Άσκηση 60
'Εστω $a$ μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. Θεωρούμε για κάθε φυσικό αριθμό $n\ge 2$ το πολυώνυμο

$P_n(x)= x^n +ax^{n-1}+ ax^{n-2}+...+ ax+a$

Δείξτε ότι για όλα αυτά να $n$ ισχύει $P_n(1-a)=1$.



Είναι $P_n(x)= x^n +ax^{n-1}+ ax^{n-2}+...+ ax+a= x^n + a(x^{n-1}+ x^{n-2}+...+ x+1 ...

Καλημέρα,

Να σας ρωτήσω πως βρέθηκε το σημείο καθώς δε μου είναι προφανές με τα στοιχεία που δίνονται;

Σας ευχαριστώ

Αφού $f' $ γνησίως φθίνουσα είναι $f'(x) \geq f' (1)>0 $ $(1)$.
Άρα η $f$ γνησίως αύξουσα με $f(x)>0$.

Άρα ${\int_{0}^{1} \frac{f'(1)\mathrm{d}x}{1+f^2(x)} \leq {\int_{0}^{1} \frac{f'(x)\mathrm{d}x}{1+f^2(x)}}}=[arctan(f(x))]^{1} _{0}=arctan(f(1)) \leq f(1)$,

καθώς $arctan(x) \leq x$ για θετικά ...

Ας πούμε $a_{n}$ τον όγκο του Α μετά από $n$ βήματα της διαδικασίας και $b_{n}$ για το B.
Τότε θα είναι:
$ a_{2k} =0,9a_{2k-1} $
$ b_{2k} =b_{2k-1} +0,1a_{2k-1} $ όταν παίρνουμε από το Α και μεταφέρουμε στο Β και,
$ a_{2k+1} =a_{2k} +0,1b_{2k} $
$ b_{2k+1} =0,9b_{2k} $ όταν παίρνουμε από το Β και ...

Για το Γ4 του παλαιού, μια εύκολη λύση ειναι

Άσκηση 46

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

$\displaystyle{ \displaystyle\int \frac{\cos ( 2018 x)}{\sin ^{2020}x }dx }$

(Πρέπει να φρεσκάρετε τους τύπους ημιτόνου/συνημιτόνου αθροίσματος γωνιών).
(H Άσκηση $40$ μένει αναπάντητη).

Edit: Διόρθωσα το $2018$ από $2019$ που είχα γράψει. Συγνώμη αν ...

Η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right]}$ ενώ στα διαστήματα αυτά το σύνολο τιμών είναι $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)}$ και $\displaystyle{\left[ {0,1} \right ...

Ίσως σε βοηθήσει το γεγονός ότι οι παράλληλες εφαπτόμενες ,

άγονται σε αντιδιαμετρικά σημεία της έλλειψης ...

Νομίζω αυτό βοήθησε πολύ!

Αν δεν έχω κάνει λάθος το ζητούμενο είναι $\displaystyle{distance = {{ab} \over {\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta + {b^2}{{\sin }^2}\theta } }}}$ με ...

Καλησπέρα σε όλους,

Θα ήθελα τη βοήθεια σας σε μια άσκηση γεωμετρίας που προέκυψε από ένα μάθημα σχετικά με radar στη σχολή μου, και δυστυχώς δεν έχω βγάλει άκρη.

Θεωρούμε στο $\displaystyle{xy}$ επίπεδο ευθεία που σχηματίζει γωνία $\displaystyle{\gamma }$ με τον άξονα $\displaystyle{x'x}$. Επί ...

Έστω συνάρτηση $f$ μονότονη και θετική στο $[a,b]$ με $\displaystyle \int_a^b f(x) dx = \frac{b-a}{2} \left( f(b) + f(a) \right)$.

Τότε $\displaystyle \int_a^b \frac{1}{f(x)} dx \leqslant \frac{b-a}{2} \left( \frac{1}{f(a)} + \frac{1}{f(b)} \right)$

Δημήτρη,

αυτή η πρόταση είναι τόσο γνωστή ...

Αν γίνεται να δούμε μια λύση γι αυτή γιατί με έχει παιδέψει αρκετά και δε βλέπω κάποιο δρόμο

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{H}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Delta {\rm Z}}$.
Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm Z}}$ είναι $\displaystyle{{\rm B}{\rm H} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2}}$.
Επίσης $\displaystyle{{\rm B}{\rm M} = {\rm M}{\rm Z} - {\rm B}{\rm Z ...

Πρόβλημα 2

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δοσμένες έχουμε $\displaystyle{{x^2} - {z^2} + y\left( {x - z} \right) = 0 \Rightarrow x + y + z = 0}$ αφού $\displaystyle{x \ne z}$.
Άρα $\displaystyle{A = \frac{{{{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)}^3}}}{{{{\left( {xyz} \right)}^3}}} = {\left( {\frac ...

Θα κάνω μια προσπάθεια, ελπίζω να μην είμαι λάθος.
Έστω $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} + f'\left( x \right)}$ με $\displaystyle{g\left( 0 \right) = 0}$.
Αν υπάρχει άλλη μια ρίζα της $\displaystyle{g}$ στο εν λόγω διάστημα τελειώσαμε.

Ας υποθέσουμε ότι ...

Σας ευχαριστώ πολύ!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Σωστή είναι .΄
Αλλά είναι τετριμμένη όπως έχει γραφεί.

Ναι τη διόρθωσα ! Ευχαριστώ

Για τα τρια διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c }$ δείξτε ότι:
$\displaystyle{\left| {\vec c} \right|\left| {\vec a - \vec b} \right| \le \left| {\vec a} \right|\left| {\vec b - \vec c} \right| + \left| {\vec b} \right|\left| {\vec c - \vec a} \right ...

Να λυθεί το παρακάτω σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}
xy + yz + zx = 11\\
xy\left( {x + y} \right) + yz\left( {y + z} \right) + zx\left( {z + x} \right) = 18\\
xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + yz\left( {{y^2} + {z^2}} \right) + zx\left( {{z^2} + {x^2}} \right) = 118
\end{array ...

Ευχαριστώ πολύ. Κάποια κατευθυντήρια γραμμή έψαχνα.

Επαναφορά!