Η αναζήτηση βρήκε 1809 εγγραφές

από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιούλ 16, 2018 11:13 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Κριτήριο ομοιότητας
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 166

Re: Κριτήριο ομοιότητας

Κριτήριο ομοιότητας.png Τα τρίγωνα $ABC, A_1B_1C_1$ έχουν διαμέσους $AM, A_1M_1$ αντίστοιχα και $B\widehat AM=B_1\widehat A_1M_1, M\widehat AC=M_1\widehat A_1C_1.$ Είναι τα τρίγωνα αυτά όμοια; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. Μέχρι 18/07/2018 Παίρνω το $ A_1B_1C_1$ και το τοποθετώ πάνω στο $ABC$ Το $...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 12, 2018 10:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 158

Re: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Μπράβο και στους δύο. Στην ουσία είναι ίδια λύση και ίδια με αυτήν που θα γράψω παρακάτω. $\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |=2\sum_{k=1}^{m}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq 2\left |\sum_{k=1}^{m}a_{k} \right |+\left | \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right |\leq 3 max(\left |\sum_{k=1}^{m}a_{k} \right |,\left |...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 331

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Για την απόδειξη δεν χρειάζεται ο Euler - MacLaurin. Μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την κυρτότητα της $\frac{1}{x}$ και κάποιες στοιχειώδεις εκτιμήσεις. Ενδιαφέρον . Σκιαγράφηση της απόδειξης; Το πρόβλημα είναι το σχήμα που δεν μπορώ να κάνω. Θα το περιγράψω. Σχεδιάζουμε την $\dfrac{1}{x},x\geq 1$...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 12, 2018 8:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Προσέγγιση συνεχούς από πολυώνυμα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 104

Προσέγγιση συνεχούς από πολυώνυμα

Είναι γνωστό το εξής: Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής τότε για κάθε $\epsilon > 0$ υπάρχει πολυώνυμο $p(x)$ ώστε Για κάθε $x\in [0,1]$ έχουμε ότι $\left | f(x)-p(x) \right |< \epsilon$. Να αποδειχθούν τα παρακάτω. 1)Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ είναι συνεχής τότε υπάρχει ακολο...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 12, 2018 8:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 158

Φράγμα για άθροισμα απολύτων τιμών

Εστω a_{1},a_{2},....a_{m} μη αρνητικοί πραγματικοί και

a_{m+1},a_{m+2},....a_{n} μη θετικοί πραγματικοί.

οπου m<n θετικοί φυσικοί.

Να δειχθεί ότι υπάρχει

1\leq j\leq n

ώστε

\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left | a_{k} \right |\leq \left | \sum_{k=1}^{j}a_{k} \right |
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 12, 2018 7:57 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο απολύτων τιμών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 204

Re: Μέγιστο απολύτων τιμών

Εστω ότι δεν ισχύει το ζητούμενο. Μπορώ να θέσω $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=1$. Θέτω $K_{1}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}=1, K_{2}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n},...,K_{n}=a_{1}-a_{2}-...-a_{n-1}-a_{n}=1-2a_{n}-2a_{n-1}-...-2a_{2}$. Θα χρησιμοποιήσω τη σχέση $\frac{\left | x-y \right |+\left | x...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 12, 2018 9:26 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο απολύτων τιμών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 204

Μέγιστο απολύτων τιμών

Δίνονται οι πραγματικοί $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ όπου $n\geq 2$ φυσικός. Επίσης είναι $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}> 0$ και $M=max(\left | a_{1} \right |,\left | a_{2} \right |,...\left | a_{n} \right |)$ Να δειχθεί ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $\left | a_{1}+a_{2}+...+a_{k}-(a_{k+1}+..+a_{n}) \ri...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 11, 2018 10:14 pm
Δ. Συζήτηση: Μαθηματική απόδειξη & Λογική
Θέμα: Αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 153

Re: Αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano

Δίνονται τα αξιώματα των φυσικών αριθμών κατά Peano. Να αποδειχθεί ότι 1) $n\geq 0\forall n\in \mathbb{N}$ 2) $\forall n\in \mathbb{N} \nexists p\in \mathbb{N}:n<p<n+1$ 3) $(A\subseteq \mathbb{N} \wedge A\neq \varnothing)\Rightarrow (\exists n_0\in A:n\geq n_0\forall n\in A)$ 4)Αν υπάρχει $T_m\equi...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 11, 2018 4:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ας προσεγγίσουμε το ... τίποτα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 230

Re: Ας προσεγγίσουμε το ... τίποτα

Ορίζουμε $\displaystyle{\widetilde{\mathcal{H}_{n}}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{j-1}}{j}}$. Τι μπορείτε να πείτε για το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n\rightarrow +\infty }n\left [ \widetilde{\mathcal{H}_{n}}-\mathcal{H}_{2n}+\mathcal{H}_n \right ]}$ Το όριο δεν υπάρχει. Αν θέσουμε...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 11, 2018 3:45 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 331

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Σταύρο , γνωστός τύπος είναι . Το βρίσκει κάποιος και στη Wikipedia ... Αν θέλουμε απόδειξη ένας τρόπος ειναι να χρησιμοποιήσουμε το Euler - MacLaurin formula ..!!! Τόλη είναι γνωστός σε εσένα. Αυτό που ξέρει ο περισσότερος κόσμος είναι ότι $H_{n}-\log n-\gamma \rightarrow 0$ Εξάλλου αν θεωρήσουμε ...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 11, 2018 2:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 331

Re: Ας προσεγγίσουμε το ένα ... δεύτερο

Για τον Ν-οστό αρμονικό όρο έχουμε: $\displaystyle H_{n}=log{n}+\gamma+\dfrac {1} {2n}+O(\dfrac {1} {n^2}).$ Οπότε : $\displaystyle \displaystyle \lim_{n\to\infty} n(H_{n}-log{n}-\gamma)=\lim_{n\to\infty} (\dfrac {1} {2}+O(\dfrac 1 n))= \frac 1 2 $ Ωραία αλλά αυτό $\displaystyle H_{n}=log{n}+\gamma...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τετ Ιούλ 11, 2018 2:47 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εάν είναι συμμετρικά, είναι και ορθολογικά.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 232

Re: Εάν είναι συμμετρικά, είναι και ορθολογικά.

