Η αναζήτηση βρήκε 763 εγγραφές

από sakis1963
Κυρ Αύγ 04, 2019 6:51 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια από συντρέχειες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 421

Re: Συντρέχεια από συντρέχειες

Αφού συγχαρώ τα παιδιά για τις λύσεις τους, οφείλω να πω (μετά από email που έλαβα από τον Jean-Luis Ayme, μεγάλο Γάλλο γεωμέτρη), οτι η όμορφη αυτή συντρέχεια, είναι ειδική περίπτωση ενός πιο γενικού θεωρήματος "AYME'sTHEOREM" ή "FOUR POINTS THEOREM" που οφείλεται στον ίδιο. Το θεώρημα παρουσιάζετα...
από sakis1963
Σάβ Αύγ 03, 2019 1:37 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συντρέχεια από συντρέχειες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 421

Συντρέχεια από συντρέχειες

GEOMETRIA235=FB3391.jpg Ας είναι $A_x B_x C_x$ και $A_y B_y C_y$ τα σεβιανά τρίγωνα δύο τυχαίων σημείων $X, Y$ στο εσωτερικό τριγώνου $ABC$ και έστω 3 κύκλοι που, έκαστος διέρχεται από τα ζεύγη σημείων $(A_x, A_y), (B_x, B_y), (C_x, C_y)$ και εφάπτεται στον περίκυκλο του $ABC$, στα σημεία $A', B', ...
από sakis1963
Πέμ Ιούλ 25, 2019 1:26 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Παραλληλια από σταθερό σημείο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 213

Παραλληλια από σταθερό σημείο

GEOMETRIA234=FB3352.jpg
GEOMETRIA234=FB3352.jpg (44.42 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές
Σε τρίγωνο ABC, έστω D, E, F τα σημεία επαφής του έγκυκλου (I) με της πλευρές του BC, AC, AB αντίστοιχα.

Για P τυχαίο σημείο της BC, οι κύκλοι BPF, CPE επανατέμνονται στο Q.

Αν S\equiv DI\cap PQ, δείξτε οτι AS\parallel BC
από sakis1963
Δευ Ιούλ 15, 2019 10:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Feuerbach πάνω στην διχοτόμο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 473

Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

GEOMETRIA233=FB3311.jpg
GEOMETRIA233=FB3311.jpg (21.53 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Δείξτε ότι, σε σκαληνό τρίγωνο ABC,

\hat{A}=60^o, τότε και μόνο τότε αν, το σημείο Feuerbach του ABC ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας \hat{A}
από sakis1963
Σάβ Μάιος 04, 2019 1:03 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 472

Re: Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

Το παρόν πρόβλημα, συμπεριέλαβε στην συλλογή του Charme Geometrique 1, ο διάσημος Γάλλος γεωμέτρης Jean-Luis Ayme μαζί με ανάλυση και λύση.

Ο σύνδεσμος για την συλλογή, εδώ: Charme Geomtrique 1
.
GEOMETRIA229=FB2548Ayme.jpg
GEOMETRIA229=FB2548Ayme.jpg (105.06 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές
από sakis1963
Παρ Μάιος 03, 2019 11:18 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μετρική σε τρίγωνο 45ο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 408

Re: Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Το παρόν πρόβλημα, συμπεριέλαβε στην συλλογή του $Charme$ $Geometrique$ $1$, ο διάσημος Γάλλος γεωμέτρης $Jean-Luis Ayme$ όπου έδωσε μια ωραιότατη λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα της Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη Στην ίδια συλλογή, συμπεριέλαβε και το πρόβλημα Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους ...
από sakis1963
Παρ Μάιος 03, 2019 11:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μετρική σε τρίγωνο 45ο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 408

Re: Μετρική σε τρίγωνο 45ο

Χρησιμοποιώντας την Ταυτότητα σε τρίγωνο ως λήμμα, έχουμε:

b'=c'=d

a/a'=tan(45/2)=2(\sqrt2-1)

\dfrac{b}{b'}=\dfrac{a}{a'}+\dfrac{c}{c'} \Rightarrow 2(\sqrt2-1)=\dfrac{b}{d}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{b-c}{d}

