Η αναζήτηση βρήκε 771 εγγραφές

από sakis1963
Πέμ Δεκ 05, 2019 2:58 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: 30άρα απ'το πουθενά
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 81

30άρα απ'το πουθενά

GEOMETRIA241=FB4018.jpg Έστω ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD, \hat{B}=\hat{C}=90^o$ με $AB+CD=AD$ και $P$ το σημείο τομής των διαγωνίων του. Έστω επίσης οι κύκλοι $(u)\equiv(A,AB), (v)\equiv (D,DC)$ που εφάπτονται στο σημείο $X$ της $AD$ και ο κύκλος $(w)$ που εφάπτεται της $BC$ και εξωτερικά των $(u), (v...
από sakis1963
Δευ Νοέμ 18, 2019 11:57 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Δύο καθετότητες
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 155

Δύο καθετότητες

GEOMETRIA240=FB3936.jpg Έστω $D$ τυχαίο σημείο της πλευράς $BC$ τριγώνου $ABC$ και $K, L$ τα έγκεντρα των τριγώνων $ABD, ADC$. Η $BK$ επανατέμνει τον περίκυκλο $ABD$ στο $P$, ενώ η $CL$ επανατέμνει τον περίκυκλο $ADC$ στο $Q$. a. Αν $E\equiv QK \cap PL$ δείξτε ότι $ED \perp BC$ b. Αν $M, N$ τα μέσα...
από sakis1963
Σάβ Νοέμ 02, 2019 8:03 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 281

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Μία λύση για την αρχική με λιγότερες πράξεις και χρήση του αρμονικού τετράπλευρου, Έστω $O$ το κέντρο του $(S,T,R)$ και $X$ ο πόλος του $ST$ ως προς τον ίδιο κύκλο. Λόγω του αρμονικού οι $XT,XU$ είναι εφαπτόμενες και το $X$ ανήκει στη $RS$. Από λήμμα είναι $\left ( X,S,L,R \right )=-1$ και από $Mac...
από sakis1963
Σάβ Νοέμ 02, 2019 11:56 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 281

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Μπράβο, Πρόδρομε!

κοίταξε τώρα κάτι άλλο:

Αν στο σχήμα σου S\equiv TC' \cap RM, L\equiv (P, PC) \cap RM και U\equiv (STR) \cap TL,

δείξε οτι το TSUR είναι αρμονικό τετράπλευρο
από sakis1963
Παρ Νοέμ 01, 2019 10:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Εφαπτόμενο τμήμα, από λόγο εμβαδών
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 164

Εφαπτόμενο τμήμα, από λόγο εμβαδών

GEOMETRIA239=FB3809.jpg Εστω τρίγωνο $ABC$, σημεία $E, D$ των $AB, AC$ αντίστοιχα, $F\equiv BD \cap CE$ και $K$ το μέσο της $AF$. Αν ο κύκλος $(M, a)$ με διάμετρο $BC=2a$, διέρχεται από το μέσον $L$ του $ED$ και ο λόγος των εμβαδών $\dfrac{[ABC]}{[BCDE]}=b$, υπολογίστε το εκ του $K$, εφαπτόμενο στο...
από sakis1963
Παρ Νοέμ 01, 2019 9:49 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 281

Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

GEOMETRIA238=FB3712.jpg
GEOMETRIA238=FB3712.jpg (42.74 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές
Εστω ορθογώνιο τραπέζιο ABCD, \hat{A}=\hat{D}=90^o, AB>CD.

Ο περίκυκλος ABC τέμνει την AD στο P.

Ο κύκλος (P, PC) τέμνει την μεσοπαράλληλο του τραπεζίου MN, στο Q και την QD στο T.

Αν η TC συναντά την MN στο R, δείξτε ότι QR=2\cdot MN
από sakis1963
Παρ Νοέμ 01, 2019 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εγκυκλος εφαπτόμενος στη μεσοκάθετο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 111

Εγκυκλος εφαπτόμενος στη μεσοκάθετο

GEOMETRIA237=FB3831.jpg
GEOMETRIA237=FB3831.jpg (42.49 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές
Ο έγκυκλος τριγώνου ABC, b>c εφάπτεται της μεσοκαθέτου Mx της BC.

