Καλημέρα σε όλους! Αν προσθέσουμε και αφαιρέσουμε κατά μέλη τις εξισώσεις του συστήματος, προκύπτουν αντίστοιχα οι σχέσεις: $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+y}{\cos(x^2-y^2)}-(x+y)\cdot \tan(x^2-y^2)=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}+\sqrt{\dfrac{\pi}{3}} \\ \dfrac{x-y}{\cos(x^2-y^2)}+(x-y)\cdot \t...

Ευχαριστώ πολύ!

Εύχομαι επιτυχία σε όλους τους συμμαθητές μου.

Καλησπέρα! 1. ΣΩΣΤΟ H f είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{\Delta_{1}=(-\infty, 0), \Delta_{2}=(0,2),\Delta_{3}=(2,+\infty)}}$, διότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο των παραπάνω διαστημάτων. Από τον πίνακα μεταβολών έχουμε: $\displaystyle{A=\lim_{x\to -\infty}f(x)=...

...Δίνω μια σύντομη λύση για τα 3 πρώτα ερωτήματα. 1) Από τη δοθείσα σχέση πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη με $\displaystyle{e^{-x}(x^2+2)}$ έχουμε: $\displaystyle{e^{-x}(x^2+2)f'(x)=(x^2-2x+2)e^{-x}f(x) \Leftrightarrow e^{-x}(x^2+2)f'(x)+(e^{-x}(x^2+2))'=0 \Leftrightarrow}$ $\displaystyle{ \Leftrightar...

...και για το (3)... Αφού το σύνολο αφίξεως της $\displaystyle{h}$ είναι το $\displaystyle{\mathbb{R^*}$, ισχύει $\displaystyle{h(x) \neq 0}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$. Όμως, η $\displaystyle{h}$ είναι συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$. Έχουμε όμως $\displays...

Έχω μερικές σκέψεις...
Θα τις αναρτήσω σύντομα.

Μια ερώτηση.

Μήπως πρέπει να προστεθεί κάποια παραγωγισιμότητα;

Δεν κατάλαβα κάτι στο 4 ερώτημα γιατί $a+1> a> e^{a} > e$ Δεν θα έπρεπε να ήταν $a> e^{a}$ ;;;;; Η εκφώνηση δηλώνει ότι $\displaystyle{a>e^e}$. Αυτό γίνεται για να μπορεί να εφαρμοστεί η μονοτονία της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{[e,+\infty)}$ για τον όρο $\displaystyle{lna}$ (αφού $\displ...

Επειδή όμως $\displaystyle{x\in (-1,1)\Rightarrow \left | x \right |<1}$, έχουμε εύκολα ότι $\displaystyle{x^{n}\rightarrow 0}$ Ας το αποδείξουμε. Δεν είναι δύσκολο... Ισχύει η στοιχειώδης ανισότητα $\displaystyle{-|A| \leq A \leq |A| }$, για κάθε $\displaystyle{A \in \mathbb{R}}$. Με εφαρμογή αυτή...

Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με $f(x) \neq 0$ για κάθε $x>0$ και $f'(1)=1$. Αν για κάθε $x>0$, για τη συνάρτηση $f$ ισχύει η σχέση $\displaystyle{x^2f'(x)=f(x)-lnx^{f(x)}}$, τότε να αποδείξετε ότι: 1) $f(x)>0, x>0$ 2) Υπάρχει $x_0 \in (1,e)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής...

$g(x)=f(x)-e^{1/x}lnx\Rightarrowg\Rightarrow {g}'(x)={f}'(x)-(e^{1/x}){}'lnx -e^{^{1/x}}*(1/x)=...=0$ :clap2: Γιώργο, έχω την εντύπωση ότι κάτι τέτοιο δε μπορούμε να το κάνουμε διότι έτσι δεν αποδεικνύουμε τη μοναδικότητα. Αν μπορούσαμε τότε σε κάθε άσκηση που ζητάει επίλυση διαφορικής εξίσωσης δε ...

Αφού $x \in (0, + \infty )$ έχουμε: $x^2f'(x)=(x-lnx)e^{1/x} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{x} e^{1/x} -\frac{1}{x^2} e^{1/x} lnx \Leftrightarrow f'(x)=(e^{1/x} lnx)'$ ,για κάθε $x \in (0, + \infty )$. Άρα, υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $f(x)=e^{1/x} lnx +c, x \in (0, + \infty )$. Για χ=1 π...

Έχει μείνει άλυτη η 553. Δίνω μία λύση: Αν κάποιος από τους $x,y,z$ είναι μηδέν, τότε από τη σχέση $x+y+z=xyz$ προκύπτει ότι το άθροισμα των άλλων δύο είναι μηδέν, οπότε τελικά είναι $x=y=z=0$ (αφού οι $x,y,z$ είναι μη αρνητικοί). Στην περίπτωση αυτή ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε ισχύει (δηλα...

Καλημέρα σε όλους! Συμμετείχα σήμερα μαζί με τους υπόλοιπους μαθητές της Γ. Κατά τη γνώμη μου το Α' Θέμα και η Γεωμετρία ήταν ακριβώς όπως έπρεπε. Αυτά ήταν τα θέματα που έλυσα. Το τέταρτο, παρ' όλο που δεν το έλυσα, τώρα που βλέπω τη λύση του cretanman μπορώ να πω ότι ίσως ήταν χαμηλότερης δυσκολία...

2. Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{3^{x+1}- x\cdot 3^x- 4x-1 = 0}$ . κάτι που σκέφτηκα χωρίς να έχω υπ' όψιν τις προηγούμενες λύσεις: Η δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα $(3^x +4)(3-x)=13$ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις i) Αν $x\in \mathbb{N}$ τότε $3^x +4 \in \mathbb{N}$ κα...

Με την προϋπόθεση ότι ξεκινούσατε $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=a\leftrightarrow\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=a\leftrightarrow\....$ όπου $x=x_{0}+h$ με $h\rightarrow 0$ και αναζητούσατε όριο για $x=x_{0}-h \Leftrightarrow x-x_{0}=-h$ θα εμφα...

Καλησπέρα και πάλι. Να ρωτήσω: Είναι σωστό εάν γνωρίζω ότι $\latex{\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=a}$ να κάνω την αντικατάσταση $x-x_{0}\rightarrow -h$ και να πω ότι $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}\Leftrighta...

Μία από τις πολλές εφαρμογές αυτού που αποκαλούμε "Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών" (ή "Intermidiate Value Theorem")

https://www.youtube.com/watch?v=5Px6fajpSio

Σας ευχαριστω για τη διευκρίνηση!

Καλημέρα σε όλους. Παραθέτω την παρακάτω άσκηση και το σκεπτικό μου για τη λύση της. Θα ήθελα κάποια γνώμη για το αν η σκέψη μου είναι σωστή... Η ΑΣΚΗΣΗ: Έστω $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε $x \in [a,b]$ να υπάρχει $y \in [a,b]$, με $f(x)=g(y)$. Να αποδε...