Πιο πολύ με απασχολεί πως το διαχειρίζεται ένας καθηγητής μαθηματικών μια τέτοια περίπτωση αν ποτέ προκύψει.. Μία τέτοια άσκηση μπορεί να την βρει είτε σε βοήθημα, είτε σε φυλλάδιο απο ασκήσεις φροντηστηρίου, είτε στο ιντερνετ, οπουδήποτε... Τα παιδιά πρέπει να έχουν την αίσθηση της ασφάλειας ότι οι...

Σου ανέφερα ένα παράδειγμα συναρτήσεων $g$ και $h$ που ικανοποιούν κατά γράμμα το θεώρημα και επιπλέον είναι ορισμένες σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων, δηλαδή με συναρτήσεις που δεν έχουν μεμονωμένα σημεία στο πεδίο ορισμού τους. Τυχαίνει η σύνθεσή τους να έχει στο πεδίο ορισμού μεμονωμένο σημείο. Ά...

Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση είναι συνεχής στο .
Άρα η συνάρτηση είναι συνεχής στο . Όμως το είναι μεμονωμένο σημείο για την

Έστω, και πάλι το Θεώρημα δεν είναι καλά διατυπωμένο διότι σε αυτήν την κατηγορία ανήκουν και οι συναρτήσεις g, και h στο παράδειγμά μου.

Καλημερα, θα ήθελα την γνώμη σας σχετικά με τον ορισμό της συνέχειας που δίνει το σχολικό βιβλίο και πως ένας εκπαιδευτικός θα μπορούσε να διαχειριστεί ΣΩΣΤΑ τυχόν απορίες μαθητών ώστε να μην του δημιουργηθούν αρνητικά αντανακλαστικά και ως προς το μάθημα αλλά και να μην χάσουν την εμπιστοσύνη τους ...

Παρασύρθηκα, πράγματι ήταν σούπερ λάθος. Προσπαθούσα και γω να εντοπίσω το λογικό άλμα, στο σημείο που έλεγα οτι αν δύο συναρτήσεις είναι ίσες τότε και οποιοσδήποτε περιορισμός στο πεδίο ορισμού τους θα μου έδιδε πάλι ίσες συναρτήσεις. Το λανθασμένο μου επιχείρημα ήταν οτι δεν είναι σωστή η εξής συν...

Οι συναρτήσεις αυτές μπορεί να έχουν τον ίδιο τύπο, αλλά δεν είναι ίσες . Βρίσκονται σε αλληλεξάρτηση. Oι συναρτήσεις ΕΙΝΑΙ ίσες. Εκεί κλείνει το θέμα! Το σφάλμα σου είναι ότι νομιζεις ότι το όνομα της ανεξάρτητης μεταβλητής παίζει ρόλο στην συνάρτηση. Ένας τρόπος (μέσω Θηβών) να δεις και να ξεκαθα...

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑

Τετ Σεπ 08, 2021 9:04 pm

Maidenas έγραψε: ↑

Τετ Σεπ 08, 2021 8:56 pm

είναι ασυσχέτιστες

Δεν ξέρω τι θα πει.

Κοίταξες τα σχόλια (σε μορφή ασκήσεων) που έγραψα;

Ασυσχέτιστες θα πει να μην σχετίζονται. Εξήγησα αναλυτικά τι εννοώ ακριβώς.
Δεν τις είδα τις ασκήσεις ακόμα αλλά θα τις μελετήσω.

Πουθενά στον ορισμό ισότητας συναρτήσεων δεν μιλάει για μη συσχέτιση των συναρτήσεων. Τι σημαίνει δηλαδή ότι δυο συναρτήσεις είναι ασυσχέτιστες; Το ερώτημα είναι ένα. Ισχύει $f(t)=f^{-1}(t)\forall t\in \mathbb{R}$; Η απάντηση είναι θετική και άρα οι δυο συναρτήσεις είναι ίσες. Ο ορισμός της ισότητα...

