Η αναζήτηση βρήκε 829 εγγραφές

από sakis1963
Κυρ Απρ 07, 2024 8:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γεωμετρία και Διαιρετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 171

Γεωμετρία και Διαιρετότητα

2024.04.07 mathematica.jpg
2024.04.07 mathematica.jpg (42.88 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Στο τετράγωνο του σχήματος, αν τα τμήματα a, b είναι περιττοί αριθμοί με a> b\geq 3,

δείξτε ότι το εμβαδόν S, του σκιασμένου τριγώνου είναι άρτιος αριθμός
από sakis1963
Κυρ Φεβ 18, 2024 2:29 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα από εφαπτόμενα τμήματα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 578

Re: Ανισότητα από εφαπτόμενα τμήματα

2023.12.30.FB13936 sol3.jpg Ευχαριστώ τον Γιώργο και τον Μιχάλη για τις λύσεις τους και δίνω εν συντομία την δικιά μου, μιας και είναι αρκετά διδακτική. Το διακεκομμένο κόκκινο τμήμα εύκολα είναι $b-a$, από τα εφαπτόμενα τμήματα $a, b$ και τον δεύτερο κύκλο. Το κίτρινο τρίγωνο είναι ισοσκελές, από ...
από sakis1963
Κυρ Φεβ 18, 2024 12:39 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακότητα και λόγοι τμημάτων
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 217

Συνευθειακότητα και λόγοι τμημάτων

2024.02.18.FB1419x mathematica.jpg Έστω τρίγωνο $ABC$ με $\hat{A}=60^\circ$. Ας είναι $I, O$ το έγκεντρο και το περίκεντρό του αντίστοιχα, και $M, N$ τα μέσα των $AB, AC$. a. Αν $D=OM\cap{BI}$ και $E=ON\cap{CI}$, δείξτε ότι τα $A, D, E$ είναι συνευθειακά. b. Αν η $F=AD\cap{BC}$ και $(BF, FC)=(m, n)...
από sakis1963
Παρ Ιαν 26, 2024 11:58 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Λόγος εμβαδών σε τραπέζιο
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 137

Λόγος εμβαδών σε τραπέζιο

2024.01.25.FB1411x mathematica.jpg
2024.01.25.FB1411x mathematica.jpg (33.99 KiB) Προβλήθηκε 137 φορές
Έστω τραπέζιο ABCD, AB=a//CD=b

Κύκλος που διέρχεται από τα B, C εφάπτεται της AD στο P

Κύκλος που διέρχεται από τα A, D εφάπτεται της BC στο Q

Αν A, B τα εμβαδά των τετραπλεύρων ABQP, CDPQ αντίστοιχα,

δείξτε ότι \cfrac{A}{B}=\cfrac{a}{b}
από sakis1963
Πέμ Ιαν 04, 2024 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέσσερις κατασκευές τριγώνου μόνο με τον κανόνα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 812

Re: Τέσσερις κατασκευές τριγώνου μόνο με τον κανόνα

AD-symmedian mathematica.jpg
AD-symmedian mathematica.jpg (34.8 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές
Δίνω την κατασκευή του c. χωρίς αιτιολόγηση, που την αφήνω για τους μαθητές ή όποιον θέλει να ασχοληθεί
από sakis1963
Τρί Ιαν 02, 2024 8:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 90
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 411

Re: Μεγάλες κατασκευές 90

Θανάση, Καλή και Δημιουργική Χρονιά!
Χαιρετίσματα από την Ισπανία
Capture1.JPG
Capture1.JPG (91.55 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές
Capture2.JPG
Capture2.JPG (55.91 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές
Capture3.JPG
Capture3.JPG (78.06 KiB) Προβλήθηκε 348 φορές
από sakis1963
Σάβ Δεκ 30, 2023 1:03 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα από εφαπτόμενα τμήματα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 578

Ανισότητα από εφαπτόμενα τμήματα

2023.12.30.FB13936 mathematica.jpg
2023.12.30.FB13936 mathematica.jpg (15.19 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές
Για τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος,

δείξτε την ανισότητα : c² \geq a \cdot b
από sakis1963
Δευ Δεκ 25, 2023 9:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συμμετροδιάμεσος και μέση ανάλογος από κυκλοεπαφή
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 419