Εάν δύο τρίγωνα είναι συμμετρικά μεταξύ τους, ως προς δοσμένη ευθεία, τότε είναι και ορθολογικά. Κώστας Βήττας. ΥΓ. Εάν $\vartriangle ABC,\ \vartriangle A'B'C'$ είναι τα δοσμένα τρίγωνα, συμμετρικά ως προς την ευθεία $(\varepsilon)$ , αρκεί να αποδειχθεί ότι οι δια των σημείων $A',\ B',\ C'$ κάθετε...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δευ Ιούλ 09, 2018 11:39 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 498

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Nα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών $a,b,c,d$ για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της $\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}$ πηγή Aops Η παράσταση είναι ομογενής. Μπορο...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιούλ 08, 2018 7:48 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 498

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Θέτω το ερώτημα: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και αντίστροφα; Δηλαδή αν το γινόμενο θετικών παραγόντων είναι σταθερό, αλλά οι παράγοντες δεν μπορούν να γίνουν ίσοι, τότε μπορεί το άθροισμά τους να έχει ελάχιστο; Δείτε σχετική συζήτηση (για παρόμοια περίπτωση) ΕΔΩ . Γεια σου Γιώργο. Η παραπάνω ανισότη...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Κυρ Ιούλ 08, 2018 12:32 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ελάχιστη τιμή παράστασης
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 498

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Nα βρεθεί η τιμή των θετικών πραγματικών αριθμών $a,b,c,d$ για τους οποίους η παρακάτω παράσταση πέρνει την ελάχιστη τιμή της $\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}+\frac{d+b+c}{a}+\frac{a+c+d}{b}+\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+b+c}{d}$ πηγή Aops Νομίζω ότι είναι απλή. Η απάντηση...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Παρ Ιούλ 06, 2018 6:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά Fourier
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 405

Re: Σειρά Fourier

Αναφέρομαι δε στα ολοκληρώματα της σχέσης (1) του Γρηγόρη. Ποια είναι αυτά ; Είναι γνωστό ότι $\log(\sin{t}) =-\log2-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2nt)}{n}\,,\quad t\in(0,\pi)\,,\quad(1)$ Η απόδειξη της (1) όπως είναι στο γνωστό θέλει δικαιολόγηση.Είναι μια ''τυπική'' α...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 05, 2018 9:57 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά Fourier
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 405

Re: Σειρά Fourier

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πυρήνα του Dirichlet και τον συζυγή του. Δηλαδή $D_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos kx=\dfrac{\sin (n+\frac{1}{2})x}{2 \sin \frac{1}{2}x}$ Βάζοντας όπου $x$ το $2x$ γίνεται $\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos 2kx=\dfrac{\sin (2n+1...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Πέμ Ιούλ 05, 2018 12:05 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σειρά Fourier
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 405

Re: Σειρά Fourier

Το ii είναι άμεσο. Τα μερικά αθροίσματα είναι συνεχείς συναρτήσεις. Αν συγκλίνουν ομοιόμορφα τότε η συνάρτηση που συγκλίνουν πρέπει να είναι συνεχής. Εδώ η συνάρτηση δεν είναι συνεχής. (απειρίζεται στα άκρα) Για το i Πρέπει να πούμε τι ανάπτυξη θέλουμε. Σε ημίτονα ,συνημίτονα ,η και στα δύο. Για τον...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 03, 2018 9:36 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 660

Re: Πεντάγωνο ... σε σύνταξη

Γράφω μια διαφορετική λύση. Αν και είναι καθαρά γεωμετρική θα χρησιμοποιήσω συντεταγμένες για να είναι πιο εύκολο να κατασκευασθεί το σχήμα. Εστω $ABCDE$ το πεντάγωνο με όλες τις γωνίες ορθές και όλες τις πλευρές $1$. Θα καταλήξουμε σε άτοπο. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $A(1,0,0)$ $B(1,1,0) $ $C(0,1,...
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Τρί Ιούλ 03, 2018 6:24 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 763

Re: Π.Μ.Δ.Μ. 1976-77 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΛΑΣΙΚΟ

Θέμα $3$ Για τη συνάρτηση $ f(x)=\kappa\sin (x)+\lambda\cos(x) $ ισχύει ότι : $f(x)\leq\sqrt{\kappa^2+\lambda^2} $ για κάθε $x$ Όμως $\kappa^2+\lambda^2=\sin^2(a)\sin^2(b)+\cos^2(a)\cos^2(b)$ σχέση $(1)$ Ακόμα ισχύει ότι: $\cos^2(a-b)=\cos^2(a)\cos^2(b)+\sin^2(a)\sin^2(b)+2\sin(a)\sin(b)\cos(a)\cos...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση