Η αναζήτηση βρήκε 1362 εγγραφές

από emouroukos
Πέμ Μαρ 26, 2020 1:43 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Μέγιστο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 117

Re: Μέγιστο

Θέτουμε $x_2-x_1 = a$, $x_3-x_2 = b$, $x_4-x_3 = c$, $x_5-x_4 = d$ και $x_6-x_5 = e$, οπότε ισχύει $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1$ και αναζητούμε τη μέγιστη τιμή της παράστασης $A=\left( x_4+x_5+x_6 \right) -\left( x_1+x_2+x_3 \right) =$ $=\left( x_4-x_3 \right) +\left( x_5-x_1 \right) +\left( x_6-x_2 \righ...
από emouroukos
Πέμ Φεβ 20, 2020 9:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εύκαμπτοι αριθμοί
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 176

Εύκαμπτοι αριθμοί

Στο επίπεδο σχεδιάζουμε άπειρες παράλληλες ευθείες, σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Ένας φυσικός αριθμός $n \geqslant 3$ θα λέγεται εύκαμπτος αν υπάρχει κανονικό $n$-γωνο τέτοιο, ώστε όλες οι κορυφές του να ανήκουν στις δοσμένες ευθείες και κάθε δοσμένη ευθεία να περιέχει το πολύ μια κορυφή του $n$-...
από emouroukos
Τρί Φεβ 18, 2020 12:05 am
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 378

Μέγιστος πρώτος αριθμός συγκεκριμένης μορφής

Να βρείτε τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό p, για τον οποίο υπάρχουν θετικοί ακέραιοι a, b τέτοιοι, ώστε p=\dfrac{b}{2}\sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}.
από emouroukos
Κυρ Φεβ 16, 2020 11:23 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεσοκάθετος για Αρχιμήδη!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 262

Μεσοκάθετος για Αρχιμήδη!

Έστω $\gamma_1$ και $\gamma_2$ δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα $O_1$ και $O_2$ αντίστοιχα, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία $A$ και $B$. Υποθέτουμε ότι το κέντρο καθενός από τους κύκλους $\gamma_1$ και $\gamma_2$ είναι εξωτερικό σημείο του άλλου κύκλου. Η εφαπτομένη του κύκλου $\gamma_1$ στο σημείο $B$ τέ...
από emouroukos
Παρ Φεβ 14, 2020 12:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 1327

Κυκλοφορία Βιβλίου Διαγωνισμών

Καλημέρα σε όλους! Με μεγάλη μας χαρά σας ανακοινώνουμε την κυκλοφορία του δίτομου βιβλίου μας «Διαγωνισμοί στα Μαθηματικά» (Εκδόσεις Σαββάλας). Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές Λυκείων της Ελλάδας και της Κύπρου που συμμετέχουν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, αλλά και σε συναδέλφους, οι οποίοι προετ...
από emouroukos
Πέμ Φεβ 13, 2020 11:09 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με n μεταβλητές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 289

Re: Ανισότητα με n μεταβλητές

Ευχαριστώ για τη λύση Γιώργο (δεν πρόσεξα ότι η ανισότητα ισχύει και για $n=2$ ...). Μια άλλη λύση είναι η ακόλουθη: Για $i \in \{1, 2, \ldots , n\}$ θέτουμε $x_i = a_1a_2 \cdots a_i$. Με εφαρμογή της ανισότητας Chebyshev για τις όμοια διατεταγμένες $n$-άδες $\displaystyle{1 < x_1 < x_2 < \cdots <x_...
από emouroukos
Τετ Φεβ 12, 2020 12:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη Παραλληλίας
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 175

Re: Συνθήκη Παραλληλίας

Είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R},}$ όπου $r$ και $R$ οι ακτίνες του εγγεγραμμένου και του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. Άρα, ισχύει: $\displaystyle{\cos B+\cos C=1\Longleftrightarrow \cos A=\frac{r}{R}\Longleftrightarrow R\cos A=r.}$ Έστω $M$ το μέσο τη...
από emouroukos
Τρί Φεβ 11, 2020 8:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα με n μεταβλητές
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 289

Ανισότητα με n μεταβλητές

Έστω $n \in \mathbb{N}$ με $n \geqslant 3$ και $1<a_1 \leqslant a_2 \leqslant a_3 \leqslant \cdots \leqslant a_n$ πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι, ώστε $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 2n$. Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle a_1a_2 \cdots a_{n-1} +a_1a_2 \cdots a_{n-2} + \cdots + a_1a_2 +a_1 + 2 \leqsla...
από emouroukos
Κυρ Ιαν 19, 2020 3:14 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 256

Re: Ανισότητα!

