Η αναζήτηση βρήκε 131 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Πέμ Δεκ 16, 2021 12:40 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Aκέραια συνάρτηση
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 762
Re: Aκέραια συνάρτηση
Μια λύση που αποφεύγει την απ' ευθείας χρήση του θεωρήματος Liouville (μιας και στη συνήθη γραφή του αναφέρεται σε ακέραιες και φραγμένες κατά μέτρο συναρτήσεις): Η $f$ είναι ακέραια οπότε γράφεται σε σειρά Taylor: $\displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}z^n$, $\forall z\in\ma...
- Παρ Μαρ 05, 2021 12:17 am
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ισότητα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 523
Re: Ισότητα
$\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\right)=\left[\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\...
- Τρί Δεκ 17, 2019 8:35 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
- Απαντήσεις: 389
- Προβολές: 128393
Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 11 Υπολογίστε το : $\displaystyle \int \frac{dx}{2+\sqrt{4x}}$ Υπολογίστε το : $\displaystyle \lim\limits _{n \to +\infty}\int_{n^2}^{(n+1)^2}\frac{dx}{2+\sqrt{4x}}$ Θέτουμε $\displaystyle u=\sqrt{x}\Leftrightarrow x=u^2$, οπότε $\displaystyle dx=2udu$ και έχουμε: $\displaystyle \int \dfrac{...
- Δευ Δεκ 16, 2019 1:09 am
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
- Απαντήσεις: 389
- Προβολές: 128393
Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Άσκηση 6 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle{\int \dfrac {e^x- \cos x}{e^x- \cos x - \sin x} \, dx}}$ Αρκετά πονηρή. Αν δεν την δεις σωστά, μπορεί να σε παιδέψει. $\displaystyle \mathcal{I}=\int \dfrac{e^x-\cos x}{e^x-\cos x-\sin x}\, dx=\int \dfrac{\left(e^x-\cos x-\sin x\rig...
- Δευ Νοέμ 04, 2019 7:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Πεντάλφα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 819
Re: Πεντάλφα
Ας προσπαθήσουμε τώρα να βρούμε λύση στην οποία να εμφανίζονται 10 μη επικαλυπτόμενα τρίγωνα και όχι άλλα σχήματα (ούτε εγώ ξέρω πως να το κάνω αυτό.)
- Δευ Νοέμ 04, 2019 6:22 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Πεντάλφα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 819
Re: Πεντάλφα
Μία πεντάλφα αποτελείται από έξι μη επικαλυπτόμενα σχήματα: πέντε τρίγωνα και ένα (το εσωτερικό) πεντάγωνο. Μπορούμε να φέρουμε δύο ευθείες έτσι, ώστε στο σχήμα που θα προκύψει να υπάρχουν δέκα μη επικαλυπτόμενα τρίγωνα; Εάν επιτρέπεις εκτός από τα $10$ μη επικαλυπτόμενα τρίγωνα να υπάρχουν και άλλ...
- Δευ Νοέμ 04, 2019 2:49 pm
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Πεντάλφα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 819
- Πέμ Οκτ 24, 2019 4:26 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ
- Θέμα: Μηδενικό γινόμενο πινάκων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 1050
Μηδενικό γινόμενο πινάκων
Έστω δύο $\displaystyle{n\times n}$ πίνακες $\displaystyle{A,B\in\mathcal{M}_n\left(\mathbb{R}\right)}$ τέτοιοι, ώστε $\displaystyle{A^2=A}$, $\displaystyle{B^2=B}$ και $\displaystyle{\left(A+B\right)^2=A+B}$. Να δείξετε ότι $\displaystyle{AB=-BA=\mathbb{O}}$. (Γραμμική Άλγεβρα και Αναλυτική Γεωμετρ...
- Τετ Οκτ 09, 2019 2:08 am
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Τετραψήφιος ανάποδα
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 955
Re: Τετραψήφιος ανάποδα
Γενικεύοντας:
Να δειχθεί ότι οι μόνοι τετραψήφιοι οι οποίοι διαιρούν τους "ανάποδούς" τους , είναι αυτοί οι δύο αριθμοί που βρέθηκαν παραπάνω.
Να δειχθεί ότι οι μόνοι τετραψήφιοι οι οποίοι διαιρούν τους "ανάποδούς" τους , είναι αυτοί οι δύο αριθμοί που βρέθηκαν παραπάνω.
