mathematica.gr

Καλά αποτελέσματα και από εμένα στις ομάδες της Ελλάδας και της Κύπρου!

Καλημέρα!Μια λύση με επιφύλαξη μιας και είναι η πρώτη φορά που ασχολούμαι με τη έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης. Αρχικά είναι $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{x}{n+1}=0<1$ για κάθε χ.Άρα η $ f_n(x)$ συγκλίνει(από κριτήριο λόγ...

Η λύση μου για αυτή την ωραία άσκηση: Αρχικά θεωρούμε τον $B=A-\frac{I_{n}}{2}$ και από τη δοσμένη έχουμε ότι $B^t=-B$.Άρα ο $B$ είναι αντισυμμετρικός και επιπλέον βλέπουμε ότι $det(A)=det(B+\frac{I_{n}}{2})=x_{B}(-\frac{1}{2})$(όπου $x_{B}$ το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $B$). Λήμμα:Οι ιδοτιμές το...

Καλησπέρα και καλή χρονιά σε όλους!Για να μη μείνει αναπάντητο βάζω τη λύση μου για το α) και επαναφέρω το β) Αρχικά παρατηρούμε ότι αφού $f'(0)=1$ υπάρχει $\delta _{1}(1)>0$ τέτοιο ώστε $\forall x\in (0,\delta _{1})\cap I$ ισχύει $\left |\frac{f(x)}{x}-1 \right |<1\Rightarrow f(x)>0$. Έστω τώρα $T_...

Πολύ ωραία!Προτάθηκε από τον Titu Anreescu για τον Putnam κάποιας χρονιάς αυτή η ωραία εφαρμογή του Cesaro-Stolz.

Μια που μου άρεσε.Ελπίζω να μην την έχουμε ξαναδεί.
Έστω συνεχής ώστε η ακολουθία με να συγκλίνει.Συγκλίνει η ;

Κύριε Κώστα,βρήκα και μια λύση με αρμονικά συζυγή.Έστω $R\equiv BC\cap MN$.Τότε από το αρμονικό τετράπλευρο $ACDB$ οι ευθείες $DB,CB,AB,SB$ σχηματίζουν αρμονική δέσμη άρα αφού $MN \parallel BC$ από γνωστή πρόταση στα αρμονικά συζυγή ,το $N$ θα είναι μέσο του $RE$.Τότε όμως οι διαγώνιοι του $RSEB$ δι...

Καλημέρα κ.Κώστα!Φαντάζομαι ότι εννοείτε $SE \parallel BC$. Παρατηρούμε ότι $MA^2=MS^2$ και $NB^2=NS^2$.Άρα τα $M,N$ έχουν ίσες δυνάμεις ως προς τον $(O)$ και τον εκφυλισμένο κύκλο κέντρου $S$,συνεπώς η $MN$ είναι ο ριζικός άξονάς τους.Επειδή λοιπόν $E\in MN$ είναι $SE^2=EB \cdot ED$,άρα ο περίκυκλο...

Καλησπέρα :logo: !Ωραίο αλλά δύσκολο πρόβλημα,με αρκετή περιπτωσιολογία.Βάζω εδώ τη λύση μου. Προφανώς τα $n=1,2$ είναι λύσεις.Έστω τώρα $n>2$ τέτοιος φυσικός.Από θεώρημα Euler είναι $a^{n^2+3}\equiv a^{k\varphi (n)}\equiv 1(modn)$,$\forall a$ με $(a,n)=1$.Επιλέγοντας $a=n-1$ είναι $(-1)^{n^2+3}\equ...

Έστω και καθυστερημένα,βρίσκοντας τώρα λίγο χρόνο για να ασχοληθώ,βάζω τη λύση μου για το 2,ώστε να έχουμε λύσεις όλων των προβλημάτων (και ρίχνοντας μια ματιά στο παραπάνω σύνδεσμο δεν υπάρχει ίδια η παρακάτω λύση). Το πρόβλημα 2 είναι Να βρεθούν όλες οι $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικα...