Το σχολικό βιβλίο μιλάει για ισότητα συναρτήσεων που είναι ασυσχέτιστες καθ’ υπό οποιονδήποτε τρόπο. Αν σου έδινα μια συνάρτηση f και μια g με τον ίδιο τύπο και τα πέδια ορισμού τους ήταν ασυσχέτιστα, τότε ναι θα ήταν ίσες. Στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν συμβαίνει το ίδιο. Η συνάρτηση $f^{-1}$ παίρ...

Ας γίνω λίγο πιο συγκεκριμένος. Για το παράδειγμα που ανέφερα έχουμε τα εξής: $f(x)=2-x$ όπου $x=0,1,2$ $f^{-1}(y)=2-y$ , όπου $y=0,1,2$ Τότε όταν το χ πάρει την τιμή 0, το y θα πάρει την τιμή 2 Όταν το χ πάρει την τιμή 1, το y θα πάρει επίσης την τιμή 1 Και όταν το x πάρει την τιμή 2, το y θα πάρει...

Αν ήταν ίσες δεν θα ήταν συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x. Δύο συναρτήσεις που έχουν ίδια γραφήματα, δεν είναι απαραίτητα ίσες. Αυτό μπορούμε εύκολα να το δούμε σε διανυσματικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών. Συμμετρία ως προς άξονα σημαίνει οτι το σημείο που βρίσκεται στην μια πλευρά του ημιεπιπέδου...

Τι θα άλλαζε αν ήταν ορισμένη η f σε όλο το και ένας μαθητής ρωτούσε αν οι δύο αντίστροφες συναρτήσεις είναι ίσες ;

Καλησπέρα, θα ήθελα την άποψή σας για τα παρακάτω Γνωρίζουμε φυσικά τον ορισμό του πότε δύο συναρτήσεις είναι ίσες. Οι συναρτήσεις πρέπει να έχουν το ίδιο πεδίου ορισμού, και για κάθε σημείο σε αυτό οι εικόνες τους να είναι ίσες. Όπως επίσης, όταν δύο συναρτήσεις είναι ίσες , τότε οποιοσδήποτε περιο...

Πολύ ωραία ιδέα !
Ήταν δραστηριότητα πάνω στην διδακτική του Απειροστικού Λογισμού.
Ευχαριστώ πολύ!

Το παρακάτω απόσπασμα προέρχεται από μια συζήτηση στην τάξη ενός μαθητή Γ´ Λυκείου με τον καθηγητή του σχετικά με το πλήθος των σημείων των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ Κ (Καθηγητής): το τμήμα ΓΔ έχει περισσότερα σημεία από το ΑΒ εφόσον έχει μεγαλύτερο μήκος ; Μ (Μαθητής): όχι, το ΑΒ και το ΓΔ έχο...

Δεν ξέρω αν βοηθάει, αλλά στην eclass του Καποδιστριακού την υποστηρίζει την χρήση LaTex.

Πληροφορίες, εδώ:
https://docs.openeclass.org/el/mathp?fb ... BXFBcSdjQ8

Έστω οτι $a_1, a_2 , \cdots , a_d \in (0, \infty)$ θετικοί αριθμοί και Ε το ελλειψοειδές $E=\left \{x \in \mathbb{R}^d : \sum\limits_{i=1}^d \left ( \frac{x_i^2}{a_i^2} \right ) \leq 1 \right \}$ To $E$ είναι το ελλειψοειδές με κύριους άξονες παράλληλους προς τους άξονες συντεταγμένων και με μήκη $2...

Καλησπέρα και απο μένα, Προσωπικά δεν θα με ενοχλούσε καθόλου αν η εισαγωγή βάσης σε οποιαδήποτε σχολή ήταν και 1 μόριο. Αφού οι βάσεις διαμορφώνονται αναλόγως την ζήτηση που υπάρχει, τότε καλώς οτ μαθηματικό της Σάμου είχε 3000 μόρια. Το θέμα είναι άλλο. Εγώ σπουδάζω το τμήμα Μαθηματικών της Αθήνας...

Τώρα που το ξανασκέφτομαι.... νομίζω το βρήκα!!! Δεν θέλουμε την συνάρτηση "ακέραιο μέρος του ".αλλά θέλουμε την συνάρτηση που απεικονίζει το στον μικρότερο ακέραιο που δεν είναι μικρότερος απο το .