Χαίρετε,

διάβασα ότι οι σειρές Fourier μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην επίλυση προβλημάτων αρχικών τιμών με περιοδικούς όρους εξαναγκασμού.
Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το παρακάτω:

Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών

$y''+\omega^2 y=\sin{nt}, y(0)=0, y'(0)=0$,

όπου $n \in \mathbb{N ...

Μπορείτε να μου προτείνετε ένα καλό βιβλίο στο οποίο υπάρχει η απάντηση, ώστε να τη διαβάσω;

Όλα τα βιβλία με τίτλο "Εισαγωγή σε Διαφορικές Εξισώσεις με Μερικές Παραγώγους " ή παρεμφερή, όπως και τα ξένα αντίστοιχα με τίτλο 'Introduction to Partial Differential Equations" αναφέρονται εκτενώς ...

Αυτό ίσως σε βοηθήσει.
https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation
Γενικά δεν είναι εύκολο να σου απαντήσει κάποιος από εδώ γιαυτό το πρόβλημα.
Υπάρχουν βιβλία στα οποία υπάρχει η απάντηση.
Φυσικά για να καταλάβεις την απάντηση πρέπει να έχεις την κατάλληλη υποδομή.

Μπορείτε να μου προτείνετε ...

Πώς μπορούμε να βρούμε τη λύση; Ποια μέθοδο χρησιμοποιούμε; Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη λύση του αντίστοιχου προβλήματος με ;

Mihalis_Lambrou έγραψε:

Ειρήνη 33 έγραψε: για μη σταθεροποιημένη σταθερά ;

Τι ακριβως εννοείς με το παραπάνω;

Εννοώ εάν δεν είναι γνωστή η σταθερά .

Χαίρεται,

αναρωτιέμαι πως μπορεί να βρεθεί η λύση του παρακάτω προβλήματος σε κλειστή μορφή.

$u_t- \Delta{u}+cu=f(t,x)$ στο $(0,T) \times \mathbb{R}^n$
$u(0,x)=\phi(x)$ για $x \in \mathbb{R}^n$
όπου $c \in \mathbb{R}$ μια σταθερά.

Ή δεν υπάρχει γενική λύση λύση για μη σταθεροποιημένη σταθερά $c ...

Χαίρετε.

Έστω ένας δακτύλιος και ιδεώδες του.
Θεωρούμε την ακολουθία ιδεωδών του , .
Θεωρούμε επίσης την ακολουθία ιδεωδών του , .
Ποιά μορφή έχουν τα ιδεώδη ?

Ευχαριστώ πολύ!

Χαίρετε.

Έστω $T$ η γραμμική απεικόνιση από το $\mathbb{R}^2$ στο $\mathbb{R}^2$ που δίνεται από την προβολή στον $y$-άξονα.
Έστω $V$ ένας διανυσματικός υπόχωρος διάστασης $1$.
Τότε το $V$είναι μια ευθεία, άρα είναι της μορφής $\{t(x,y) : t\in \mathbb{R}\}=\mathbb{R}(x,y)$.
Για να ισχύει $T(V ...

Πώς βρίσκουμε τις συναρτήσεις; Κόλλησα τώρα. Παίρνουμε συνθέσεις των άλλων συναρτήσεων;

Μήπως παίρνουμε ;

Πώς βρίσκουμε το ; Δεν έχω κάποια ιδέα...

Πώς προκύπτει ότι $k\circ \alpha (a) = 0_D$ για κάθε $a\in A$ και $\delta \circ k(b) = 0_E$ για κάθε $b \in B$ ;

Είναι άμεσο από δεδομένα που έχεις ήδη γράψει στην ίδια ανάρτηση.

Έχουμε ότι $\alpha (a)\in \text{Im}\alpha=\ker k\Rightarrow k(\alpha (a))=0_D$ και ανάλογα για την δεύτερη σχέση ...

Γνωρίζεις επίσης ότι $k\circ \alpha = \mathrm{id}_A$ και $\delta \circ k = \mathrm{id}_B$.


Γιατί ισχύουν αυτές οι δύο σχέσεις;

Συγνώμη. Από τον ορισμό των short exact sequences οι δυο συναρτήσεις είναι μηδενικές. Κατά λάθος έγραψα ταυτοτικές.

Έχουμε την ακριβή ακολουθία $0\rightarrow A ...

Demetres έγραψε:Γνωρίζεις επίσης ότι και .

Γιατί ισχύουν αυτές οι δύο σχέσεις;

Χαίρετε.

Έστω $R$ ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Έδειξα ότι αν $0\rightarrow A\rightarrow B\overset{f}{\rightarrow} C\rightarrow 0$ και $0\rightarrow C\overset{g}{\rightarrow} D\rightarrow E\rightarrow 0$ είναι ακριβείς ακολουθίες από $R$-modules τότε και η $0\rightarrow A\rightarrow B ...

Χαίρετε!

Έστω ένα σωματίδιο αναγκασμένο να κινείται πάνω στη σφαίρα $x^2+y^2+z^2=1$ , το οποίο υπόκειται σε δυνάμεις βαρύτητας καθώς και σε ένα πρόσθετο δυναμικό $V(x,y,z)=x+y$. Θέλω να βρω τα ευσταθή σημεία ισορροπίας.


Τι εννοείται με δυναμικό;

Πώς μπορώ να βρώ όλες τις δυνάμεις που ασκούνται ...

Έχουμε ότι $\displaystyle{F\cong R^{n}$ ως $\displaystyle{R}$ - πρότυπα. Άρα,

λόγω μεταθετικότητας του $\displaystyle{R}$ , έχουμε ισομορφισμούς $\displaystyle{R}$ - προτύπων

$\displaystyle{\begin{aligned} \rm{Hom}_{R}(F,M)&\cong \rm{Hom}_{R}(R^n,M)\\&\cong \prod_{i=1}^{n} \rm{Hom}_{R}(R,M ...

η απεικόνιση $\displaystyle{\Phi:\rm{Hom}_{R}(R,M)\to M\,,f\mapsto \Phi(f)=f(1_{R})$

είναι ισομορφισμός $\displaystyle{R}$ - προτύπων.

Για να δείξουμε ότι η απεικόνιση αυτή είναι ισομορφισμός κάνουμε τα εξής;

Έστω $f,g\in \text{Hom}_R(R,M)$.
Έχουμε ότι
$\\ \Phi (f+g)=(g+g)(1_R)=f(1_R)+g(1_R ...

Χαίρετε.

Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα και ένα -module.
Αν είναι ελεύθερο -module με rank , πώς μπορούμε να δείξουμε ότι ( φορές) ;
Μπορείτε να μου δώσετε μία ιδέα;