Συμμετροδιάμεσος και μέση ανάλογος από κυκλοεπαφή

2023.12.15.FB13902 mathematica.jpg Έστω τρίγωνο $ABC$, $AD$ το ύψος του και $O$ το περίκεντρό του. Αν $Q$ το σημείο τομής των εφαπτόμενων στον κύκλο $(A, AD)$ που διέρχονται από τα $B, C$, δείξτε οτι: i. ο περίκυκλος $(w)$ του $QBC$, διέρχεται από το $O$ Αν $(u)$ ο κύκλος που εφάπτεται στις $QB, QC...
από sakis1963
Δευ Δεκ 25, 2023 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ιδιότητα Αρμονικού Τετραπλεύρου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 363

Re: Ιδιότητα Αρμονικού Τετραπλεύρου

2023.12.15.FB138xx mathematica2.jpg Ας είναι $u=AX=YB$ και $(AB, BC, CD, DA)=(a, b, c, d)$ Τότε $XY=a(3-2√2)=a(√2-1)²$ και $u=(a-XY)/2=a(√2-1)$ Από $"Haruki"$ λήμμα 2, έχουμε: $c \cdot u²=XY \cdot b \cdot d$ και αντικαθιστώντας τα $u, XY$ έχουμε $a \cdot c=b \cdot d$ που σημαίνει ότι το $ABCD$ είνα...
από sakis1963
Παρ Δεκ 15, 2023 11:40 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ιδιότητα Αρμονικού Τετραπλεύρου
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 363

Ιδιότητα Αρμονικού Τετραπλεύρου

2023.12.15.FB138xx mathematica.jpg Έστω κύκλος $(O)$, μια χορδή του $AB=a$ και $K$ το μέσον της. Ο κύκλος με κέντρο $K$ και διάμετρο ίση με $a(3-2√2)$, τέμνει την χορδή στα σημεία $X, Y$ ($X$ πιο κοντά στο $A$). Αν $P$, τυχαίο σημείο του $(O)$, διάφορο από τα $A, B$ και $C\equiv PY\cap (O)$, $D\equ...
από sakis1963
Τρί Οκτ 17, 2023 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Επαφή στον περίκυκλο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 723

Επαφή στον περίκυκλο

2022.021.FB9531 Mathematica.jpg
2022.021.FB9531 Mathematica.jpg (61.07 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές
Έστω τρίγωνο ABC, (O) ο περίκυκλός του και (I) ο έγκυκλός του.

Ας είναι επίσης D το σημείο επαφής του έγκυκλου με την BC και M, N τα μέσα των AB, AC αντίστοιχα.

Αν K=DI\cap MN, δείξτε ότι ο κύκλος (K, KD) εφάπτεται του περίκυκλου (O)
από sakis1963
Παρ Οκτ 06, 2023 8:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συμμετροδιάμεσος από τριπλή επαφή
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 409

Συμμετροδιάμεσος από τριπλή επαφή

Crux4879.jpg Εστω τρίγωνο $ABC$ και η διχοτόμος $AD$. Ας είναι $\Gamma, \Gamma1, \Gamma2$ οι περίκυκλοι των τριγώνων $ABC, ADB, ADC$ αντίστοιχα. Ας είναι επίσης $\Omega1$ ο κύκλος που εφάπτεται εξωτερικά με τους $\Gamma, \Gamma1, \Gamma2$ και $\Omega2$ ο κύκλος που εφάπτεται εξωτερικά με τους $\Gam...
από sakis1963
Σάβ Ιούλ 15, 2023 8:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Τέσσερις κατασκευές τριγώνου μόνο με τον κανόνα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 812

Re: Τέσσερις κατασκευές τριγώνου μόνο με τον κανόνα

AD-median mathematica.png
AD-median mathematica.png (89.1 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές
Δίνω την κατασκευή του b. χωρίς αιτιολόγηση, που την αφήνω για τους μαθητές ή όποιον θέλει να ασχοληθεί
από sakis1963
Κυρ Μάιος 21, 2023 11:53 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Στον Βαγγέλη Ψύχα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 557

Στον Βαγγέλη Ψύχα

2022.038.FB9898 mathematica.png
2022.038.FB9898 mathematica.png (67.38 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές
Εστω τετράπλευρο ABCD με \angle B =\angle C

και σημείο P\equiv (A,AB)\cap (D,DC) (στο εσωτερικό του)

Αν S\equiv DP\cap AB και  T\equiv AP\cap CD, δείξτε οτι:

α. SP+TC=BS+PT

c. οι διχοτόμοι των γωνιών \angle BSP, \angle SPT, \angle PTC, συντρέχουν
από sakis1963
Κυρ Μάιος 21, 2023 11:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ισοδυναμία σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 396

Ισοδυναμία σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο

2022.007.9278 Quadrilateral Complete mathematica.PNG Εστω, εγγεγραμμένο τετράπλευρο $ABCD$, σε κύκλο κέντρου $O$, $P\equiv AB\cap CD$, $Q\equiv AD\cap BC$, $M\equiv AC\cap BD$ και $N$ το μέσον του $PQ$ α. Δείξτε οτι $OP=OQ$ τότε και μόνον τότε αν $O, M, N$ είναι συνευθειακά β. Βρείτε έναν τρόπο κατ...
από sakis1963
Τρί Μάιος 16, 2023 6:14 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΧΕ ΛΥΤΕΣ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1135

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΧΕ ΛΥΤΕΣ

... άλλη μια λύση από τον φίλο Kousik Sett
FB12570sol2.jpg
FB12570sol2.jpg (188.31 KiB) Προβλήθηκε 809 φορές
από sakis1963
Τρί Μάιος 16, 2023 10:37 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΧΕ ΛΥΤΕΣ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 1135

Re: ΕΝΑ ΘΕΜΑ ΠΟΥ ΔΕΝ ΕΙΧΕ ΛΥΤΕΣ

Επειδή μου κίνησε το ενδιαφέρον το πόσταρα στους Ρομαντινούς (FB) και ιδού η "μελέτη" από τον φίλο Francisco Javier García Capitán (δυστυχώς στα αγγλικά)
FB12570sol.jpg
FB12570sol.jpg (105.18 KiB) Προβλήθηκε 935 φορές
από sakis1963
Σάβ Μάιος 13, 2023 11:59 am
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συνάντηση στον έγκυκλο
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 362

Συνάντηση στον έγκυκλο

2023.05.13.FB12535 mathematica.jpg
2023.05.13.FB12535 mathematica.jpg (49.24 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
Εστω τρίγωνο ABC και δύο κύκλοι στο εσωτερικό του τριγώνου,

εκ των οποίων ο ένας εφάπτεται στις AB, BC και ο άλλος στις AC, BC.

Αν PQ το κοινό τους εφαπτόμενο τμήμα (διάφορο της BC),

δείξτε οτι οι BP, CQ τέμνονται επί του έγκυκλου του ABC
από sakis1963
Τρί Μάιος 09, 2023 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κύκλος εφάπτεται πλευράς τριγώνου
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 821

Re: Κύκλος εφάπτεται πλευράς τριγώνου

Ενα επιπλέον ερώτημα:

Ας είναι (O) ο περίκυκλος του ABC, (K) ο περίκυκλος του MNS και T το δεύτερο σημείο τομής των (O), (K)

Ας είναι επίσης L\equiv AT\cap (K), U \equiv ML\cap AB και V\equiv ML\cap AC

Δείξτε οτι οι κύκλοι (UMQ), (PMV) αποτέμνουν ίσα τμήματα στην BC
από sakis1963
Δευ Μάιος 08, 2023 2:46 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κατασκευή ενός εκ των πολλών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 398

Re: Κατασκευή ενός εκ των πολλών

2023.03.16.FB12014a sol mathematica.png Δίνω την κατασκευή (ενός τριγώνου εκ των πολλών) χωρίς αιτιολόγηση (που είναι και ουσία του προβλήματος), που την αφήνω ως άσκηση. Έστω τυχαίο σημείο $P$ της $BC$ Οι κύκλοι $(B, BP), (C, CP)$ επανατέμνουν την $BC$ στα $B', C'$ αντίστοιχα Φέρω τις εφαπτόμενες ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση