$\displaystyle{\frac{100n}{n+m}}$ α)Iσοδύναμα $\displaystyle{\frac{n+1}{n+m+1}-\frac{n}{n+m}<\frac{n}{n+m}-\frac{n}{n+m+1}\Leftrightarrow \frac{2n+1}{n+m+1}<\frac{2n}{n+m}\Leftrightarrow m<n}$ που ισχύει. β)$\displaystyle{3\left ( \frac{n+1}{n+m+1} -\frac{n}{n+m}\right )=\frac{n}{n+m}-\frac{n}{n+m+1...

Ναι, γιατί και .

1.Eίναι $\displaystyle{\overrightarrow{KB}=\left ( 4,2 \right ),C\left ( c \right,4 ),KB^{2}=OC^{2}\Rightarrow c=2}$.Επίσης $\displaystyle{A\left ( \alpha ,0 \right ),OA=BC=6\Rightarrow \alpha =6}$.Τότε $\displaystyle{cos\omega =\frac{8-4}{\sqrt{160}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow tan^{2}\omega =\f...

Στο θέμα 4 της Α΄ Λυκείου όταν φθάσω στη μορφή μπορώ να θέσω και να μετασχηματιστεί στην πιο εύκολη για σπάσιμο μορφή .

Μπορείς να δείξεις ότι ο λόγος μεταβολής $\displaystyle{\lambda =\frac{f\left ( x_{1} \right )-f\left ( x_{2} \right )}{x_{1}-x_{2}}}$ είναι θετικός. Μετά από πράξεις και συζυγή φθάνουμε στο $\displaystyle{\lambda =1-\frac{x_{1}+x_{2}}\sqrt{x_{1}^{2}+1}+\sqrt{x_{2}^{2}+1}}$ το οποίο είναι θετικό, επ...

Ο 2ος προσθετέος ισούται με: . Αν προστεθεί στον 1ο θα διαγραφούν οι αντίθετοι όροι και θα μείνει πολλ.29.

1.$\displaystyle{n^{3}+5n=n^{3}+6n-n=\pi o\lambda .6+n\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )=\pi o\lambda .6}$ ως γινόμενο 3 διαδοχικών φυσικών. 2.Αρκεί ο αριθμός να είναι άρτιος και πολλ. του 3. Αν $\displaystyle{n}$ άρτιος ή περιττός θα είναι $\displaystyle{n^{3}+5n}$ άρτιος και αν $\displaystyl...

Ολοκληρώνοντας την ανισότητα $\displaystyle{e^{-x^{2}}\geq -x^{2}+1,x\epsilon \left [ 0 ,1]}$ έχουμε ότι $\displaystyle{\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}>\frac{2}{3}}$, οπότε αρκεί το ολοκλήρωμα να είναι μικρότερο του $\displaystyle{\frac{4}{5}}$. Ισχύει $\displaystyle{e^{-x^{2}}\leq \frac{1}{x^{2}+1},x=tanu,x...

Αρκεί $\displaystyle{\frac{2}{\pi }+\frac{1}{e}>1}$.Ισχύουν:$\displaystyle{\pi <3,15\Rightarrow \frac{2}{\pi }>\frac{2}{3,15}}$ και $\displaystyle{e<2,72\Rightarrow \frac{1}{e}>\frac{1}{2,72}}$.Ισχύουν $\displaystyle{\frac{2}{3,15}=0,\overline{634920}}$ και $\displaystyle{\frac{1}{2,72}=0,36\overlin...

Από τα όμοια $\displaystyle{TSA,SBC}$ έχουμε:$\displaystyle{\frac{AS}{SC}=\frac{TA}{AD}=k\Leftrightarrow \frac{SC}{AS}=\frac{1}{k}\Leftrightarrow \frac{AC-AS}{AS}=\frac{1}{k}\Leftrightarrow \frac{AC}{AS}-1=\frac{1}{k}\Leftrightarrow k=\frac{\lambda }{1-\lambda }}$ Για $\displaystyle{\lambda =\frac{1...

39...9

Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι:. Από ΠΘ στο το μέσο της έχω: με αποδεκτή ρίζα την Το εμβαδόν του
είναι και η περίμετρός του .

Με το τριώνυμο έχει min στο το Δηλαδή η f έχει min στα το

Το ελάχιστο στο α΄ερώτημα δεν είναι το

Μια μικρή διόρθωση, αν επιτρέπεται, στη λύση του κ. Παπαδόπουλου:Στη σχέση (1) να μπει ΜΝ αντί ΝS.Ευχαριστώ.

$4\left ( 1000a+100b+10c+d \right )=1000d+100c+10b+a\Leftrightarrow 10\left ( 13b-2c \right )=332d-1333a\Rightarrow 2d-3a$ πολλ.10. $1\leqslant a\leqslant 2, 2\leqslant 2d\leqslant 18\Rightarrow -4\leqslant 2d-3a\leqslant 15\Rightarrow 2d-3a=0\vee 10$.Aν ισχύει το 1ο $a=2,d=3$ που καταλήγει στην αδύ...

Σε 400 λεπτά από 12 η ώρα 6.40. Ο λεπτοδείκτης 2400 μοίρες και ο ωροδείκτης 200 μοίρες. Είναι 2400=6*360+240 αλλά μένουν οι 240 μοίρες μείον τις 200 μοίρες ίσον 40.

Φέρω τη διχοτόμο ΒS της Β και τη μεσοκάθετή της που τέμνει τις ΑΒ,ΒC στα Τ,Ρ αντίστοιχα. Ο λόγος που δίνεται είναι το συν2ω και από τον τύπο του διπλασίου τόξου βρίσκουμε $cos\omega =\sqrt{\frac{2}{3}}$. Άρα $sin^{2}\omega =\frac{1}{3}$ και $1+cot^{2}\omega =3\Rightarrow cot\omega =\sqrt{2}$ που είν...