Η αναζήτηση βρήκε 2725 εγγραφές

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 18, 2020 5:31 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 51
Προβολές: 2705

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Καλημέρα σε όλους, Σε λίγη ώρα διεξάγεται ο Πανελλήνιος Διαγωνισμός στα Μαθηματικά "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ". Ευχόμαστε σε όλους τους μαθητές καλή επιτυχία και σε όλους τους εμπλεκόμενους με αυτόν κάθε καλό!! Σε αυτή τη δημοσίευση θα δοθούν τα θέματα αλλά και οι απαντήσεις του διαγωνισμού αλλά μετά το πέρας το...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 18, 2020 5:17 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 51
Προβολές: 2705

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

πρόβλημα 1 Α-Λυκείου. Αν θέσουμε $t=\dfrac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}$ ευκολα προκύπτει ότι $t=\frac{3}{2},t=\frac{2}{3}$ Χρησιμοποιώντας ότι $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}+b^{2}-ab)=a^{2}+b^{2}-ab$ H $t=\frac{3}{2}$ δίνει $2(a^{2}+b^{2}-ab)=3(a^{2}+b^{2})\Rightarrow x=-2$ Τότε όμως θα είναι $(a+b)^2=0$ κα...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 18, 2020 4:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 51
Προβολές: 2705

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

πρόβλημα 2 Β-Λυκείου. Το πολυώνυμο είναι ομογενές. Είναι θέτοντας $r=\frac{y}{x}$ $P(x,y)=x^{7}(1+r+...+r^{7})=x^{7}\dfrac{r^{8}-1}{r-1}=x^{7}(r^{4}+1)(r^{2}+1)(r+1)$ επειδή $r^{4}+1=(r^{2}+1)^{2}-(\sqrt{2}r)^{2}=(r^{2}+1+\sqrt{2}r)(r^{2}+1-\sqrt{2}r)$ τελικά έχουμε $P(x,y)=(x^{2}+y^{2}+\sqrt{2}xy)(...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 18, 2020 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 51
Προβολές: 2705

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Πρόβλημα 3 Γ-Λυκείου. Το κάνω και για μιγαδικά. Αν θέσω $g(x)=P(x)-1$ τότε $g(x^{2})=(g(x))^{2}$ Αν $g(x)$ σταθερό όλα εύκολα. Αν όχι παρατηρούμε ότι αν $r$ ρίζα του τότε και $r^{2},r^{\frac{1}{2}}$ είναι ρίζες του. Από το τελευταίο συμπεραίνουμε (γιατί ; ) ότι μοναδική του ρίζα είναι το $0$. Αρα $P...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Ιαν 17, 2020 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κατά ζεύγη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 136

Re: Κατά ζεύγη

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 17, 2020 9:35 pm
Βρείτε δύο ζεύγη θετικών ακεραίων (a,b) για τους οποίους

να υπάρχουν πραγματικοί (x,y) , ώστε να ισχύουν :

\left\{\begin{matrix} 
x+y &=a \\  
x^2+y^2 &=b \\  
 x^3+y^3& =a+b 
\end{matrix}\right. . Υπάρχουν άραγε άλλα τέτοια ζεύγη ;
Γιατί οι μιγαδικοί στο πηγάδι κατούρισαν;
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Ιαν 17, 2020 11:34 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κατά ζεύγη
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 136

Re: Κατά ζεύγη

Ίδια με την επόμενη.
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιαν 16, 2020 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 266

Re: Γενικευμένο ολοκλήρωμα 01

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\log(\cos{x})}{\sin{x}}\,{\rm{d}}x\,.$ Μία λύση ως προς τον υπολογισμό. $\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/2} \frac{\ln \cos x}{\sin x} \, \mathrm{d}x &\overset{u=\cos x}{=\! =\! =\! =\!=\!} \int_{0}^{1} \frac{\ln u}{\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-u^2}} \,...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιαν 16, 2020 11:43 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 644

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Έστω $P\left( x \right), Q\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ δύο πολυώνυμα τέτοια, ώστε να ισχύει $P\left( P\left( x \right) \right)=\left( Q\left( x \right) \right) ^2.$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο $R\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ τέτοιο, ώστε $P\left( x \...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιαν 14, 2020 1:54 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 195

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Φυσικά.f(x)=\sin x
με περιόδους τις 18\pi,20\pi
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιαν 13, 2020 8:29 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 644

Re: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Έστω $P(x)=a(x-r_{1})^{k_{1}}(x-r_{2})^{k_{2}}...(x-r_{s})^{k_{s}}$ ,$degP(x)=n$ Τοτε $P(P(x))=a(P(x)-r_{1})^{k_{1}}(P(x)-r_{2})^{k_{2}}...(P(x)-r_{s})^{k_{s}}$ Έστω ακόμη πολυωνυμο $Q$ με $degQ(x)=m$ τέτοιο ώστε: $P(P(x))=(b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+...+b_{1}x+b_{0})^{2}\Rightarrow a_{n}P^{n}(x)+a_...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιαν 13, 2020 8:13 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρές Fourier
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 175

Re: Σειρές Fourier

Καλησπέρα :logo: και καλή χρονιά σε όλους. Διαβάζοντας για το μάθημα "διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους" προέκυψε μια απορία στις σειρές Φουριέ. Επειδή η εξέταση είναι σε 2 μέρες και δεν ξέρω κατά πόσο θα μπορέσω να έρθω σε επαφή με τον καθηγητή μου ως τότε αποφάσισα να απευθυνθώ εδώ. Θα π...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Σάβ Ιαν 11, 2020 9:28 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Εύρεση τύπου
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 245

Re: Εύρεση τύπου

Αν για τη συνάρτηση $\displaystyle f$ ισχύουν $\displaystyle 8f'(x) = f(x)\left( {{f^2}(x) - 4} \right),x \in R$ και $\displaystyle f(0) = \sqrt 2 $ να δείξετε ότι $\displaystyle f(x) = \frac{2}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}$ ...μια απάντηση με ένα επιπλέον δεδομένο...ο δημιουργός έχει το λόγο... Με την πρ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιαν 08, 2020 10:55 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μήκος τοξου
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 375

Re: Μήκος τοξου

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 10:01 pm
Nikos127 έγραψε:
Τετ Ιαν 08, 2020 9:38 pm
Να βρεθεί το μήκος του τόξου της f για x \in (0,1] αν f(x)=xsin(1/x)

Σίγουρα υπολογίζεται το ολοκλήρωμα που προκύπτει στοιχειωδώς ;
Τόλη η ερώτηση είναι λίγο παραπλανητική.
Λέει να βρεθεί.Οχι να υπολογιστεί.
Αρα .......
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιαν 08, 2020 9:08 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Δυνάμεις πίνακα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 149

Re: Δυνάμεις πίνακα

Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα $A$ το οποίο προκύπτει από ανάπτυγμα Laplace και είναι το $ x_A(x)=x-x^3$ Από Θεώρημα C-H $ x_A(A)=0 \Rightarrow A^3=A$ Τώρα κάνοντας διαδοχικές διαιρέσεις με το 3 $A^{593}=A^{197}A^2=A^{65}A^2A^2=A^{21}A^2A^2A^2=A^7A^6=A^{13}=A^12A=A^2A=A^3=A$ $A...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιαν 06, 2020 11:42 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Διπλή ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 153

Re: Διπλή ανισότητα

Να δείξετε ότι $\displaystyle 1 \le \int_0^1 {\sqrt {1 + {x^6}} } \,dx \le \sqrt {\frac{8}{7}} $ Για να δούμε μια προσέγγιση του ολοκληρώματος χωρίς λογισμικό. Οι πράξεις έχουν γίνει με κομπιουτεράκι τεσσάρων πράξεων. Δηλαδή μπορούν να γίνουν και με το χέρι. Από Taylor είναι $\displaystyle (1+t)^{\...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιαν 05, 2020 11:17 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 182
Προβολές: 4610

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 44 Υπολογίστε ( με ακρίβεια χιλιοστού ! ) το : $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{2\sin2x}{3+\cos2x}dx$ Ίδιο, αλλά χωρίς αντικατάσταση. $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2\sin 2x}}{{3 + \cos 2x}}dx = - } \int_0^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{(3 + \cos 2x)'}}{{3 + \cos 2x}}dx...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιαν 05, 2020 10:21 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μέγιστη τιμή ολοκληρώματος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 176

Re: Μέγιστη τιμή ολοκληρώματος

Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης $\displaystyle{ \int _0^1(x-f(x))f(x) \,dx }$ καθώς η $f$ διατρέχει όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f:[0,1] \longrightarrow \mathbb R}$ (H άσκηση είναι απλή - μια δυο γραμμές. Θα την τοποθετούσα στον φάκελο της Γ' Λυκείου για όφελος των μαθητών μας, ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 30, 2019 3:31 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική Λογική & Θεμέλια Μαθηματικών
Θέμα: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 1598

Re: Απόδειξη Αξιώματος Επιλογής

Αξίωμα επιλογής: Έστω δύο σύνολα $A,B$ και $P \subseteq A \times B$. Αν για κάθε $x \in A$ υπάρχει $y \in B$ ώστε $(x,y) \in P$ τότε υπάρχει $f: A \rightarrow B$ ώστε για κάθε $x \in A$ ισχύει $(x,f(x)) \in P$. Πρώτη φορά βλέπω διατύπωση του Αξιώματος επιλογής σε αυτή την μορφή. Μήπως μπορείς να εξ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Δεκ 30, 2019 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Ένα άλυτο πρόβλημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 287

Re: Ένα άλυτο πρόβλημα

Το παράξενο είναι ότι πάμε προσεγγιστικά.
Μπορούμε να βρούμε και ρητό με καλύτερη προσέγγιση.
Στην απάντηση εδώ είναι διασκεδαστικά Μαθηματικά έχω τα εξής.
Αν κάνοντας διασκεδαστικά Μαθηματικά παραποιούμαι τα κανονικά τότε
μάλλον είμαστε σε λάθος δρόμο.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση