Δίνω την κατασκευή του d. χωρίς αιτιολόγηση, που την αφήνω για τους μαθητές ή όποιον θέλει να ασχοληθεί

Δείξτε ότι το σημείο , τριγώνου , με ,

συμπίπτει με το κέντρο του τετραγώνου που εγγράφεται σε αυτό,

και αντίστροφα.

2024.09.27 mathematica.jpg Ας είναι τρίγωνο $ABC$ με $AC>AB$, $AD$ διχοτόμος και $P, Q$ σημεία των $AC, AB$ αντίστοιχα.

Δείξτε ότι :

$BQ=CP$, τότε και μόνο τότε αν , το σημείο τομής $J$ των $BP$ και $CQ$, ανήκει στην παράλληλη προς την $AD$ που διέρχεται από το $E$, συμμετρικό του $D$ ως προς το ...

2020.040.4919 mathematica.jpg
Σε δισορθογώνιο τραπέζιο $ABCD$ με $\angle A= \angle D= 90 ^{\circ}$,

κύκλος $(w1)$ διερχόμενος από τα $D, C$ επανατέμνει τις $AD, BC$ στα $E, Q$ αντίστοιχα,

ενώ ο περίκυκλος του τριγώνου $BEC$ επανατέμνει την $AB$ στο $F$.

Αν $P= CF \cap (w1)$ και $M, N$ τα μέσα ...

2024.07.20 rectangle mathematica.jpg
Εστω $E$, σημείο της πλευράς $AD$ ορθογωνίου $ABCD$ (με $AD=BC=a>AB=CD=b$)

Η παράλληλη της $BC$ από το $L=BE \cap AC$ , τέμνει την $AB$ στο $F$

a. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών : $(FAE)+(EDC)=(CBF)$

b. Βρείτε γεωμετρικά (κατασκευή) τη θέση του $E$ στην $AD ...

2024.06.22 Generalization sol.jpg
Αφού συγχαρώ τον Ιάσωνα για την λύση του, θα πω δυο λόγια για την ιδέα/λύση της άσκησης.

Φέρω το ύψος $AA'=h$ και καθέτους στην $BC$ στα άκρα της, που συναντούν τις προεκτάσεις των $CA, BA$ στα $B', C'$

Ετσι δημιουργούνται οι προϋποθέσεις εφαρμογής του γνωστού θ ...

2023.05.09.FB12502 mathematica.jpg
Κυκλος $(w)$, που εφάπτεται στη $BC$ στο μέσον της $M$ και εξωτερικά του τριγώνου $ABC$, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα $D, F$

Οι $AD, AF$ επανατέμνουν τον $(w)$ στα $E, G$ αντίστοιχα.

Αν $Q\equiv EM\cap AC, P\equiv GM \cap AB$ και $U\equiv PG \cap AC ...

Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το σημείο ανήκει στο έλασσον τόξο , του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Δείξτε οτι για τα εμβαδά των τριγώνων , ισχύει:

Triangle construction (antiparallel) mathematica.jpg Δίδονται στο επίπεδο χαρτί:

- Ευθύγραμμο τμήμα $BC=a$, σταθερό κατά θέση και μέγεθος

- Ευθεία (e) (εκτός του $BC$) παράλληλη στο $BC$.

- Ευθεία (g) τέμνουσα της (e)

Ζητείται να βρεθεί με κανόνα και διαβήτη, σημείο $A$ επί της (e),

τέτοιο ...

Δείξτε ότι για τα τμήματα του σχήματος, ισχύουν:

i.

ii.

Στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο , ισχύει

Ας είναι η ορθή προβολή του στην και το μέσον της.

Δείξτε ότι:

i.

ii.

Δείξτε ότι το εμβαδόν της σκιασμένης με κίτρινο περιοχής, δίνεται από τύπο:

Οι τριχοτόμοι της ορθής γωνίας ορθογωνίου τριγώνου, διαιρούν την υποτείνουσα σε τμήματα, κατά σειρά

Δείξτε ότι:

Έστω παραλληλόγραμμο .

Αν οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα,

δείξτε οτι η είναι συμμετροδιάμεσος του

Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα είναι περιττοί αριθμοί με ,

δείξτε ότι το εμβαδόν , του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός

2023.12.30.FB13936 sol3.jpg
Ευχαριστώ τον Γιώργο και τον Μιχάλη για τις λύσεις τους και δίνω εν συντομία την δικιά μου, μιας και είναι αρκετά διδακτική.

Το διακεκομμένο κόκκινο τμήμα εύκολα είναι $b-a$, από τα εφαπτόμενα τμήματα $a, b$ και τον δεύτερο κύκλο.

Το κίτρινο τρίγωνο είναι ισοσκελές ...

2024.02.18.FB1419x mathematica.jpg
Έστω τρίγωνο $ABC$ με $\hat{A}=60^\circ$.

Ας είναι $I, O$ το έγκεντρο και το περίκεντρό του αντίστοιχα, και $M, N$ τα μέσα των $AB, AC$.

a. Αν $D=OM\cap{BI}$ και $E=ON\cap{CI}$, δείξτε ότι τα $A, D, E$ είναι συνευθειακά.

b. Αν η $F=AD\cap{BC}$ και $(BF, FC)=(m ...

Έστω τραπέζιο

Κύκλος που διέρχεται από τα εφάπτεται της στο

Κύκλος που διέρχεται από τα εφάπτεται της στο

Αν τα εμβαδά των τετραπλεύρων αντίστοιχα,

δείξτε ότι

Δίνω την κατασκευή του c. χωρίς αιτιολόγηση, που την αφήνω για τους μαθητές ή όποιον θέλει να ασχοληθεί

Θανάση, Καλή και Δημιουργική Χρονιά!
Χαιρετίσματα από την Ισπανία