Ο επόμενος αριθμός είναι ο ο επόμενος πρώτος αριθμός του
αφού

Τέμνουσα και εφαπτομένη.png Π.Θ στο $\triangle BED\ (or \triangle BE'D):\ DE=DE'=\sqrt{BE^2-BD^2}=\sqrt{12^2-9^2}=3\sqrt{7}$ $sin\phi=\dfrac{3}{4}\Rightarrow cos(90°-\phi)=sin\phi=\dfrac{3}{4}$. Είναι φανερό ότι το $C$ βρίσκεται εντός του $AB$ Από Νόμο των συνημιτόνων στο $\triangle KEB$ έχουμε: $K...

Χαιρετώ τους φίλους Γιώργο και Γιώργο.

Και μια δική μου (ημιτελής) προσπάθεια.

ΕΜΒΑΔΟΝ ΜΗ ΚΥΡΤΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ.png Επειδή $BD\bot AC \Rightarrow$ τόξο $AB+$ τόξο $CD=180°\Rightarrow \angle AOB+\angle COD=180°\Rightarrow$ $\angle BOE+\angle COZ=90° \Rightarrow \angle OBE=\angle COZ \Rightarrow$ $\triangle BOE= \triangle COZ \Rightarrow$ $CZ=OE=3 \Rightarrow \boxed{CD=6}$ Το $(ABDC...

Γεια σου Θανάση! Γεια σου Γιώργο! (μετά σε είδα)

, άρα και αν τότε
Δύναμη σημείου : , άρα μόνη δεκτή λύση, οπότε

Και εγώ έμεινα με το σχέδιο ...στο χέρι. Το αναρτώ για την Καλησπέρα στους φίλους, μετά από καιρό...

Σήμερα έβλεπα το τηλεπαιγνίδι "DEAL", στο οποίο καθημερινά κληρώνεται ένας παίχτης από τους $22$ . Αν κάποιος κληρωθεί κάποια φορά , στη συνέχεια αποχωρεί , ενώ οι υπόλοιποι συμμετέχουν στην επόμενη κλήρωση , αφού συμπληρωθεί η 22άδα με ένα νέο παίχτη . Μου γεννήθηκε λοιπόν το ερώτημα : Αν κάποιος ...

Πρόκειται για διωνυμική κατανομή ενός πειράματος που επαναλαμβάνεται $22$ φορές με πιθανότητα επιτυχίας $\dfrac{1}{22}$ και πιθανότητα αποτυχίας $1-\dfrac{1}{22}=\dfrac{21}{22}$ και το ζητούμενο είναι η πιθανότητα για $0$ επιτυχίες. Οπότε στον γενικό τύπο: $P( X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$ για $n=22,\ ...

Είναι

Επίσης είναι
και

Από και έπεται το ζητούμενο.

Πλεονεξία.pngΣημείο $S$ κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB=2R$ .Φέρω την ημιευθεία $BS$ και ( πώς ; ) την εφαπτομένη $QP$ του τόξου την κάθετη στην $BS$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου $PQB$ . Πόσο είναι τότε το μήκος της πλευράς $BP$ ; Χαιρετώ τους αγαπητούς φίλους! Πλεονεξία.png $(P...

Σε γνώριμα νερά.png $AS\cdot BC=BS\cdot a+SC\cdot a=a(BS+SC)\Rightarrow AS\cdot 2BM=a(BS+SC)\Rightarrow$ $a(BS+SA)=AS\cdot 2a\cdot sin \angle\dfrac{A}{2} \Rightarrow \dfrac{BS+SC}{AS}=2sin \angle\dfrac{A}{2}$ Αν $\angle A=60° \Rightarrow \dfrac{BS+SC}{AS}=1 \Rightarrow BS+SC=AS$ Γεια σου Γεώργιε!

Νίκο κάναμε την ίδια σκέψη!
Αφού περίμετρος , αν τότε , οπότε
και από όπου και ή και
και άρα και αντίστροφα.

Τρίγωνο 19.png Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα $ADKZ$ και $BDKE$ έχουμε: $\angle KZC=\angle ADK$ και $\angle KEC=\angle KDB$ οπότε $\angle KZC+\angle KEC=\angle ADK+\angle KDB=180°$ και το ζητούμενο είναι άμεσο. $\angle BKC=180°-\angle KBE-\angle KCE=$ $180°-\angle KDE-\angle KZE=$ $180°-(\angle ZD...

Χαιρετώ! Μέγιστο για .. Θαλή.png Ίδια λύση με του Νίκου, λίγο πιο ...αρχιτεκτονική :) Είναι $(ABC)=3(BGC)=6(BGD)$, όμως $BD^2+DG^2=BG^2=16=st$ άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου $\triangle BGD$ γίνεται μέγιστο όταν το τρίγωνο γίνει ισοσκελές ($BD_0=D_0G_0$, αφού τα ημικύκλια διαμέτρων $BG_0$ και $BG$ εί...

Καλημέρα! Θεώρημα του Πάππου .png Μας ζητείται να δείξουμε ότι $ab=cd$, αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac{a}{c}=\dfrac{d}{b}$, άρα αρκεί να δείξουμε ότι $\triangle KEP\sim \triangle ZLP$. Από το εγγεγραμμένο $APBCD$ και τα εγγράψιμα $EAKP, PKBZ$ και $PLCZ$ έχουμε: $\angle KEP=\angle KAP=\angle BAP=\ang...

Καλησπέρα! Τριχοτομία και μέγιστη γωνία.png Με γεωμετρία... α) Προφανώς η θέση του $M$ όπου έχουμε την μέγιστη $\angle KML$ είναι το σημείο επαφής του κύκλου, που διέρχεται από τα σημεία $K,L$ και εφάπτεται των πλευρών του τετραγώνου $AD,BC$, με την πλευρά $AD$, οπότε: $AM^2=AK\cdot AL=\dfrac{a}{3}...

Χαιρετώ! Πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου .png Θεώρημα Μενελάου στο $\triangle ADC$ με διατέμνουσα $BKE$: $\dfrac{DK}{KA}\dfrac{a-1}{1}\dfrac{a}{1}=1\Rightarrow$ $\dfrac{DK}{KA}=\dfrac{1}{a(a-1)}\Rightarrow$ $\dfrac{DK}{DA}=\dfrac{1}{a(a-1)+1}\Rightarrow DK=DA\cdot\dfrac{1}{a^2-a+1}$ Θεώρημα Μενελάου στο...