Η αναζήτηση βρήκε 241 εγγραφές

από simantiris j.
Τετ Μάιος 09, 2018 5:30 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2018
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 2145

Re: BMO 2018

Καλά αποτελέσματα και από εμένα στις ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου!
από simantiris j.
Κυρ Φεβ 18, 2018 9:41 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 390

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Καλημέρα!Μια λύση με επιφύλαξη μιας και είναι η πρώτη φορά που ασχολούμαι με τη έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης. Αρχικά είναι $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x}{n+1}=0<1$ για κάθε χ.Άρα η $ f_n(x)$ συγκλίνει(από κριτήριο λόγ...
από simantiris j.
Πέμ Ιαν 18, 2018 1:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: γραμμική/seemous
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1044

Re: γραμμική/seemous

Η λύση μου για αυτή την ωραία άσκηση: Αρχικά θεωρούμε τον $B=A-\frac{I_{n}}{2}$ και από τη δοσμένη έχουμε ότι $B^t=-B$.Άρα ο $B$ είναι αντισυμμετρικός και επιπλέον βλέπουμε ότι $det(A)=det(B+\frac{I_{n}}{2})=x_{B}(-\frac{1}{2})$(όπου $x_{B}$ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $B$). Λήμμα:Οι ιδοτιμές το...
από simantiris j.
Πέμ Ιαν 04, 2018 8:28 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2015/4
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 902

Re: SEEMOUS 2015/4

Καλησπέρα και καλή χρονιά σε όλους!Για να μη μείνει αναπάντητο βάζω τη λύση μου για το α) και επαναφέρω το β) Αρχικά παρατηρούμε ότι αφού $f'(0)=1$ υπάρχει $\delta _{1}(1)>0$ τέτοιο ώστε $\forall x\in (0,\delta _{1})\cap I$ ισχύει $\left |\frac{f(x)}{x}-1 \right |<1\Rightarrow f(x)>0$. Έστω τώρα $T_...
από simantiris j.
Κυρ Νοέμ 19, 2017 6:59 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Ακολουθίες και ολοκληρώματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 532

Re: Ακολουθίες και ολοκληρώματα

Πολύ ωραία!Προτάθηκε από τον Titu Anreescu για τον Putnam κάποιας χρονιάς αυτή η ωραία εφαρμογή του Cesaro-Stolz.
από simantiris j.
Κυρ Νοέμ 19, 2017 4:44 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Ακολουθίες και ολοκληρώματα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 532

Ακολουθίες και ολοκληρώματα

Μια που μου άρεσε.Ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί.
Έστω f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} συνεχής ώστε η ακολουθία (a_{n}),n\geq 0 με a_{n}=\int_{0}^{1}f(x+n)dx να συγκλίνει.Συγκλίνει η b_{n}=\int_{0}^{1}f(nx)dx;
από simantiris j.
Δευ Σεπ 11, 2017 12:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Mεταβλητή τέμνουσα και παραλληλία.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 342

Re: Mεταβλητή τέμνουσα και παραλληλία.

Κύριε Κώστα,βρήκα και μια λύση με αρμονικά συζυγή.Έστω $R\equiv BC\cap MN$.Τότε από το αρμονικό τετράπλευρο $ACDB$ οι ευθείες $DB,CB,AB,SB$ σχηματίζουν αρμονική δέσμη άρα αφού $MN \parallel BC$ από γνωστή πρόταση στα αρμονικά συζυγή ,το $N$ θα είναι μέσο του $RE$.Τότε όμως οι διαγώνιοι του $RSEB$ δι...
από simantiris j.
Δευ Σεπ 11, 2017 10:49 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Mεταβλητή τέμνουσα και παραλληλία.
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 342

Re: Mεταβλητή τέμνουσα και παραλληλία.

Καλημέρα κ.Κώστα!Φαντάζομαι ότι εννοείτε $SE \parallel BC$. Παρατηρούμε ότι $MA^2=MS^2$ και $NB^2=NS^2$.Άρα τα $M,N$ έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τον $(O)$ και τον εκφυλισμένο κύκλο κέντρου $S$,συνεπώς η $MN$ είναι ο ριζικός άξονάς τους.Επειδή λοιπόν $E\in MN$ είναι $SE^2=EB \cdot ED$,άρα ο περίκυκλο...
από simantiris j.
Παρ Σεπ 01, 2017 9:17 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Vojtech Jarvik 2016/2 Category I
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 822

Re: Vojtech Jarvik 2016/2 Category I

Καλησπέρα :logo: !Ωραίο αλλά δύσκολο πρόβλημα,με αρκετή περιπτωσιολογία.Βάζω εδώ τη λύση μου. Προφανώς τα $n=1,2$ είναι λύσεις.Έστω τώρα $n>2$ τέτοιος φυσικός.Από θεώρημα Euler είναι $a^{n^2+3}\equiv a^{k\varphi (n)}\equiv 1(modn)$,$\forall a$ με $(a,n)=1$.Επιλέγοντας $a=n-1$ είναι $(-1)^{n^2+3}\equ...
από simantiris j.
Παρ Αύγ 04, 2017 8:20 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2947

Re: IMO 2017

Έστω και καθυστερημένα,βρίσκοντας τώρα λίγο χρόνο για να ασχοληθώ,βάζω τη λύση μου για το 2,ώστε να έχουμε λύσεις όλων των προβλημάτων (και ρίχνοντας μια ματιά στο παραπάνω σύνδεσμο δεν υπάρχει ίδια η παρακάτω λύση). Το πρόβλημα 2 είναι Να βρεθούν όλες οι $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικα...
από simantiris j.
Σάβ Ιούλ 22, 2017 8:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεράστια Επιτυχία! 12η η Ελλάδα στην 58η ΙΜΟ
Απαντήσεις: 41
Προβολές: 13970

Re: Τεράστια Επιτυχία! 12η η Ελλάδα στην 58η ΙΜΟ

Να δώσω και εγώ τα συγχαρητήρια μου σε αυτή τη ομάδα που μέσα σε μια μόνο χρονιά έσπασε όλα τα ρεκόρ στην ιστορία της παρουσίας της χώρας μας στην ΙΜΟ! :first:
Επίσης άξια συγχαρητηρίων είναι και η Κύπρος που πέτυχε πολύ καλή θέση στη γενική κατάταξη!
Μπράβο και πάλι μπράβο!
από simantiris j.
Τρί Ιούλ 18, 2017 8:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2017
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2947

IMO 2017

Πριν λίγο τελείωσε η 1η μέρα του διαγωνισμού.Ας συζητήσουμε τα θέματα,όταν αυτά δημοσιευτούν,εδώ.
Καλή επιτυχία στους διαγωνιζόμενους και στην εθνική μας ομάδα!
από simantiris j.
Σάβ Ιούλ 15, 2017 10:48 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Shortlist 2016 (2/2)
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 2404

Re: JBMO Shortlist 2016 (2/2)

G7 Πολύ ωραία η λύση του Ορέστη!Μια άλλη λύση: Οι ριζικοί άξονες των τριών κύκλων,που είναι οι εφαπτομένες του $c$ στα $A,B$ και η $LK$,συτρέχουν στο ριζικό τους κέντρο,έστω $S$.Επειδή $\angle OAS=\angle OBS=90^{\circ}$ το τετράπλευρο $OASB$ είναι εγγράψιμο.Με κυνήγι γωνιών είναι $\angle ALK=\angle ...
από simantiris j.
Δευ Ιουν 26, 2017 11:08 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή με 2 συναρτήσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 941

Re: Συναρτησιακή με 2 συναρτήσεις

Καλημέρα!Μια προσπάθεια: Αν η$g$ δεν είναι η μηδενική επιλέγοτας $y$ τέτοιο ώστε $g(y)\neq 0$ εύκολα προκύπτει ότι η $f$ είναι 1-1. Η $P(0,0)$ δίνει ότι $f(2f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$.Για $x=0$ τώρα προκύπτει ότι $f(x)=x$ και άρα $g(x)=2-x$ δεκτό ζεύγος. Αν $g(x)\equiv 0$ τότε έχω να λύσω την $f(...
από simantiris j.
Σάβ Μάιος 06, 2017 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2017 - Θέματα
Απαντήσεις: 38
Προβολές: 6366

Re: BMO 2017 - Θέματα

Μπράβο σε όλα τα παιδιά για την εξαιρετική εμφάνισή τους! :10sta10:
από simantiris j.
Παρ Μάιος 05, 2017 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2017 - Θέματα
Απαντήσεις: 38
Προβολές: 6366

Re: BMO 2017 - Θέματα

:coolspeak: Αυτή την απόδειξη είχα στο μυαλό μου!
από simantiris j.
Παρ Μάιος 05, 2017 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2017 - Θέματα
Απαντήσεις: 38
Προβολές: 6366

Re: BMO 2017 - Θέματα

Θέλω και εγώ να συγχαρώ με τη σειρά μου τους κ.Σιλουανό και Ψύχα για την ωραία γεωμετρία καθώς και τον κ.Δημήτρη για το 4ο πρόβλημα! Ένα επιπλέον ερώτημα προς επίλυση για τη γεωμετρία (το παρατήρησα την ώρα του διαγωνισμού αλλά δε μου χρειάστηκε): Αν η $A-$ διάμεσος του τριγώνου $ABC$ τέμνει τον $\G...
από simantiris j.
Δευ Μαρ 20, 2017 3:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Αναζήτηση χορδής
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 606

Re: Αναζήτηση χορδής

Γεια σας κ.Γιώργο!Μια ιδέα για το α) Θα δείξω ότι η $EA$ περνά από το σημείο τομής των εφαπτομένων στα $B,C$.Έστω $S\equiv AE \cap KL$ και $T\equiv BC \cap KL$.Αρκεί τα $S,T$ να είναι αρμονικά συζυγή των $K,L$ ή αφού $\angle KAL=90^{\circ}$ αρκεί η $AL$ να διχοτομεί την $\angle SAT$. Είναι όμως $\an...
από simantiris j.
Κυρ Μαρ 12, 2017 9:21 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τα εργαλείο κάνουν το μάστορα_6
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 621

Re: Τα εργαλείο κάνουν το μάστορα_6

Καλημέρα σε όλους!Μια απόδειξη για τον ισχυρισμό του κ.Γιώργου. Αρχικά έχω ότι $\angle HEB=\angle AEB=90^{\circ}$ άρα τα $A,H,E$ συνευθειακά. Τα $P,T$ είναι τα αρμονικά συζυγή των $A,B$ και με $\angle AEB=90^{\circ}$ η $HE$ διχοτομεί την $\angle SET$ άρα $\angle HBA=\angle AET=\angle SEA=\angle SBA$...
από simantiris j.
Δευ Φεβ 20, 2017 8:19 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Αρχιμήδης 2016-2017
Απαντήσεις: 126
Προβολές: 10236

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Άσκηση 30 Seniors Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^2-->\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την σχέση: $P(x,y): f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x), \forall x,y\in\mathbb{R}$. Καλησπέρα!Μια λύση για αυτήν. $P(0,0)\Rightarrow f(f(0)=0$ $P(f(0),f(0))\Rightarrow f(0)=f(0)(f(0)+1)\Rightarrow f(0)=0$. $P(...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση