Α)Έχουμε $5$ διαφορετικά σημεία τα οποία ανά $3$ δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία. α) Πόσα ευθύγραμμα τμήματα μπορούμε να κατασκευάσουμε; β) Μπορούμε να γενικεύσουμε το συλλογισμό μας αν μας δοθεί οποιοσδήποτε αριθμός σημείων (έστω $n$) ; Β)Έχουμε ένα τετράπλευρο και θέλουμε να σχεδιάσουμε τις διαγώνιες...

Έχω αμφιβολία για την εξής αντιμετώπιση του γ) , παρακαλώ πείτε μου και οι υπόλοιποι την άποψη σας: $f(x-1)+f(x-3)<f^{-1} (2-x)$ και αφού η f είναι γνήσια αύξουσα $f(f(x-1)+f(x-3))<f(f^{-1} (2-x))$ Όμως $f(f^{-1} (2-x))=2-x$ άρα $f(f(x-1)+f(x-3))<2-x (1)$ Θεωρώ την συνάρτηση $h(x)=f(f(x-1)+f(x-3))+x...

Να αποδειχθεί ότι:
Υ.Γ. Δεν είμαι σίγουρος για την επιλογή του "κατάλληλου" φακέλου ας δοκιμαστεί με αμιγώς "σχολικά" εργαλεία...

Μια προσπάθεια 1) Ο Α είναι περιττός αριθμός, επομένως της μορφής $A=2k+1$ άρα το υπόλοιπο είναι $1$ 2) Παρατηρούμε πως το άθροισμα των ψηφίων του Α είναι $7*7=49$ επομένως ο $A-1=3k$ δηλ $A=3k+1$ άρα το υπόλοιπο είναι 1 3)Ο Α τελειώνει σε $3$ άρα είναι της μορφής $A=5k+3$ άρα το υπόλοιπο είναι $3$ ...

$100-72=28$ φωλιές δεν είναι άδειες Πόσες τουλάχιστον φωλιές μπορούν να έχουν ακριβώς 4 περιστέρια; "Γεμίζουμε" από $1$ Περιστέρι τις $28$ φωλιές $3$ διαδοχικές φορές άρα$3*28=84$ περιστέρια. Κάθε φωλιά τώρα έχει $3$ περιστέρια. Μένουν $101-84=17$ περιστέρια να τοποθετήσουμε. Τα τοποθετούμε λοιπόν ε...

Μια προσέγγιση για το δ4 i) (νομίζω αλλάζει λίγο η παρουσίαση , που βασίζεται στις συνέπειες θμτ και αποδεικνύει στην πορεία το πόρισμα, αλλά η ουσία είναι ίδια ..) Θα χρησιμοποιήσουμε ότι αφού $F,G$ είναι αρχικές της $f$ στο $(0,2)$ τότε: $F'(x)=f(x) (1)$ για κάθε $x$ στο $(0,2)$ και επιπλέον $G'(x...

Ανεβάζω 2 ασκήσεις που προτάθηκαν στο μάθημα της ΕΜΕ του προηγούμενου Σαββάτου για εξάσκηση για τον Αρχιμήδη.(Έχω λύση μονο για την 1η καθώς δεν έχω προσπαθήσει την 2η) Άσκηση 26 Seniors Να αποδειχθεί ότι η παρακάτω ανισότητα ισχύει για κάθε χ θετικό πραγματικό αριθμό: $\frac{2017}{(x+1)(x+4034)}\l...

Να λυθεί η εξίσωση $2x^4-2x^3-5x^2+4x+2=0$ $2x^4-2x^3-4x^2+4x-x^2+2=0$ $2x(x^3-x^2-2x+2)-(x^2-2)=0$ $2x[x^2(x-1)-2(x-1)]-(x^2-2)=0$ $2x(x^2-2)(x-1)-(x^2-2)=0$ $(x^2-2)(2x^2-2x-1)=0$ $x= \sqrt[]{2}$ ή $x= -\sqrt[]{2}$ ή $2x^2-2x-1=0$ η τελευταία δίνει ρίζες $x=1/2 +3\sqrt[]{2}/2$ ,$x=1/2 -3\sqrt[]{2...

με επιφύλαξη... γυρίζουμε και τις $2$ κλεψύδρες ταυτόχρονα.Η πρώτη κλεψύδρα τελειώνει στα $11$ λεπτά.Πλέον θέλουμε να μετρήσουμε $4$ λεπτά.Την στιγμή που τελειώνει η πρώτη την αναποδογυρίζουμε μέχρι να τελειώσει η άλλη η οποία θα τελειώσει σε $2$ λεπτά.Όταν τελειώσει και η δεύτερη αναποδογυρίζουμε ε...

Σας ευχαριστώ κύριε Μιχάλη για την ενασχόληση

Να λυθεί στο η εξίσωση:

.....1.......
...9...7......
..5.......6...
.2 ..4..8..3...

για το B) ερώτημα: Η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής και 1-1 επομένως είναι γνησίως μονότονη. Έστω ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα τότε: $x_1<x_2 \Longrightarrow e^{x_1}<e^{x_2}\Longrightarrow f( e^{x_1})<f(e^{x_2}) (1)$ $x_1<x_2 \Longrightarrow 8x_1-8<8x_2-8 \Longrightarrow f(8x_1-8)<f(8x_2-8) (2)$ προ...

Παναγιώτη καλησπέρα, Το μόνο σίγουρο είναι ότι ποτέ δε θα είσαι ευχαριστημένος με τις ασκήσεις που θα έχεις λύσει ειδικά σε μαθηματικά και φυσική.Αργά η γρήγορα θα διαπιστώσεις ότι αν ψάχνεσαι πολύ σε ένα τομέα ανακαλύπτεις καινούρια πράγματα και νιώθεις ότι δε ξέρεις τίποτα.Αυτό που εγώ σου προτείν...

Σας ευχαριστώ πολύ κύριε Θάνο για την απάντηση!

Θα ήθελα να ρωτήσω εάν υπάρχει κάποια απόδειξη-εξήγηση γιατί ο ανοιγμένος
κλιμακωτός πίνακας που προκύπτει από απαλοιφή Gauss είναι μοναδικός.

Μπράβο Ραφαήλ σε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου!!

Άσκηση 1251 Δίνονται $a,b,c$ πραγματικοί, θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε: $a+b+c=3$ Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\frac{a^2}{a +\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2 }{b+\sqrt[3]{ac}}+\frac{c^2}{c +\sqrt[3]{ab}}\geq }\frac{3}{2}}$ ΠΗΓΗ :Mexican National Olympiad 2014

μία απάντηση για το β) με επιφυλάξεις.. Έστω ότι η εξίσωση $f(x)=x$ δεν έχει λύση Αφού η $f$ είναι συνεχής στο $R$ $f(x)<x$ για κάθε $x$ στο $R$ (1) ή $f(x)>x$ για κάθε $x$ στο $R$ (2) στην $(1)$ θέτω όπου $x$ το $f(x)$ και παίρνω: $f(f(x))<f(x)$ και από το α) ερώτημα για χ=ξ , ξ<f(ξ) άτοπο .Ομοίως ...