Γεια σου Θάνο και χρόνια σου πολλά! Είναι: $\displaystyle \left( {{a^2} + 2} \right)\left( {{b^2} + 2} \right) = \left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) + {a^2} + {b^2} + 3$ Χρησιμοποιώντας τις ανισότητες $\displaystyle {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}$ και (από τ...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 18, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 7474

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Η προσθήκη των εκφωνήσεων στην αρχική ανάρτηση του Αλέξανδρου έγινε από εμένα, ύστερα από σχετική παράκληση συναδέλφου, στις 1:15 μ.μ. (άρα προφανώς μετά τη λήξη του διαγωνισμού). Το επισήμανα με την ανάρτησή μου #11 παραπάνω, που "ανέβηκε" στις 1:18 μ.μ. Έκρινα ότι τα θέματα πρέπει να βρίσκονται στ...
από emouroukos
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 7474

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Οι ενδεικτικές λύσεις των σημερινών θεμάτων από την Ε.Μ.Ε.
από emouroukos
Σάβ Ιαν 18, 2020 1:18 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 76
Προβολές: 7474

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2019-2020

Στην αρχική δημοσίευση του Αλέξανδρου προστέθηκαν οι εκφωνήσεις των σημερινών θεμάτων του Ευκλείδη.
από emouroukos
Σάβ Νοέμ 23, 2019 7:41 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Σταθερό σημείο αύξουσας
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 176

Re: Σταθερό σημείο αύξουσας

Ναι, υπάρχει. Θα χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο. Έστω $f:\left[ 0,1 \right] \rightarrow \left[ 0,1 \right] $ μια αύξουσα συνάρτηση τέτοια, ώστε $f\left( x \right) \ne x$ για κάθε $x \in \left[ 0,1 \right]$. Θεωρούμε το σύνολο $A=\left\{ x\,\,\in \left[ 0,1 \right] \,\,: f\left( x \right) >x \righ...
από emouroukos
Τρί Νοέμ 19, 2019 6:35 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 183

Re: Ανισότητα

Λίγο διαφορετικά από τον Αλέξανδρο, αλλά με την ίδια ιδέα: Με εφαρμογή της βασικής ανισότητας $\displaystyle {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx$ για $\displaystyle x = ab,$ $\displaystyle y = bc$ και $\displaystyle z = ca,$ προκύπτει ότι $\displaystyle {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge ab...
από emouroukos
Τρί Νοέμ 12, 2019 3:13 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Σειρά με 1-1 συνάρτηση
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 439

Re: Σειρά με 1-1 συνάρτηση

Θα αποδείξουμε ότι για κάθε $n \in \mathbb{N}$ ισχύει η ανισότητα $\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{f\left( k \right)}}{{{k^2}}}} \ge \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} ,$ οπότε το συμπέρασμα έπεται άμεσα, αφού η αρμονική σειρά αποκλίνει. Έστω $n \in \mathbb{N}$ και $\displaystyle {A_n} ...
από emouroukos
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Μία με συνεχείς που αντιμετατίθεναι.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 298

Re: Μία με συνεχείς που αντιμετατίθεναι.

Επειδή $f\left( x \right) \ne g\left( x \right) $ για κάθε $x\in \mathbb{R},$ η συνεχής συνάρτηση $f - g$ διατηρεί πρόσημο στο $\mathbb{R}$. Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $f\left( x \right) > g\left( x \right) $ για κάθε $x\in \mathbb{R}.$ Τότε, είναι: $f\left( f\left( x \right) \right...
από emouroukos
Κυρ Οκτ 06, 2019 5:09 pm
Δ. Συζήτηση: Διδακτική των Μαθηματικών
Θέμα: Πόσο φανερό ;
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 574

Re: Πόσο φανερό ;

Εννοείται πως ο Γιώργης έχει δίκιο. Στην παρακάτω εικόνα βλέπουμε μια απόδειξη του "φανερού" ισχυρισμού από το βιβλίο του Γιώργου Τσίντσιφα "Επιπεδομετρία" (σελ. 398) - ένα πραγματικό κόσμημα της ελληνικής μαθηματικής βιβλιογραφίας. Χρησιμοποιείται το (διόλου φανερό) Αξίωμα της Συνέχειας...
από emouroukos
Σάβ Οκτ 05, 2019 12:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Πολυώνυμα - Τετράγωνα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 728

Πολυώνυμα - Τετράγωνα!

Έστω $P\left( x \right), Q\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ δύο πολυώνυμα τέτοια, ώστε να ισχύει $P\left( P\left( x \right) \right)=\left( Q\left( x \right) \right) ^2.$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο $R\left( x \right) \in \mathbb{R}\left[ x \right] $ τέτοιο, ώστε $P\left( x \r...
από emouroukos
Σάβ Αύγ 24, 2019 12:30 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 383

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 127

Γεια σου Τηλέμαχε! Έστω $\displaystyle x$ μια πραγματική ρίζα της δοσμένης εξίσωσης (προφανώς, $\displaystyle x \ne 0$). Διαιρώντας με $\displaystyle {x^2}$ και συμπληρώνοντας τα τετράγωνα, βρίσκουμε ότι $\displaystyle {x^2} + ax + 2 + \frac{b}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Rightarrow $ $\displaystyle...
από emouroukos
Πέμ Μάιος 02, 2019 4:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 4199

Re: BMO 2019

Πρόβλημα 1: Έστω $\mathbb{P}$ το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών. Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{P} \to \mathbb{P}$, για τις οποίες ισχύει $\displaystyle f(p)^{f(q)} +q^p = f(q)^{f(p)} +p^q$ για κάθε $p,q \in \mathbb{P}$. Έστω $\displaystyle p,q \in \mathbb{P},$ με $\displaystyle p > q >...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση