Μία μετρική λύση για το 4 (Γεωμετρία) των μικρών.

Αρκεί να αποδείξουμε ότι $NM^2+NB^2=BM^2$. Επειδή όμως το τρίγωνο $BM\Gamma$ είναι ορθογώνιο, από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε ότι $BM^2=B\Gamma^2+M\Gamma^2$, κι άρα αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle{NM^2+NB^2=B\Gamma^2+M\Gamma^2\quad (1)}$

Από ...

Μία λύση για το 3 των μικρών.

Ας υποθέσουμε δίχως βλάβη της γενικότητας ότι $a\geqslant b$. Προφανώς, έχουμε τις crude ανισότητες

$\displaystyle{ab<2ab<a^2+b^2+2ab=(a+b)^2=1<2(a+b).}$

Aφού, λοιπόν, $a\geqslant b$, έχουμε ότι

$\displaystyle{(a-b)(2a+2b-ab)\geqslant 0.\quad (1)}$

Κατά συνέπεια ...

Πρόβλημα 3 Μεγάλων:
Για χ=y=0 : $f(0)+f(0)=10f(0) \Rightarrow f(0)=0$
Για y=0 : $f(x)+f(2x)=5f(x) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{4}f(2x)$
Για χ=0 : $f(2y)+f(-y)=5f(y)\Rightarrow f(-y)=f(y)$
Με ισχυρή επαγωγή αποδεικνύω ότι : $f(x)=\frac{1}{n^{2}}f(nx)$ για κάθε φυσικό αριθμό.
Base case: Για n=1 ...

Εντέλει το 4 των μικρών πως λύνεται;


Ανέβασα μία λύση εδώ (προς την αρχή) κι απ' ό,τι είδα υπάρχει κι άλλη μία, αλλά για να μη γελιόμαστε, πιστεύω ότι η λύση μου είναι δύσκολο να αναπαραχθεί από μαθητή Γυμνασίου, πόσο μάλλον με χρονικό όριο σε συνθήκες διαγωνισμού. Την ανέβασα για αυτούς ...

Εντέλει το 4 των μικρών πως λύνεται;


Ανέβασα μία λύση εδώ (προς την αρχή) κι απ' ό,τι είδα υπάρχει κι άλλη μία, αλλά για να μη γελιόμαστε, πιστεύω ότι η λύση μου είναι δύσκολο να αναπαραχθεί από μαθητή Γυμνασίου, πόσο μάλλον με χρονικό όριο σε συνθήκες διαγωνισμού. Την ανέβασα για αυτούς που ...

Καλησπέρα σας,

Υπάρχει κάποια προτεινόμενη λύση για το θέμα 4 των μεγάλων?


Μια λύση για το 4 των μεγάλων. Ας αναζητήσουμε λύσεις $(a,b)$ της μορφής $a=d(c+1)(c^2+c+1)$ και $b=dc(c^2+c+1)$ με $c,d\in\mathbb{N}^*$. Τότε, με προσεκτικές πράξεις, η δεδομένη εξίσωση απλοποιείται αισθητά και γίνεται ...

Μια λύση για το 4 των μικρών με θεωρία εξισώσεων Pell.

Θέτουμε $x=1,y=a-b$ και $z=a+b$ για θετικούς ακεραίους $a>b$, κι έτσι, μετά από πράξεις, η δεδομένη εξίσωση γίνεται $7b^2=3a^2-2a-1$. Πολλαπλασιάζοντας με $3$ και τα δύο μέλη και συμπληρώνοντας το τετράγωνο ως προς $a$, οδηγούμαστε στην ...

Πολύ ωραία άσκηση! Για κάθε ακέραιο $\displaystyle{k}$ παίρνουμε το διάστημα $\displaystyle{[k,k+1].}$ Από το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, επειδή η $f$ είναι συνεχής και παίρνει τις τιμές στα άκρα του διαστήματος, θα παίρνει και όλες τις ενδιάμεσες τιμές του. Επομένως $\displaystyle{[k,k+1] \subseteq f ...