mathematica.gr

Δυστυχως εγω δεν θα μπορεσω να παω φετος. Αλλα πραγματικα προτεινω σε ολα τα παιδια που αγαπαν τα μαθηματικα να παν τουλαχιστον σε ενα απο τα 2 μαθηματικα σχολεια(αν οχι και στα 2 ).Ειλικρινα ειναι μοναδικη εμπειρια και αξιζει να παν οσα περισσοτερα παιδια μπορουν!!!

ΛΕΥΤΕΡΗΣ

Και κατι ακομα για την τελευταια.....: Eυκολα προκυπτει πως η f ειναι 1-1 και επι.Εστω f(0)=a,f(s)=0 γιατι αφου η f ειναι επι, θα εχει ριζα.Με χ=ψ=s προκυπτει πως a=s.Ακομα, με χ=ψ=0 στην αρχικη ειναι $f(a^2+a)=0=f(s)$ και λογω του 1-1 ειναι a=s=0.Aρα $f(f(x))=x$ kai me x->f(x) einai $f(f^2(x)+f(y))...

Ομορφες!!! :) Ασχοληθηκα λιγο με την δευτερη...Αλλα θα βαλω τα βασικα βηματα σε hint... :) βγαζουμε οτι αν η f ειναι σταθερη τοτε ειναι η μηδενικη.Αλλιως δειχνω πως $f(-1)=-1$ και κατα συνεπεια $f(x^2)=xf(x)$.Eπειτα βγαινει με αντικατασταση στη αρχικη και αν βαλουμε οπου ψ το ψ-1 πως $f(1)f(xy)=f(x)...

Γεια σας!!!Επιτελους βρηκα λιγο χρονο για να συμμετεχω και εγω στο forum μας.. :) Νομιζω οτι εχω μια λυση για την ομορφη αυτη ασκηση!!!Νομιζω πως ολη η ασκηση τελειωνει αν καποιος παρατηρησει πως $\sum\frac{PK}{AK}=1$ (αποδεικνυεται ευκολα με εμβαδα πχ $\frac{PK}{AK}=\frac{(PBC)}{(ABC)}$ αλλα και οτ...

Γεια σας και απο μενα!Μμμ..Εχω την εντυπωση οτι υπαρχει ενα μικρο λαθακι στη λυση σου Μανο!Αυτο βρισκεται στο σημειο που λες $a_n - a_n_-_1 =0$ ...Νομιζω οτι αυτη η σχεση ισχυει μονο για $n\geq2$ ...Επομενως δεν νομιζω να μπορουμε ετσι να πουμε πως $a_1=a_0$....Συγχωρεστε με αν κανω λαθος..... :? :o...

Επειδη τωρα τελευταια εχουν γινει πολλα παραπονα για διαφορα posts που θεωρουνται :spam: ας βαλω την λυση μου για να μην δημιουργησω καποια τετοια εικονα στο forum μας. :) Λοιπον.. $a_n_+_2+a_n_+_1-2010*2009a_n=0$ με χαρακτηριστικη εξισωση την $l^2+l-2009*2010=0$ που εχει ριζες τα $l=2009$ , $l=-201...

Χωρις να ειμαι απολυτα σιγουρος επειδη ειμαι πολυ κουρασμενος,νομιζω οτι ο μετασχηματισμος (συνθεση συναρτησης) οπου kai βοηθαει πολυ..ΛΕΥΤΕΡΗΣ

Καλησπερα!Εχω μια ιδεα νομιζω....Λοιπον απο Adreescu: $LHS \geq \frac{(x+y+z)^2}{xy^2+xyz+xz^2+yx^2+yxz+yz^2+zx^2+zxy+zy^2} = \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(xy+yz+zx)}$ που προφανως ειναι μεγαλυτερο απο το RHS αφου ισοδυναμα γραφετε $x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$ που ισχυει..Ελπιζω να μην εκανα καμια απροσεξ...

Γεια σας και απο εμενα.Εδινα στη Β λυκειου και μαλλον τα ελυσα και τα 4.Σχετικα βατα μου φανηκαν τα θεματα των περισσοτερων ταξεων.Καλα αποτελεσματα σε ολα τα μελη!!!!!!!! ΛΕΥΤΕΡΗΣ

Νομιζω οτι επρεπε να το εξηγησω καλυτερα..Απλα επειδη αυριο ξεκιναω την χρονια με διαγωνισματα, δεν ειχα πολυ χρονο...Μολις ερθω αυριο ομως θα γραψω πιο αναλυτικα την λυση μου αφου υπαρχουν ασαφειες...Το 5 δεν βγαινει τελικα??

Ωραια τοτε!!!!Οπως ειπαμε,$d_1=1$ .Αν και οι 4 αριθμοι ειναι περιττοι, τοτε κανενας διαιρετης του n δεν ειναι αρτιος ,αρα ο n ειναι περιττος ,ατοπο αφου $n=d_1+d_2+d_3+d_4=1+1+1+1=0mod2$ .Αρα καποιος ειναι αρτιος αρα $d_2=2$.Αν $d_3=3$ ,tote $n=d_4^2+14$ και αφου ο $d_4$ διαιρει τον n πρεπει να διαι...

Κυριε Λουριδα γεια σας.Νομιζω οτι εχω μια λυση αλλα δυστυχως δεν ειμαι σιγουρος για το αν μπορω να θεωρησω οτι ο μικροτερος απο αυτους ,ο ειναι ισος με την μοναδα η αν πρεπει να ειναι μεγαλυτερος η ισος του 2.....Αν μπορει καποιος να μου απαντησει θα χαιρομουν πολυ..

ΛΕΥΤΕΡΗΣ ΜΑΣΤΟΡΗΣ

ΛΕΥΤΕΡΗΣ

Σαν μια βοηθεια....Για γραψτε την καπως ετσι....

Oταν αναφερεσαι σε τριγωνομετρια αναφερεσαι στον μετασχηματισμο , κλπ????? δεν βλεπω κατι αλλο....

Ωραια.μια ισως πιο βαρια λυση μπορει να γινει με χρηση της για τους αριθμητες και μετα χρηση της Muirhead αφου η (1,1,-1) μεγιστοποιει την (1,0,0) .Επισης,αν θελουμε να την κανουμε "φοιτητικη" μπορουμε να χρησιμοποιησουμε τους πολλαπλασιαστες Lagrange!!
Λευτερης

Nαι αλλα νομιζω οτι οι αριθμοι μας ειναι μεγαλυτεροι απο την μοναδα απο την υποθεση.... Θα το ξαναδω...

Χρονια πολλα και καλη χρονια σε ολους!Θα δωσω την βασικη ιδεα μονο..Λογω συμμετριας μπορουμε να υποθεσουμε χωρις βλαβη της γενικοτητας οτι o $y$ ειναι μικροτερος η ισος απο τους αλλους 2.Μετα ευκολα,ακομα και με παραγοντοποιηση δειχνουμε πως $f(x,y,z)\geq f(x,y,y)>0$ οπου $f(x,y,z)=2xyz-xy-yz-zx+1$ ...