Για να υπολογισθεί το

Να αποδειχθεί ότι

Σε συνέχεια του θέματος εδώ .... Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma \left ( n + \frac{3}{2} \right )}{(2n+1)(2n+3) (n+1)!} = -\frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} + \sqrt{\pi} }$ $\displaystyle{S=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }{\frac{\Gamma \left( n+\f...

Να δείξετε ότι: $\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n}{n}\left(\zeta(2) - \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2}\right) = \dfrac{7}{4}\zeta(4)}$. $\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{H_{n}}{n}\left( \zeta \left( 2 \right)-\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k^{2}}} \rig...

Ας δηλώσουμε με $\psi^{(1)}$ τη τριγάμμα και με ${\rm Li}_2$ το διλογάριθμο . Αποδείξατε ότι : $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \psi^{(1)} (n) x^n = \frac{x}{6-6x} \left( \pi^2 - 6 {\rm Li}_2(x) \right)}$ $\displaystyle{S=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{x^{n}\psi _{1}\left( n \right)}=-\int\limits_{...

Ας δηλώσουμε με $\psi^{(1)}$ τη τριγάμμα . Υπολογισθήτω η σειρά: $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} (\psi^{(1)}(n))^2}$ $\displaystyle{\psi _{1}\left( z \right)=-\int\limits_{0}^{1}{\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx}}$ $\displaystyle{\left( \psi _{1}\left( z \right) \right)^{2}=\l...

Σε συνέχεια αυτού http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=9&t=59573 να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{\left( {n!} \right)}^2} \cdot {H_n} \cdot {2^n}}}{{\left( {2n} \right)!}}} = \frac{{\pi \left( {2 - \log 2} \right) + 4 \cdot G}}{2}}$, όπου $\displaysty...

Για τα $s \in \mathbb{R}$ για τα οποία το παρακάτω ολοκλήρωμα συγκλίνει, δείξατε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sinh x }-\frac{1}{x}\right)\frac{x}{x^{2}+4\pi^{2}s^{2}} \, {\rm d}x=\frac{1}{2} \left[\psi\left(s+\frac{1}{2} \right)-\psi(s+1)\right]}$ $\displaystyle{\int\limits_{...

Γεια σου pprime, συνέχισε! Έχω πάρει τον ακριβώς ίδιο δρόμο. Τα τελευταία ολοκληρώματα είναι όντως πρόκληση. Μία τριγωνομετρική αντικατάσταση θα βοηθούσε αρκετά για την επίλυση. Το τελικό αποτέλεσμα περιέχει τη τριγάμμα . Πάντως τα χεις και είναι στις δυνατότητες σου. Φιλικά, Very nice bro :mrgreen...

Έστω $\mathcal{H}_n$ ο $n$ -οστός αρμονικός όρος. Υπολογίσατε: $\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n}{\binom{2n}{n}}}$ Θα το αφήσω προηγμένο, πρέπει να υπολογίσω τα δύο τελευταία ολοκληρώματα $\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{H_{n}}{\left( \begin{matri...

Δείξτε ότι: $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{\left [ x^4+\left ( 1+\sqrt{2} \right )x^2+1\right ]\left ( x^{100}-x^{99}+\cdots+1 \right )}=\frac{\pi}{2\left ( 1+\sqrt{2} \right )}}$. :no: :no: :no: :no: :no: $\displaystyle{\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{dx}{\left( x^{4}+\left( 1+2\sqrt{2...

Ζητείται στοιχειώδη απόδειξη του παρακάτω ολοκληρώματος: $\displaystyle{\int_0^1 \frac{\ln u}{\sqrt{u^2+4}}\, {\rm d}u}$ έτσι ώστε να αποφευχθούν οι πολυλογάριθμοι κατά τη διάρκεια των υπολογισμών. $\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln x}{\sqrt{x^{2}+4}}dx}\underbrace{=}_{x=\frac{2}{t}-\frac...

Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\prod_{m=1}^{\infty} \left ( 1-\frac{1}{\left ( 2m+1 \right )^{2}} \right ) = \frac{\pi}{4}}$ $\displaystyle{\prod\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( 1-\frac{1}{\left( 2n+1 \right)^{2}} \right)}=\prod\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{\left( 2n+1 \right)^{2}-1}{\left( 2n+1 \r...

Έστω $\mathbb{N} \ni s \geq 2$ και έστω $s$ άρτιος. και ας δηλώσουμε τον διλογάριθμο με ${\rm Li}_2$ και το τριλογάριθμο με ${\rm Li}_3$. Τότε δείξατε ότι $\displaystyle{\int_0^{\infty} \frac{x^{s/2-1}{\rm Li}_2(-x)}{1+x^s}\, {\rm d}x}=- \frac{\pi^3}{4} \left( \frac1{3 s}+ \frac1{ s^3}\right)$ $\di...

Δείξτε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1}\frac{(\sin^{-1}(x^{2}))^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\frac{\pi^{3}}{4}-\frac{3\pi}{4}\log^{2}(2)-2\pi Li_{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$ $\displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( \arcsin x^{2} \right)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}...

$\displaystyle{\frac{\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\cos \left( n\pi x \right)\sin \left( \pi x^{2} \right)}{\cosh \left( n\pi x \right)}dx}}{\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\cos \left( n\pi x \right)\cos \left( \pi x^{2} \right)}{\cosh \left( n\pi x \right)}dx}}=\tan \left( \frac{\pi \left( 1-n^...