Να δώσω και εγώ τα συγχαρητήρια μου σε αυτή τη ομάδα που μέσα σε μια μόνο χρονιά έσπασε όλα τα ρεκόρ στην ιστορία της παρουσίας της χώρας μας στην ΙΜΟ!
Επίσης άξια συγχαρητηρίων είναι και η Κύπρος που πέτυχε πολύ καλή θέση στη γενική κατάταξη!
Μπράβο και πάλι μπράβο!

Πριν λίγο τελείωσε η 1η μέρα του διαγωνισμού.Ας συζητήσουμε τα θέματα,όταν αυτά δημοσιευτούν,εδώ.
Καλή επιτυχία στους διαγωνιζόμενους και στην εθνική μας ομάδα!

G7 Πολύ ωραία η λύση του Ορέστη!Μια άλλη λύση: Οι ριζικοί άξονες των τριών κύκλων,που είναι οι εφαπτομένες του $c$ στα $A,B$ και η $LK$,συτρέχουν στο ριζικό τους κέντρο,έστω $S$.Επειδή $\angle OAS=\angle OBS=90^{\circ}$ το τετράπλευρο $OASB$ είναι εγγράψιμο.Με κυνήγι γωνιών είναι $\angle ALK=\angle ...

Καλημέρα!Μια προσπάθεια: Αν η$g$ δεν είναι η μηδενική επιλέγοτας $y$ τέτοιο ώστε $g(y)\neq 0$ εύκολα προκύπτει ότι η $f$ είναι 1-1. Η $P(0,0)$ δίνει ότι $f(2f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$.Για $x=0$ τώρα προκύπτει ότι $f(x)=x$ και άρα $g(x)=2-x$ δεκτό ζεύγος. Αν $g(x)\equiv 0$ τότε έχω να λύσω την $f(...

Μπράβο σε όλα τα παιδιά για την εξαιρετική εμφάνισή τους!

Αυτή την απόδειξη είχα στο μυαλό μου!

Θέλω και εγώ να συγχαρώ με τη σειρά μου τους κ.Σιλουανό και Ψύχα για την ωραία γεωμετρία καθώς και τον κ.Δημήτρη για το 4ο πρόβλημα! Ένα επιπλέον ερώτημα προς επίλυση για τη γεωμετρία (το παρατήρησα την ώρα του διαγωνισμού αλλά δε μου χρειάστηκε): Αν η $A-$ διάμεσος του τριγώνου $ABC$ τέμνει τον $\G...

Γεια σας κ.Γιώργο!Μια ιδέα για το α) Θα δείξω ότι η $EA$ περνά από το σημείο τομής των εφαπτομένων στα $B,C$.Έστω $S\equiv AE \cap KL$ και $T\equiv BC \cap KL$.Αρκεί τα $S,T$ να είναι αρμονικά συζυγή των $K,L$ ή αφού $\angle KAL=90^{\circ}$ αρκεί η $AL$ να διχοτομεί την $\angle SAT$. Είναι όμως $\an...

Καλημέρα σε όλους!Μια απόδειξη για τον ισχυρισμό του κ.Γιώργου. Αρχικά έχω ότι $\angle HEB=\angle AEB=90^{\circ}$ άρα τα $A,H,E$ συνευθειακά. Τα $P,T$ είναι τα αρμονικά συζυγή των $A,B$ και με $\angle AEB=90^{\circ}$ η $HE$ διχοτομεί την $\angle SET$ άρα $\angle HBA=\angle AET=\angle SEA=\angle SBA$...

Άσκηση 30 Seniors Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{R}^2-->\mathbb{R}$ που ικανοποιούν την σχέση: $P(x,y): f(x+f(y))+f(yf(x))=y(x+1)+f(x), \forall x,y\in\mathbb{R}$. Καλησπέρα!Μια λύση για αυτήν. $P(0,0)\Rightarrow f(f(0)=0$ $P(f(0),f(0))\Rightarrow f(0)=f(0)(f(0)+1)\Rightarrow f(0)=0$. $P(...