Να είστε καλά ρε παιδιά, με συγκινήσατε.

Χρόνια Πολλά και Ευτυχισμένα σε Όλους!

Φωτεινή, Γιώργο και Ορέστη (Ορέστη τι ακριβώς είσαι δεν έχω καταλάβει) ευχαριστώ.

1. Θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία $A,B,C$ και έστω $F$ το κέντρο του.

2. Φέρουμε τις $FA,FB,FC$ που φυσικά είναι $FA=FB=FC$. Παρατηρούμε τη σχέση της εγγεγραμμένης $BCA={{30}^{0}}$

με την ...

Την έχουμε ξαναδεί με μοναδική λύση νομίζω.

Έστω κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ με διαγώνιους τις $AC,BD$.

Αν οι γωνίες $DAC,CAB,ACB$ έχουν αντίστοιχα μέτρο $2x,5x,{{30}^{0}}$ και επίσης είναι $AD=AC,~~BA=BD$ .

Βρείτε τον αριθμό των μοιρών που εκφράζει το $x$.

geometrein-104.PNG

Live Practice ...

Πάντα τυπική αλλά ταυτόχρονα και ζεστή η παρέα του mathematica :logo:
Σε αυτό το χώρο θα λάβεις αυτό ακριβώς που δικαιούσαι , τίποτα περισσότερο και τίποτα λιγότερο .
Και αυτό είναι καλό . Ευχαριστώ για τις ευχές σας .
Χρόνια μας πολλά σε όλους που γιορτάζουμε σήμερα.

Προσθέτοντας κατά μέλη (αφού η πρώτη πολλαπλασιαστεί επί $2$ ) λαμβάνουμε:

$\displaystyle{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}=2xyz+3\left( x+y+z \right)~~~~\left( 1 \right).}$

Από την πρώτη παίρνουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\overset{AM-GM}{\mathop{\overset{}{\mathop ...

Ευχαριστώ τον κ.Μιχάλη και τον Νίκο για την ενασχόληση.

Να τονίσουμε Νίκο ότι τα "έμμεσα" κριτήρια έχουν ακριβώς τη λογική των κριτηρίων των ορθογωνίων τριγώνων.
Όσον αφορά την περίπτωση εδώ θα πούμε πιο συγκεκριμένα:
"Τα δύο αμβλυγώνια τρίγωνα είναι ίσα αφού έχουν ίσες τις αμβλείες γωνίες ...

Έστω τρίγωνο $DBC$ με τις γωνίες του $BDC,~BCD$ να έχουν μέτρο ${{40}^{0}},~{{30}^{0}}$ αντίστοιχα.

Στην προέκταση της $CD$ λαμβάνουμε σημείο $A$ τέτοιο ώστε να είναι $BA=DC$.

Δείξτε ότι το μέτρο της γωνίας $BAD$ είναι $x={{20}^{0}}$.

(Μπορεί να έχει “ξαναπαίξει”… όσο το έψαξα δεν βρήκα παρά ...

Φωτεινή η γρήγορη και ευέλικτη λύση είναι πάντα διακριτή και σημαίνουσα. Σε ευχαριστώ.
Ακολουθεί η δική μου λύση που έχω την εντύπωση πως δεν γίνεται να είναι πιο λιτή:

GeoMetrein102-A-Lysis.PNG

Πρώτο Μέρος Λύσης:

1. Φέρουμε την ημιευθεία $Bx$ έτσι ώστε $CBx={{10}^{0}}$ και προεκτείνουμε ...

Έστω τρίγωνο $ABC$ και σημείο $D$ στο εσωτερικό του,

τέτοιο ώστε οι γωνίες $BAD,~~ABD,~DBC,~CAD$ να έχουν μέτρο ${{65}^{0}}{{,15}^{0}}{{,40}^{0}}{{,35}^{0}}$.

Βρείτε το μέτρο $x$ της γωνίας $BCD$.

(Η λύση που έχω βρει ξεπερνά τα όρια της υπομονής, λόγω μεγέθους… ας βρεθεί λοιπόν μία πιο κομψή ...

Φωτεινή και Θανάση σας ευχαριστώ. Στο ίδιο στυλ με το Γεωμετρείν 100:

1. Επί της $AB$ λαμβάνουμε σημείο $F$ τέτοιο ώστε $AD=DF$ , με αποτέλεσμα να δημιουργηθούν τα ισοσκελή $ADF,~DFB$.

2. Σχεδιάζουμε τα ισόπλευρα $\text{DFH},~AGB$ και φέρουμε τις $HA,~HG,~HB$.

3. Παρατηρούμε (αφαιρετικά από ...

Έστω τρίγωνο και σημείο στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε

οι γωνίες να έχουν μέτρο αντίστοιχα.

Αν ισχύει επίσης ότι , βρείτε το μέτρο της γωνίας .

thanasis.a έγραψε: ..καλό μεσημέρι..

έστω διχοτόμος της . Επίσης έστω διχοτόμος της ....

Θανάση τώρα μελέτησα τη λύση σου. Εντυπωσιακή... και νομίζω ότι δεν υπερβάλλω.

Είναι προφανές ότι η προηγούμενη λύση του ealexiou είναι λάθος.

1. Επί της $BC$ λαμβάνουμε σημείο $E$ τέτοιο ώστε $BD=DE$ , με αποτέλεσμα να δημιουργηθούν τα ισοσκελή $BDE,~DEC$.

2. Σχεδιάζουμε το ισόπλευρο $\text{DFE}$ και φέρουμε τις $FA,~FC,~FB$.

3. Παρατηρούμε (αφαιρετικά από γωνία κορυφής ...

ykerasar έγραψε:μου άρεσε πολύ.
συγχαρητήρια
καλό καλοκαίρι

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

Σας ευχαριστώ.

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και σημείο στο εσωτερικό του,

έτσι ώστε οι γωνίες να έχουν μέτρο αντίστοιχα.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

Doloros έγραψε:Έξοχος Ο Δημήτρης!

Γεια σου Νίκο... να κάνουμε λίγο πλάκα με τα χάλια μας... ξέρεις ο αυτοσαρκασμός είναι πολλές φορές αναγκαίος, ειδικά όταν είσαι απλός θεατής στον εξ-ευτελισμό της Πατρίδας σου ... να είσαι καλά.

Γιώργο Ρίζο και Στάθη Κούτρα, ωραίες λύσεις... ευχαριστώ.

Έστω τρίγωνο $ABC$ με τη γωνία του $BAC=2x$.

Επί της $AC$ λαμβάνουμε σημείο $D$ τέτοιο ώστε οι γωνίες $DBA,~DBC$ να έχουν μέτρο $x,~7x$ αντίστοιχα.

Αν ισχύει επίσης ότι $AD=BC$ , βρείτε την τιμή του $x$.

Στόχος: περισσότερες της μίας λύσεις... έχω ( μία ) λύση την οποία (αν χρειαστεί) θα ...