mathematica.gr

Καλησπέρα!
Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση όλων σας.
Ήταν μια άσκηση από παλιό τεύχος του mathematics magazine.
Καλή επερχόμενη εβδομάδα!

Καλησπέρα Σωτήρη. Γιώργο, Σιλουανέ! Σας ευχαριστώ θερμά για την ανασχόληση. Από χτες κατάλαβα από μηνύματα φίλων πως υπάρχει σύγχυση με γνωστή άσκηση στην οποία στο δεύτερο μέλος υπάρχει τρία και αναφέρεται σε ισόπλευρο τρίγωνο ενώ αυτή σε ισοσκελές. Παράληψη μου είναι πως δεν ανέφερα πως δεν πιάνετ...

Έστω τρεις μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:

$(\star) \left | a \right |=\left | b \right |=\left | c \right |=1$
$(\star \star) a^{3}+b^{3}+c^{3}=2abc$
Να αποδείξετε ότι οι a,b,c

είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο.

Ευχαριστώ πολύ για την λύση (πολύ απλούστερη της δικής μου) Σιλουανέ!
Κύριε abgd ευχαριστώ πολύ για την ένστασή σας, θα την μελετήσω.

Έστω οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha, \beta$ .
Αν η ανισοισότητα $|x^2-\alpha x+\beta|\le\frac{1}{8},$ ισχύει για κάθε $x \in [1,2]$
τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης
$20\alpha+16\beta$

Καλημέρα σας. Με χαρά δημοσιεύουμε το κείμενο της εργασίας μας σχετικά με την οπτικοποίηση μαθηματικών εννοιών. Δημοσιεύτηκε πριν λίγες ημέρες στο τεύχος 98-99 του Ευκλείδη Γ. Ελπίζουμε να σας φανεί ενδιαφέρον. Σας ευχαριστούμε εκ των προτέρων για την προσοχή σας και αναμένουμε τις παρατηρήσεις σας....

Έστω

το ορθόκεντρο ενός τριγώνου ABC

. Αν

είναι το μέσο της πλευράς

και μια ευθεία που διέρχεται από το

και είναι κάθετη στην

, τέμνει τις πλευρές του τριγώνου AC, BC

στα σημεία D, E

αντίστοιχα τότε να αποδείξετε ότι DH=EH.

Να επιλύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση:

$\sqrt{3-\tan^{2}\left ( \frac{3\pi x}{2} \right )}sin\pi x-cos\pi x=2$

Να βρείτε το πλήθος των άνισων τριγώνων που έχουν ακεραίου μήκους πλευρές και σταθερή περίμετρο ίση με

.

Έστω

ένα σημείο στο εσωτερικό ενός ισοπλεύρου τριγώνου ABC

πλευράς

.
Αν οι

τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές BC, CA, AB

στα σημεία D, E, F

τότε να αποδείξετε ότι:

PD+PE+PF<1

Έστω $a\in \left ( 0,1 \right ).$ . Αν ισχύει $log_{a}\left ( 1-a \right )=5$ να υπολογίσετε τον $log_{a}\left ( a+1 \right )$ .

Σε ένα τρίγωνο $ABC$ στο οποίο ισχύει $\widehat{ABC}\ge 90^{o}$ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $R=2$. Αν $x$ είναι ένας αριθμός που ικανοποιεί την εξίσωση $x^4+ax^3+bx^2+cx+1=0$, όπου $a=BC, b=CA, c=AB$ (πλεύρες του τριγώνου δηλαδή). Βρείτε όλες τις πιθανές τιμές που μπορεί να λάβει ο αριθμός $...

Πάρα μα πάρα πολύ απλό. Αγγίζει τα όρια του τετριμένου. Σε πολλές αποδείξεις χρησιμοποιείται χωρίς καμία εξήγηση. Θυμάμαι παλαιότερα (ίσως τότε να μην υπήρχατε στο φόρουμ), δεχόμουνα παρατηρήσεις γιατί κάποια θέματα ήταν υψηλότερου επιπέδου των αναγκών του διαγωνισμού. Κατέληξα με την πάροδο των χρ...

Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος αριθμός

μπορεί να γραφτεί (κατά μοναδικό τρόπο) στη μορφή $n=2^{\kappa}q$
όπου $\kappa \in \mathbb{N}$ και

περιττός θετικός ακέραιος.

Διορθώθηκε. Ευχαριστώ Μιχάλη!
Συγγνώμη και καλή συνέχεια.

Να λύσετε το παρακάτω σύστημα στο σύνολο των μιγαδικών:

$x\left ( x-y \right )\left ( x-z \right )=3$
$y\left ( y-x \right )(y-z)=3$
$z\left ( z-x \right )\left ( z-y \right )=3$

Τέσσερις φίλοι αγόρασαν μια βάρκα. Ο πρώτος πλήρωσε το μισό του ποσού που πλήρωσαν συνολικά οι άλλοι τρείς ο δεύτερος πλήρωσε το ένα τρίτο του ποσού που πλήρωσαν οι άλλοι, ο τρίτος πλήρωσε το ένα τέταρτο του ποσού που πλήρωσαν οι άλλοι και ο τέταρτος πληρωσε 130 ευρώ. Πόσο έκανε η βάρκα και πόσο πλή...

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 04, 2023 11:54 am
Καλημέρα σε όλους. Φαντάζομαι ότι ο Χρήστος δεν θα ήθελε να πάρουμε έτοιμους τους τύπους των τριγωνομετρικών αριθμών. Με κανονικό 10γωνο:

Καλησπέρα Γιώργο! Όχι, ήθελα πολλαπλές προσεγγίσεις και ευτυχώς ανταποκριθήκατε όλοι στο μέγιστο. Ευχαριστώ πολύ!

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
$cos72^{o}-cos36^{o}$

Και λίγο πιο απλά: Χρήστο, αν $Q$ το περίκεντρο του $\vartriangle ABC$, τότε $\angle QAC=90^\circ-\angle B=\angle BAH=\angle MAC\Rightarrow Q\in AM$ κι επειδή $BM=MC\Rightarrow Q\equiv M$ Ευχαριστώ πάρα πολύ! Με τη βοήθεια ενός σχήματος κατανόησα το επιχείρημα. Δεν το γνώριζα. Ευχαριστώ όλους για τ...

Η αναζήτηση βρήκε 6318 εγγραφές

Re: Μιγαδικοί και Γεωμετρία.

Re: Μιγαδικοί και Γεωετρία.

Μιγαδικοί και Γεωμετρία.

Re: Εύρεση τιμής παράστασης

Εύρεση τιμής παράστασης

Οπτικοποίηση

Μια άσκηση με ορθόκεντρο

Επίλυση εξίσωσης με τη βοήθεια ανίσωσης;

Πλήθος τριγώνων με ακέραιες πλευρές και σταθερή περίμετρο!

Γεωμετρική ανισότητα σε ισόπλευρο τρίγωνο

Υπολογισμός λογάριθμου από άλλον λογάριθμο

Και γεωμετρία και άλγεβρα.

Re: Παράσταση φυσικού

Παράσταση φυσικού

Re: Σύατημα μιγαδικών

Σύατημα μιγαδικών

Συμπράξτε να αγοράσουμε μια βάρκα!

Re: Υπολογισμός τιμής τριγωνομετρικής παράστασης

Υπολογισμός τιμής τριγωνομετρικής παράστασης

Re: Είναι ορθογώνιο τρίγωνο