Αν το ύψος AD=h και DM=d, δείξτε ότι \dfrac{b-c}{h-d}=2

Προαιρετικά, αναζητήστε τον γεωμετρικό τόπο του A όταν η BC είναι σταθερή.
από sakis1963
Τρί Οκτ 22, 2019 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Αρμονικός Μέσος τμημάτων μόνο με κανόνα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 232

Αρμονικός Μέσος τμημάτων μόνο με κανόνα

GEOMETRIA236=FB3752.jpg Μας δίνονται (ζωγραφισμένα σε χαρτί) δύο παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα $a, b$ και μας ζητείται να κατασκευάσουμε τον Αρμονικό Μέσο τους. Δυστυχώς όμως δεν έχουμε διαβήτη, αλλά μόνο τον κανόνα και το σημείο τομής των πλάγιων πλευρών του (νοητού) τραπεζίου είναι εκτός χαρτιού Μ...
από sakis1963
Κυρ Αύγ 04, 2019 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια από συντρέχειες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 518

Re: Συντρέχεια από συντρέχειες

Αφού συγχαρώ τα παιδιά για τις λύσεις τους, οφείλω να πω (μετά από email που έλαβα από τον Jean-Luis Ayme, μεγάλο Γάλλο γεωμέτρη), οτι η όμορφη αυτή συντρέχεια, είναι ειδική περίπτωση ενός πιο γενικού θεωρήματος "AYME'sTHEOREM" ή "FOUR POINTS THEOREM" που οφείλεται στον ίδιο. Το θεώρημα παρουσιάζετα...
από sakis1963
Σάβ Αύγ 03, 2019 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια από συντρέχειες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 518

Συντρέχεια από συντρέχειες

GEOMETRIA235=FB3391.jpg Ας είναι $A_x B_x C_x$ και $A_y B_y C_y$ τα σεβιανά τρίγωνα δύο τυχαίων σημείων $X, Y$ στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$ και έστω 3 κύκλοι που, έκαστος διέρχεται από τα ζεύγη σημείων $(A_x, A_y), (B_x, B_y), (C_x, C_y)$ και εφάπτεται στον περίκυκλο του $ABC$, στα σημεία $A', B', ...
από sakis1963
Πέμ Ιούλ 25, 2019 1:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Παραλληλια από σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 276

Παραλληλια από σταθερό σημείο

GEOMETRIA234=FB3352.jpg
GEOMETRIA234=FB3352.jpg (44.42 KiB) Προβλήθηκε 276 φορές
Σε τρίγωνο ABC, έστω D, E, F τα σημεία επαφής του έγκυκλου (I) με της πλευρές του BC, AC, AB αντίστοιχα.

Για P τυχαίο σημείο της BC, οι κύκλοι BPF, CPE επανατέμνονται στο Q.

Αν S\equiv DI\cap PQ, δείξτε οτι AS\parallel BC
από sakis1963
Δευ Ιούλ 15, 2019 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Feuerbach πάνω στην διχοτόμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 531

Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

GEOMETRIA233=FB3311.jpg
GEOMETRIA233=FB3311.jpg (21.53 KiB) Προβλήθηκε 519 φορές
Δείξτε ότι, σε σκαληνό τρίγωνο ABC,

\hat{A}=60^o, τότε και μόνο τότε αν, το σημείο Feuerbach του ABC ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας \hat{A}
από sakis1963
Σάβ Μάιος 04, 2019 1:03 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 537

Re: Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

Το παρόν πρόβλημα, συμπεριέλαβε στην συλλογή του Charme Geometrique 1, ο διάσημος Γάλλος γεωμέτρης Jean-Luis Ayme μαζί με ανάλυση και λύση.

Ο σύνδεσμος για την συλλογή, εδώ: Charme Geomtrique 1
.
GEOMETRIA229=FB2548Ayme.jpg
GEOMETRIA229=FB2548Ayme.jpg (105.06 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές
από sakis1963
Παρ Μάιος 03, 2019 11:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μετρική σε τρίγωνο 45ο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 475

Re: Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Το παρόν πρόβλημα, συμπεριέλαβε στην συλλογή του $Charme$ $Geometrique$ $1$, ο διάσημος Γάλλος γεωμέτρης $Jean-Luis Ayme$ όπου έδωσε μια ωραιότατη λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη Στην ίδια συλλογή, συμπεριέλαβε και το πρόβλημα Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους ...
από sakis1963
Παρ Μάιος 03, 2019 11:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μετρική σε τρίγωνο 45ο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 475

Re: Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Χρησιμοποιώντας την Ταυτότητα σε τρίγωνο ως λήμμα, έχουμε:

b'=c'=d

a/a'=tan(45/2)=2(\sqrt2-1)

\dfrac{b}{b'}=\dfrac{a}{a'}+\dfrac{c}{c'} \Rightarrow 2(\sqrt2-1)=\dfrac{b}{d}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{b-c}{d}

και τελικά \dfrac{2d}{b-c}=2(\sqrt2-1)
από sakis1963
Παρ Μάιος 03, 2019 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τριπλή ισότητα εμβαδών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 376

Re: Τριπλή ισότητα εμβαδών

GEOMETRIA231=FB1923sol.jpg Ξεφεύγοντας λίγο από τον φάκελο, έχουμε: Από το θεώρημα $Mamikon$, τα χωρία $(b)lue=(r)ed$ αφού η εφαπτομένη $NB$ "σαρώνει" το $(b)lue$ χωρίο, για γωνία $60^o$, ενώ η ακτίνα $AN(=NB)$ "σαρώνει" το $(r)ed$ χωρίο (κυκλικό τομέα), για γωνία επίσης $60^o$. Είναι προφανές ότι ...
από sakis1963
Τετ Μάιος 01, 2019 9:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τριπλή ισότητα εμβαδών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 376

Τριπλή ισότητα εμβαδών

GEOMETRIA231=FB1923.jpg Επειδή, καθώς φαίνεται, παραβίασα τον όρο του μαθητικού 24ώρου, ορίστε μια για μαθητές $\bigstar$ Στο δοσμένο σχήμα το $ABC$ είναι ισόπλευρο, τα $N, L$ είναι τα μέσα των $AB, AC$, το $M$ είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου $\overset {\frown}{BC}$ και $KL$ είναι διάμετρος του ...
από sakis1963
Τετ Μάιος 01, 2019 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μεταβλητή χορδή-σταθερό γινόμενο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 402

Re: Μεταβλητή χορδή-σταθερό γινόμενο

Προφανώς οι $SM, TN$ ειναι παράλληλες και ισαπέχουσες από το $O$. Αρα προεκτεινόμενες επανατέμνουν τον κυκλο $(O)$ στα $P, Q$ αντίστοιχα και $SP=TQ$, απόπου αφού η $MN$ διέρχεται από το κέντρο $O$ του ορθογωνίου $SPQT$ έχουμε $SM=NQ, MP=TN$ Αρα $SM \cdot TN=SM \cdot MP$ και από θ. τεμνόμενων χορδών ...
από sakis1963
Τετ Μάιος 01, 2019 1:53 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριχοτόμος διάμεσος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 503

Re: Τριχοτόμος διάμεσος

1-5-2019 1-19-40 -2.jpg ... και για να το τελειώσουμε με την γεωμετρική κατασκευή του σχήματος, έχουμε : $MC=\sqrt{a^2+R^2}$, $a^2(a^2+R^2)=4R^2$ και αν $a^2=bR$ έχουμε $b(b+R)=4R^2$ Γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο $BD \perp AB$ και κέντρο $I$. Η $AI$ επανατέμνει τον $(I)$ στα $K, N$ όπου $AK=b<AN$ ...
από sakis1963
Τρί Απρ 30, 2019 10:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριχοτόμος διάμεσος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 503

Re: Τριχοτόμος διάμεσος

Χρόνια πολλά, Γιώργο! GEOMETRIA Τριχοτόμος Διάμεσος.jpg Αν θέλουμε να το πάμε ένα βήμα παραπέρα και να ζητήσουμε και το λόγο $\lambda=\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{a}{R}$, τότε από την ομοιότητα των τριγώνων $CAE, MBE$ έχουμε $\dfrac{a}{R}=\dfrac{\sqrt{4R^2-a^2}}{a}$ που μετά τις πράξεις μας δίνει $\lambda...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση