC$ . Αν : $\widehat{BAE}=2\widehat{ABE}$ , δείξτε ότι : $AE+AC=BC$ . $\boxed{\widehat A = 2\widehat B \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + bc}$ $(1)$ και $\displaystyle \frac{{AE}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{b + c}}{{a + b + c}} ...

Δίδεται ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ με $\mathrm{AB} \parallel \Gamma \Delta$. Από το $\Delta$ η παράλληλη προς τη $\Gamma \mathrm{B}$ τέμνει την $\mathrm{AB}$ στο $\mathrm{E}$. Να προσδιοριστεί σημείο $\mathrm{M}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrig...

Δίδεται ισοσκελές τραπέζιο $\mathrm{AB} \Gamma \Delta$ με $\mathrm{AB} \parallel \Gamma \Delta$. Από το $\Delta$ η παράλληλη προς τη $\Gamma \mathrm{B}$ τέμνει την $\mathrm{AB}$ στο $\mathrm{E}$. Να προσδιοριστεί σημείο $\mathrm{M}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{\overrightarrow{\mathrm{MA}} + \overrig...

Καταλήγω στον ίδιο τύπο με τον Νίκο, εφαρμόζοντας διαδοχικά στο τρίγωνο

το θεώρημα και το θεώρημα Μενελάου με διατέμνουσα

Ώρα εφαπτομένης 176.pngΓια την διχοτόμο $CD$ του ορθογωνίου τριγώνου $ABC$ , ισχύει : $CD^2=AD\cdot DB$ . Υπολογίστε την : $\tan\theta$ . $\displaystyle \tan \theta = \frac{b}{{AD}} = \frac{b}{{\frac{{bc}}{{a + b}}}} \Leftrightarrow $ $\boxed{\tan \theta = \frac{{a + b}} {c}}$ $(1)$ Εφ-176.png $\di...

Αλλιώς για τη λύση της εξίσωσης $\displaystyle {q^4} - 8{q^2} - q - 6 = 0$ $\displaystyle {q^4} - 9{q^2} + {q^2} - q - 6 = 0 \Leftrightarrow {q^2}(q - 3)(q + 3) + (q - 3)(q + 2) = 0 \Leftrightarrow $ $\displaystyle (q - 3)\left( {{q^2}(q + 3) + (q + 2)} \right) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{q ...