Πρόβλημα 1. Δίνεται μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, η οποία ικανοποιεί την σχέση $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ για οποιαδήποτε $m,n \in \mathbb{N}$. Να βρείτε όλες τις τιμές, που μπορεί να πάρει η $f(2023)$. Έστω ότι $f(0) = c \in \mathbb{N}$. Θέτοντας $m=n=0$ στη δοσμένη σχέση...

4. Δίνονται τρεις φυσικοί αριθμοί $a,b,c$ τέτοιοι, ώστε $a>1, b>1, c>1$ και ο αριθμός $abc+1$ διαιρείτε με τον αριθμό $ab-b+1$. Να αποδείξετε, ότι ο $b$ διαιρείται με τον $a$. (Μ. Αντίποβ) Αν $a=4, b=2, c=6$, τότε ο $abc+1= 49$ διαιρείται με τον $ab-b+1=7,$ άρα το ζητούμενο δεν ισχύει... Μάλλον χρε...

2. Ο Πέτρος πήρε μερικούς τριψήφιους φυσικούς αριθμούς $a_{0}, a_{1}, \dots , a_{9}$ και έγραψε στον πίνακα την εξίσωση $ a_{9}x^9+a_{8}x^8+ \ldots + a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=\star$. Να αποδείξετε, ότι ο Βασίλης μπορεί στη θέση του αστερίσκου να γράψει έναν τριακονταψήφιο φυσικό αριθμό έτσι, ώστε η εξ...

5. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ ικανοποιείται η ανισότητα $\left(x-y \right) \sqrt{3x^2+y^2} +\left(y-z \right) \sqrt{3y^2+z^2}+\left(z-x \right) \sqrt{3z^2+x^2} \geq 0$. (Π. Μπίμπικοβ) Ισχυρισμός : Για κάθε $x,y >0$ ισχύει $\displaystyle{ \left(x...

Έστω $AD = n_a$, $BE = m_b$ , $CF=g_c$ και $s=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{49}{8}$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου $ABC$. Είναι γνωστό ότι $DB=s-c=\dfrac{25}{8},$ $FA=s-a=\dfrac{9}{8}$ και $DC=FB=s-b=\dfrac{15}{8}$. Επειδή $\displaystyle{ \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=\frac{\frac{25}{8...

Μια λύση για το 3ο Θέμα των μικρών: Έστω $m$ το μήκος και $n$ το πλάτος ενός παραλληλογράμμου με τις δοσμένες ιδιότητες. Τότε $\displaystyle{ \left( m,n \right) \in \left\{ \left( 4,8 \right) ,\left( 8,4 \right) ,\left( 5,7 \right) ,\left( 7,5 \right) ,\left( 5,8 \right) ,\left( 8,5 \right) ,\left( ...

Μια λύση για το τέταρτο θέμα των μικρών: Υπάρχει θετικός ακέραιος $k$ τέτοιος, ώστε $a-1 = kb$, δηλαδή $a = kb+1$. Επειδή ο ακέραιος $2a+1 = 2(kb+1)+1 = 2kb+3$ διαιρεί τον $5b-3>0$, θα είναι $2kb+3\leqslant 5b-3\Rightarrow b\left( 5-2k \right) \geqslant 6\Rightarrow 5-2k>0\Rightarrow k\in \left\{ 1,...

Μια άλλη λύση για το πρώτο θέμα των μικρών: Είναι $c=-a-b$, οπότε $\displaystyle{ 0=ab^3+bc^3+ca^3=ab^3-b\left( a+b \right) ^3-\left( a+b \right) a^3=}$ $\displaystyle{=ab^3-b\left( a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \right) -a^4-a^3b=}$ $\displaystyle{=-\left( a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3 \right) =}$ $\displaystyl...

Όχι, δεν ισχύει. Ένα παράδειγμα είναι το εξής: Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{\left\| \cdot \right\| :\mathbb{R} ^2\longrightarrow \mathbb{R} \,\,: \boldsymbol{a}=\left( a_1,a_2 \right) \longmapsto \left\| \boldsymbol{a} \right\| :=\left| a_1 \right|+\left| a_1-a_2 \right|.}$ Εύκολα δείχνουμε ...

$\displaystyle{\color{red} \bf 1}$. Ας είναι οι $\displaystyle{a,b,c}$ θετικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\notin \mathbb{Z} \implies \frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{3}}{b\sqrt{2}+c\sqrt{3}}\notin \mathbb{Q}.}$ Καλημέρα! Έστω ότι $\displaystyle{\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{...

Μια άλλη προσέγγιση για το Δ4, χωρίς κυρτότητα ή ΘΜΤ, αλλά με (κάποιες) πράξεις: Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) =2f\left( x \right) +\ln 3-1-f'\left( x_2 \right) \left( x-x_2 \right) ,}$ με $x>0$. Η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$, με $\displaystyle{g'\left( x \righ...

Αναρτήθηκαν στην ιστοσελίδα της Ε.Μ.Ε. τα αποτελέσματα του Θαλή.

Συγχαρητήρια σε όλους τους επιτυχόντες και καλή συνέχεια!

Πρόβλημα 2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο, το άθροισμα των μη παράλληλων πλευρών του οποίου ισούται με την μεγάλη βάση του. Να αποδείξετε ότι η οξεία γωνία μεταξύ των διαγώνιών του δεν υπερβαίνει τις $60^0.$ (Α.Ντ. Μπλίνκοβ) Έστω $\left( O,R \right)$ ο περιγεγραμμένος κύκλος του ισοσκελούς τραπεζίου $...

Για κάθε θετικό ακέραιο $n$ ισχύει: $\displaystyle{ F_n=\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{r=0}^{\left[ \frac{n-1}{2} \right]}{\binom{n}{2r+1}5^r}. }$ Επειδή $\displaystyle{\binom{p}{r}\equiv 0\left( \mathrm{mod} p \right) }$ για $ 0<r<p$ και $2^{p-1}\equiv 1\left( \mathrm{mod} p \right) $ (από το Μικρό Θεώρημα...

Καλό μήνα! Έστω ότι $\displaystyle n = 2k,$ όπου $k \in \mathbb{N}$ με $k \geqslant 1$. Δίχως βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι $\displaystyle \min \left( {{a_0},{a_{2k}}} \right) = {a_0},$ οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα: $\displaystyle \sum\limits_{j = 1}^{2k - 1} {a_j^2} \leqslant \f...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση
Μουρούκος Ευάγγελος
Μαθηματικός

Θέτουμε $x_2-x_1 = a$, $x_3-x_2 = b$, $x_4-x_3 = c$, $x_5-x_4 = d$ και $x_6-x_5 = e$, οπότε ισχύει $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=1$ και αναζητούμε τη μέγιστη τιμή της παράστασης $A=\left( x_4+x_5+x_6 \right) -\left( x_1+x_2+x_3 \right) =$ $=\left( x_4-x_3 \right) +\left( x_5-x_1 \right) +\left( x_6-x_2 \righ...

Στο επίπεδο σχεδιάζουμε άπειρες παράλληλες ευθείες, σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Ένας φυσικός αριθμός $n \geqslant 3$ θα λέγεται εύκαμπτος αν υπάρχει κανονικό $n$-γωνο τέτοιο, ώστε όλες οι κορυφές του να ανήκουν στις δοσμένες ευθείες και κάθε δοσμένη ευθεία να περιέχει το πολύ μια κορυφή του $n$-...

Να βρείτε τον μεγαλύτερο πρώτο αριθμό , για τον οποίο υπάρχουν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι, ώστε

Έστω $\gamma_1$ και $\gamma_2$ δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα $O_1$ και $O_2$ αντίστοιχα, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία $A$ και $B$. Υποθέτουμε ότι το κέντρο καθενός από τους κύκλους $\gamma_1$ και $\gamma_2$ είναι εξωτερικό σημείο του άλλου κύκλου. Η εφαπτομένη του κύκλου $\gamma_1$ στο σημείο $B$ τέ...