και τελικά \dfrac{2d}{b-c}=2(\sqrt2-1)
από sakis1963
Παρ Μάιος 03, 2019 3:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τριπλή ισότητα εμβαδών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 320

Re: Τριπλή ισότητα εμβαδών

GEOMETRIA231=FB1923sol.jpg Ξεφεύγοντας λίγο από τον φάκελο, έχουμε: Από το θεώρημα $Mamikon$, τα χωρία $(b)lue=(r)ed$ αφού η εφαπτομένη $NB$ "σαρώνει" το $(b)lue$ χωρίο, για γωνία $60^o$, ενώ η ακτίνα $AN(=NB)$ "σαρώνει" το $(r)ed$ χωρίο (κυκλικό τομέα), για γωνία επίσης $60^o$. Είναι προφανές ότι ...
από sakis1963
Τετ Μάιος 01, 2019 9:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Τριπλή ισότητα εμβαδών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 320

Τριπλή ισότητα εμβαδών

GEOMETRIA231=FB1923.jpg Επειδή, καθώς φαίνεται, παραβίασα τον όρο του μαθητικού 24ώρου, ορίστε μια για μαθητές $\bigstar$ Στο δοσμένο σχήμα το $ABC$ είναι ισόπλευρο, τα $N, L$ είναι τα μέσα των $AB, AC$, το $M$ είναι το μέσον του ελάσσονος τόξου $\overset {\frown}{BC}$ και $KL$ είναι διάμετρος του ...
από sakis1963
Τετ Μάιος 01, 2019 8:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μεταβλητή χορδή-σταθερό γινόμενο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 337

Re: Μεταβλητή χορδή-σταθερό γινόμενο

Προφανώς οι $SM, TN$ ειναι παράλληλες και ισαπέχουσες από το $O$. Αρα προεκτεινόμενες επανατέμνουν τον κυκλο $(O)$ στα $P, Q$ αντίστοιχα και $SP=TQ$, απόπου αφού η $MN$ διέρχεται από το κέντρο $O$ του ορθογωνίου $SPQT$ έχουμε $SM=NQ, MP=TN$ Αρα $SM \cdot TN=SM \cdot MP$ και από θ. τεμνόμενων χορδών ...
από sakis1963
Τετ Μάιος 01, 2019 1:53 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριχοτόμος διάμεσος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 444

Re: Τριχοτόμος διάμεσος

1-5-2019 1-19-40 -2.jpg ... και για να το τελειώσουμε με την γεωμετρική κατασκευή του σχήματος, έχουμε : $MC=\sqrt{a^2+R^2}$, $a^2(a^2+R^2)=4R^2$ και αν $a^2=bR$ έχουμε $b(b+R)=4R^2$ Γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο $BD \perp AB$ και κέντρο $I$. Η $AI$ επανατέμνει τον $(I)$ στα $K, N$ όπου $AK=b<AN$ ...
από sakis1963
Τρί Απρ 30, 2019 10:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Τριχοτόμος διάμεσος
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 444

Re: Τριχοτόμος διάμεσος

Χρόνια πολλά, Γιώργο! GEOMETRIA Τριχοτόμος Διάμεσος.jpg Αν θέλουμε να το πάμε ένα βήμα παραπέρα και να ζητήσουμε και το λόγο $\lambda=\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{a}{R}$, τότε από την ομοιότητα των τριγώνων $CAE, MBE$ έχουμε $\dfrac{a}{R}=\dfrac{\sqrt{4R^2-a^2}}{a}$ που μετά τις πράξεις μας δίνει $\lambda...
από sakis1963
Δευ Απρ 29, 2019 7:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Αγίου Γεωργίου
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 811

Re: Αγίου Γεωργίου

Χρόνια πολλά, ανθηρά και δημιουργικά σε όλους τους εορτάζοντες του :logo:

Ειδικότερα στους φίλους Γιώργο Βισβίκη, Γιώργο Μήτσιο, Γιώργο Ρίζο, Γιώργο Μπαλόγλου

Θάνος Καλογεράκης
από sakis1963
Κυρ Απρ 28, 2019 9:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'
Θέμα: Μετρική σε τρίγωνο 45ο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 408

Μετρική σε τρίγωνο 45ο

GEOMETRIA230=FB2563.png
GEOMETRIA230=FB2563.png (34.97 KiB) Προβλήθηκε 408 φορές
Εστω τρίγωνο ABC, \hat{A}=45^o με AB=c<AC=b

Αν d η απόσταση του μέσου M του μείζονος τόξου \overset {\frown} {BC} από την AC,

δείξτε ότι: \dfrac{2d}{b-c}=\sqrt2+1

Υπάρχουν αρκετές λύσεις. Για να δούμε...
από sakis1963
Κυρ Απρ 28, 2019 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 472

Συνευθειακότητα σε τεμνόμενους κύκλους

GEOMETRIA229=FB2548.jpg Οι κύκλοι $(K), (O)$ τέμνονται στα σημεία $A, M$. Η εφαπτομένη του $(O)$ στο $A$, τέμνει τον $(K)$ στο $B$, ενώ η εφαπτομένη του $(K)$ στο $A$, τέμνει τον $(O)$ στο $C$. Αν $P$ είναι το συμμετρικό του $B$ ως προς $M$ και η δια του $M$ παράλληλη της $AP$ επανα-τέμνει τον $(O)...
από sakis1963
Κυρ Απρ 28, 2019 8:23 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία στον περίκυκλο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 375

Παραλληλία στον περίκυκλο

GEOMETRIA228=FB2823b.jpg Εστω τρίγωνο $ABC$ και $(w)$ ο περίκυκλός του. Κύκλος δια του $A$ τέμνει τις $AB, AC$ και τον $(w)$ στα $S, T, X$ αντίστοιχα Δεύτερος κύκλος δια του $A$ τέμνει τις $AB, AC$ και τον $(w)$ στα $P, Q, Y$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι $XY \parallel BC$, τότε και μόνο τότε αν, $BS \cdo...
από sakis1963
Κυρ Απρ 28, 2019 7:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Αμφιγράψιμο από αμφιγράψιμο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 350

Αμφιγράψιμο από αμφιγράψιμο

GEOMETRIA226=FB2977.jpg
GEOMETRIA226=FB2977.jpg (58.79 KiB) Προβλήθηκε 350 φορές
Εστω αμφιγράψιμο τετράπλευρο ABCD και P το συμμετρικό του A ως προς την BD.

Αν Q\equiv DP \cap BC και R\equiv BP \cap DC,

δείξτε ότι, το τετράπλευρο PQCR, είναι επίσης αμφιγράψιμο.
από sakis1963
Κυρ Απρ 28, 2019 7:48 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Τριπλή ισότητα σε ισόπλευρο
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 253

Τριπλή ισότητα σε ισόπλευρο

GEOMETRIA225=FB2977.jpg
GEOMETRIA225=FB2977.jpg (30.22 KiB) Προβλήθηκε 253 φορές
Εστω ισόπλευρο τρίγωνο ABC.

Βρείτε (γεωμετρικά ει δυνατόν), σημείο E στον περίκυκλο του ABC και σημείο D στον κύκλο με διάμετρο AC,

τέτοια ώστε BE=ED=DC
από sakis1963
Δευ Απρ 22, 2019 2:05 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 342

Παραλληλία σε πλήρες τετράπλευρο

GEOMETRIA225=FB2942b.jpg Εστω κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ και οι επιπλέον κορυφές του πλήρους, $P\equiv AB \cap DC$ και $Q\equiv AD \cap BC$ Ας είναι επίσης $K, M$ τα μέσα των διαγωνίων του $AC, BD$ αντίστοιχα. Αν $L\equiv QM \cap PK$ και $N\equiv QK \cap PM$, δείξτε ότι: a. $LN\parallel PQ$ b. το $KL...
από sakis1963
Κυρ Απρ 21, 2019 11:55 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Διχοτόμηση διαγωνίου
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 257

Διχοτόμηση διαγωνίου

GEOMETRIA224=FB2966.jpg Εστω δυο ίσοι κύκλοι $(w1), (w2)$ με κοινή χορδή $AC$, και σημεία $B, D$ που ανήκουν στα ελάσσονα τόξα $\overset{\frown}{AC}$ των $(w2), (w1)$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι, το κοινό εφαπτόμενο τμήμα $PQ$ (διαφορετικό από την $AC$), των εγκύκλων των τριγώνων $ABC, ADC$, διχοτομεί τ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση