LII Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα, Μόσχα 14-20 Απριλίου 2026 Θέματα της δεύτερης μέρας για την 11η τάξη. 1. Ο Αλέξανδρος τοποθέτησε ένα πιόνι σε ένα από τα σημεία του καρτεσιανού επιπέδου. Με μια κίνηση επιτρέπεται να μετακινηθεί το πιόνι, που βρίσκεται στο σημείο με συντεταγμένες $(a_{i}, b_{i})$...

Στο σχήμα φαίνεται η κάτοψη του Μουσείου Αταξίας με την περίεργη διαρρύθμιση των δωματίων του. Ένας ανιχνευτής ήχου μπορεί να 'ακούσει' τους ήχους στο δωμάτιο στο οποίο είναι τοποθετημένος ,αλλά και τους ήχους στα διπλανά δωμάτια .Διπλανά είναι τα δωμάτια που μοιράζονται κοινό τοίχο (όχι απλώς μία κ...

Στο σχήμα φαίνεται η κάτοψη ενός μουσείου με πολλά δωμάτια. Ένας ανιχνευτής ήχου μπορεί να 'ακούσει' τους ήχους στο δωμάτιο στο οποίο είναι τοποθετημένος ,αλλά και τους ήχους στα διπλανά δωμάτια .Διπλανά είναι τα δωμάτια που μοιράζονται κοινό τοίχο (όχι απλώς μία κορυφή).Πόσα δωμάτια συνολικά έχει τ...

Έστω ένα τετράγωνο πλευράς $1$ και ένα ισόπλευρο τρίγωνο επίσης πλευράς $1$.Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει μία του πλευρά στην ίδια ευθεία με μία πλευρά του τετραγώνου. Πόσα διαφορετικά επτάγωνα , κυρτά ή μη κυρτά , αλλά απλά (όχι αυτοτεμνόμενα ), μπορούμε να φτιάξουμε με τις $7$ πλευρές των δύο σχημάτων...

Υπάρχει τετράπλευρο που διαιρείται από μία ευθεία σε δύο ίσα τμήματα ,χωρίς όμως να είναι δυνατόν να διαιρεθεί σε ίσα τμήματα ούτε από τις διαγωνίους του ούτε από τις ευθείες που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του;
Περιοδικό QUANTUM Μάιος/Ιούνιος 1998 ΤΟΜΟΣ 5 /ΤΕΥΧΟΣ 3

Καλημέρα σας. Επιτρέψτε μου τη διατύπωση μιας γνώμης: Δεν καταλαβαίνω γιατί έπρεπε να γράψω όλη αυτή τη latex με το πληκτρολόγιο , (όπως έκανα για το παραπάνω κείμενο ) ,ενώ υπάρχει το κατάλληλο εργαλείο. Ένας πτυχιούχος μαθηματικός δεν έχει κανένα λόγο να κάθεται να γράφει πλήρεις λύσεις π.χ. σε ε...

Δίνεται κανονικό επτάγωνο $A1A2...A7$. Έστω $K$, $M$, $N$ τα σημεία τομής των $A1A7$, $A2A4$ και $A3A6$ θεωρουμένων ανά δύο. Να δείξετε πως $KMNA5$ εγγράψιμο. Έστω $\varphi = \frac{180^{\circ}}{7}$ ,$a$ η πλευρά του κανονικού επταγώνου ,$b$ η μικρή διαγώνιος του και $c$ η μεγάλη διαγώνιός του .Οι γ...

Ένα ακόμα τελευταίο(?) ερώτημα : Μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο απλά , κυρτά , τετράπλευρα έτσι ώστε: α)Κάθε τελίτσα να είναι στο εσωτερικό τουλάχιστον ενός από τα δύο . β)Κάθε τελίτσα να είναι απομονωμένη από τις άλλες ,δηλαδή να μην μπορούμε να συνδέσουμε οποιεσδήποτε δύο τελίτσες με μία συνεχόμενη γ...

Αρχικά είχα στο μυαλό μου απλά , μη αυτοτεμνόμενα τετράπλευρα.Μετά έβαλα τη διευκρίνιση εντός παρενθέσεων στο τέλος , και είπα να δούμε και αυτές τις λύσεις , με τα μή απλά τετράπλευρα και να επανέλθω. Το επόμενο ερώτημα λοιπόν είναι : Μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο απλά , (μη αυτοτεμνόμενα), τετράπλευ...

Μπορούμε να σχεδιάσουμε δύο τετράπλευρα έτσι ώστε: α)Κάθε τελίτσα να είναι στο εσωτερικό τουλάχιστον ενός από τα δύο . β)Κάθε τελίτσα να είναι απομονωμένη από τις άλλες ,δηλαδή να μην μπορούμε να συνδέσουμε οποιεσδήποτε δύο τελίτσες με μία συνεχόμενη γραμμή χωρίς αυτή να τέμνει κάποια πλευρά τετραπλ...

Το πρόβλημα δεν αφορούσε βιβλία αλλά μπάλες που εφάπτονταν σε ευθείες ράγες. 3 ή 4.png . Νομίζω ότι η συζήτηση έχει ξεφύγει. Τι βιβλία, τι μπάλες. Η ουσία είναι η ίδια. Και άλλη φορά θεωρείς (από την εικόνα που παραθέτεις) ότι έχουμε μαντέψει το είδος του ραφιού που χρησιμοποιείς και τον ειδικό προ...

... το ενδιαφέρον κομμάτι δεν είναι το πρόβλημα αυτό καθεαυτό... αλλά η λογική ερμηνεία της διατύπωσης. Λάθος οπτική. Οι διατυπώσεις των προβλημάτων πρέπει να είναι απόλυτα σαφείς. Να μην χρειάζεται να μανέψει κανείς τι έχει στον νου του ο θεμάμοθέτης, χωρίς να πρέπει να μυρίσει τα νύχια του. Υπενθ...

Είναι το ίδιο πράγμα με το γνωστο ''Πέφτει ένα βατράχι στον πάτο ενός πηγαδιού 100 μέτρων. Την ημέρα ανεβαίνει 10 μέτρα και το βράδυ κατεβαίνει 9 μέτρα. Πόσες μέρες χρειάζεται για να βγεί από το πηγάδι ;'' . Όχι δεν είναι το ίδιο. Στο βατραχάκι το πρόβλημα λέει ότι ανεβαίνει τόσο τις ημέρες και κατ...

. Παρατηρώ ότι με την νέα διατύπωση του προβλήματος εξαλήφθηκε οποιαδήποτε αναφορά σε βήματα μεγαλύτερα της μονάδος, πράγμα που με μπέρδευε. Και επίσης μπέρδεψε το ΑΙ, παρότι το ίδιο νομίζει ότι ερμήνευσε σωστά την ερώτηση. Αλλά δεν θα μπω στις λεπτομέρειες διότι ως ΑΙ μπορεί να λέει ότι θέλει, χωρ...

. Μάλλον χάνω κάτι. Από την μια η εκφώνηση επιτρέπει βήμα μεγαλύτερο της μονάδας, υπό κάποια συνθήκη: . Πριν διανύσει ευθύγραμμο τμήμα μεγαλύτερο της μονάδας κινείται κατά ... . αλλά στην λύση βλέπουμε . Σε κάθε δύο διαδοχικές κινήσεις, ο κάβουρας κινείται σε δύο κάθετα και ίσα ευθύγραμμα τμήματα μ...

Ο κύριος Ζιγκ Ζαγκ ο κάβουρας κινείται ευθύγραμμα .Πριν διανύσει ευθύγραμμο τμήμα μεγαλύτερο της μονάδας κινείται κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα κάθετα .Αν ξεκίνησε από το σημείο $\left ( 0,0\right)$ μετά από πόσες τουλάχιστον κινήσεις θα φτάσει στο σημείο $\left ( 10,6\right)$ ; Το σημείο $(10,6)$ απέχ...

το "πριν" αυτό έχει δικό του "πριν", προς τα πίσω, επ΄ άπειρον. Σωστά αλλα έτσι δεν επιτυγχάνεται το 'τουλάχιστον' Δεύτερον, υποθέτω ότι αν κάνει ένα βήμα και μετά ίσο τμήμα κάθετα, αρχίζει νέος γύρος. Δηλαδή μετά από ένα βήμα και το ίσο τμήμα κάθετα ΔΕΝ ξανακάνει ίσο τμήμα κάθετα, αλλά αρχίζει νέο...

Άκυρο

Άκυρο

Άκυρο