Να βρείτε όλους τους μη αρνητικούς αριθμούς , για τον καθέ από τους οποίους υπάρχει συνάρτηση τέτοια, ώστε



για οποιοδήποτε .

Στο καρτεσιανό επίπεδο είναι σημειωμένα πεπερασμένο πλήθος σημείων με διαφορετικές ανά δυο τετμημένες. Ο αριθμός $n \in \mathbb{N}^*$ είναι τέτοιος, ώστε αν από οποιαδήποτε $n+1$ σημειωμένα σημεία φέρουμε την γραφική παράσταση πολυώνυμου το πολύ $n$ βαθμού, τότε σε αυτήν την γραφική παράσταση θα βρί...

Με $X(\alpha)$ θα συμβολίσουμε το σημείο με συντεταγμένες $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ ( όλα αυτά βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων). Διαλέγουμε μια τυχαία γωνία $\phi$ και φέρουμε τις χορδές $P(\phi)P(2022\phi), P(2022\phi)P(2022^2\phi), \ldots$ (στο βήμα με αριθμό $n$ φ...

Να βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς , για τους οποίους υπάρχουν πολυώνυμα μιας μεταβλητής και , τέτοια ώστε η ισότητα



να ισχύει για όλες τις τιμές του εκτός από πεπερασμένο αριθμό.

Ορισμός: Θεωρούμε τετράεδρο $ABCD.$ Αν μία τρίεδρη γωνία του, π.χ η τρίεδρη γωνία με κορυφή $A,$ είναι τρισορθογώνια, τότε το $ABCD$ ονομάζεται τρισορθογώνιο τετράεδρο κατά την κορυφή $A.$ Τρισορθογώνιο τετράεδρο.png Δίνεται τρισορθογώνιο τετράεδρο $ABCD$ κατά την κορυφή $A.$ Μία μεταβλητή σφαίρα $...

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η ανίσωση

έχει μοναδική λύση, όπου

, .

Σε ισοεδρικό τετράεδρο $OABC$ αποδείξτε ότι $\displaystyle R^{2}\geq \frac{E\sqrt{3}}{2}$ όπου $R$ η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του τετραέδρου και $E$ το εμβαδόν των ίσων τριγωνικών εδρών του. Έστω $a,b,c$ τα μήκη των ακμών μιας εκ των ίσων εδρών του τετραέδρου, $O$ το κέντρο της περιγεγραμ...

Με αφορμή ένα προηγούμενο θέμα. Δίνετε μια διάλεξη πάνω σε πολυωνυμικές εξισώσεις σε ακροατήριο με σχεδόν μηδενική γνώση πανεπιστημιακών μαθηματικών, έχοντας μόνο βασικές γνώσεις μαθηματικών. Πως θα εξηγούσατε όσο μπορούσατε καλύτερα το Θεώρημα Abel-Ruffini. Όποιος θέλει μπορεί να γράψει ένα μεγάλο...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 31 Μαρτίου 2024 $\bullet $ 11η τάξη, 2η μέρα Πρόβλημα 1. Υπάρχει άραγε στο καρτεσιανό επίπεδο σημείο, ως προς το οποίο είναι συμμετρική η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}$; (Ντ. Γκοριάσιν) Πρόβλημα 2. Ένα πρωτάθλημα ποδοσφαίρου διεξήχθη σ...

Το παρακάτω ίσως φανεί χρήσιμο σε άλλα θέματα... Να υπολογιστούν τα μήκη των διαμέσων τετραέδρου συναρτήσει των μηκών των ακμών του. Θεωρούμε το λίγο γενικότερο πρόβλημα της εύρεσης της απόστασης δυο σημείων $P$ και $M$, αν είναι γνωστές οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες $\lambda_{i}$ του σημείου $P$ ...

Ο όγκος των θεμάτων και των δημοσιεύσεων των σχολικών μαθηματικών είναι υπερδιπλάσιος σχετικά με τα πιο προχωρημένα μαθηματικά. Πιστεύετε ότι αυτό αντανακλά στην ανάγκη της ελληνικής μαθηματικής κοινότητας στο σύνολο της; Είναι δηλαδή το mathematica περισσότερο ένα σχολικό forum; Δεν ισχυρίζομαι ότ...

Αναπαράσταση σχημάτων στην στερεομετρία Στην στερεομετρία αναπαράσταση ενός σχήματος (πρωτότυπου) θα ονομάζουμε οποιοδήποτε σχήμα, όμοιο με την παράλληλη προβολή του δοθέντος σχήματος σε κάποιο επίπεδο. Για δοθέν σχήμα η μορφή της αναπαράστασής του εξαρτάται από την θέση του πρωτότυπου (σχήματος) ω...

(Με χειροποίητο σχήμα παλιάς κοπής). Με αφορμή τα σχήματα των κ. Σωτήρη και Γιώργου θα ήθελα να παρουσιάσω μερικές ιδιότητες και κανόνες που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση τρισδιάστατων σχημάτων. Αν και τα παρακάτω μπορούν να βρεθούν σε διάφορα βιβλία, για λόγους εμπλουτισμού της βιβλιογραφι...

Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Γιώργο για τις λύσεις, τα σχήματα και τον χρόνο που διέθεσε. Από την πλευρά μου, το κίνητρο για αυτά τα βασικά θέματα της γεωμετρίας του τετράεδρου δεν ήταν τόσο η πρωτοτυπία, καθώς μπορούν να βρεθούν σε πολλά βιβλία στερεομετρίας, αλλά η απουσία αναφοράς στο ελληνικό ...

Το παρακάτω θέμα τέθηκε στον τρίτο γύρο της 27ης Πολωνικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας την περίοδο 1975-1976. Πρόκειται για το τρίτο θέμα της πρώτης μέρας. Αποδείξτε ότι για κάθε τετράεδρο , τα τρία γινόμενα των ζευγών των απέναντι εδρών είναι μήκη πλευρών τριγώνου. Χρόνια Πολλά για την εθνική μας εορτή...

Φιλολογικά να σημειώσουμε, ότι το πρόβλημα αυτό είναι σχετικά παλιό (μεταφέρω κείμενο από το περιοδικό Κβαντ τεύχος 11, 2017 σελ. 4-5): Τον Δεκέμβριο του 1966 στην εφημερίδα "Κομσομόλσκαϊα Πράβντα" είχαν δημοσιοποιηθεί προβλήματα μαθηματικών ολυμπιάδων. Εκείνη την εποχή δεν υπήρχε διαδίκτυο και μόνο...

Μια ορθή ακόμη.pngΣτο σκαληνό και οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ , φέραμε τα ύψη $AD , BE , CZ$ . Στην $BC$ θεωρούμε σημείο $S$ , τέτοιο ώστε : $SC=BD$ . Ο κύκλος $(D , S , E)$ τέμνει το $AD$ , στο σημείο $T$ . Δείξτε ότι : $\widehat{TZD}=90^\circ$. Έστω $F$ το δεύτερο σημείο τομής του κύκλου $(D , S , E)$...

Θεωρούμε την εξίσωση $a{x^2} + bx + c = 0,\;a,b,c \in {\Cal R}.$ Δίνεται επιπλέον ότι $ac > 0$ και $4\sqrt {ac} \leqslant 2\left| b \right| < 3\left| a \right| + \left| c \right| - \left| {\left| a \right| - \left| c \right|} \right|.$ Να αποδείξετε ότι εξίσωση αυτή έχει πραγματικές ρίζες με απόλυτ...

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 10 Μαρτίου 2024 $\bullet $ 10η τάξη Πρόβλημα 1. Η Άννα και η Ελένη παίζουν στο διάστημα $[0,1]$, στο οποίο είναι σημειωμένα τα σημεία $0$ και $1$. Οι παίκτριες κινούνται με την σειρά, ξεκινάει η Άννα. Με κάθε κίνηση μια παίκτρια σημειώνει ένα μη ήδη σημειωμένο ση...

Υστερόγραφο: εύκολα βλέπουμε ότι η ανισότητα γενικεύεται για $n$ μεταβλητές στο $[0,1],$ αναγόμενη κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο στην $nt^n-nt^{n-1}+1>0$ για $0\leq t\leq 1:$ με χρήση παραγώγων -- φεύγουμε λίγο εκτός φακέλου εδώ, δεν το προσπάθησα και πολύ αλλιώς* -- λαμβάνουμε ελάχιστη τιμή συνάρτησ...