- Τετ Οκτ 09, 2019 2:03 am
- Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
- Θέμα: Τετραψήφιος ανάποδα
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 955
- Παρ Αύγ 09, 2019 8:59 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ορισμένο ολοκλήρωμα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 1261
Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα
Για να αποφύγουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση: Θέτοντας $y=\sqrt{\left(x-7\right)\left(19-x\right)}$ μετά από πράξεις βρίσκουμε $\left(x-13\right)^2+y^2=6^2$, που παριστάνει κύκλο με κέντρο $K\left(13,0\right)$ και ακτίνα $r=6$. Ο κύκλος τέμνει τον άξονα $x'x$ στα σημεία $A\left(7,0\right)$ και...
- Δευ Μάιος 20, 2019 7:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- Θέμα: Οριο ακολουθίας
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1508
Re: Οριο ακολουθίας
Σε αυτό το σημείο έγκειται και η αβεβαιότητα για την ορθότητα της λύσης μου.ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Μάιος 20, 2019 7:28 pm
Η δεξιά ανισότητα είναι σωστή.
Η αριστερή έχει πρόβλημα.
Ισχύει για αν
Το πρόβλημα είναι αν
- Δευ Μάιος 20, 2019 7:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- Θέμα: Οριο ακολουθίας
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1508
Re: Οριο ακολουθίας
Δεν είμαι απολύτως σίγουρος για την ορθότητα της λύσης: Έστω $a=\sup a_n$. Προφανώς, αφού $a_n>0\ \forall n\in\mathbb{N}$, είναι $a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_n^n\leqslant na^n\Leftrightarrow a\leqslant b_n\leqslant a\sqrt[n]{n}$. Όμως, $\lim a=a$ και $\lim\left(a\sqrt[n]{n}\right)=a\lim\sqrt[n]{n...
- Κυρ Μάιος 19, 2019 1:11 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- Θέμα: Όριο με ρίζα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 953
Re: Όριο με ρίζα
Έστω $a=\max\left\lbrace a_i\right\rbrace$. Προφανώς, αφού $a_i>0$, ισχύει: $a^n\leqslant a_1^n+a_2^n+...+a_k^n\leqslant ka^n\Leftrightarrow a\leqslant\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+...+a_k^n}\leqslant a\sqrt[n]{k}$. Όμως, $\lim a=a$ και $\lim\left(a\sqrt[n]{k}\right)=a\cdot\lim k^{1/n}=a$. Επομένως, από το κ...
- Πέμ Μαρ 14, 2019 1:36 am
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Μοναδική ρίζα
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1103
Re: Μοναδική ρίζα
Λίγο διαφορετικά: Για κάθε $x\in\mathbb{R}$ έχουμε: $f'\left(x\right)>1 \Leftrightarrow \left(f\left(x\right)-x\right)'>0$, δηλαδή η συνάρτηση $g\left(x\right)=f\left(x\right)-x$ είναι γνησίως αύξουσα. Οπότε, για $x>0$ είναι: $g\left(x\right)>g\left(0\right)\Leftrightarrow f\left(x\right)>x+f\left(0...
- Πέμ Μαρ 14, 2019 1:29 am
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Μοναδική ρίζα
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1103
Re: Μοναδική ρίζα
αφου το $x>0$ πως παίρνεις το όριο στο $-\infty$; Αν $x<0$, κάνοντας ΘΜΤ στο $\left(x,0\right)$ έχουμε ότι υπάρχει $\xi\in\left(x,0\right)$ τέτοιο, ώστε $f'\left(\xi\right)=\dfrac{f\left(0\right)-f\left(x\right)}{0-x}\Leftrightarrow f\left(x\right)=xf'\left(\xi\right)+f\left(0\right)$ (δηλαδή η ίδι...
- Πέμ Μαρ 14, 2019 12:28 am
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Μοναδική ρίζα
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 1103
Μοναδική ρίζα
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ με $f'\left(x\right)>1$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Να δείξετε ότι η $f$ έχει μοναδική πραγματική ρίζα. Λύση Επειδή $f'\left(x\right)>0$, η $f$ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε θα έχει το πολύ μία ρίζα. Σύμφωνα με το ΘΜΤ, για κάθε $x>0$, υπά...
- Παρ Φεβ 08, 2019 5:43 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ισότητα ολοκληρωμάτων
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 1757
Ισότητα ολοκληρωμάτων
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,+\infty\right)$ τέτοια, ώστε $\displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)dx=\int_0^1x^2f\left(x\right)dx=1$. Η λύση: Γενικά, αποδεικνύεται ότι, αν $f:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,+\infty)$ σ...
- Παρ Φεβ 08, 2019 4:36 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- Θέμα: Ολοκληρωτική εξίσωση
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 874
Ολοκληρωτική εξίσωση
Να προσδιοριστεί συνεχής συνάρτηση τέτοια, ώστε , για κάθε .
Μέχρι 12/02/2019
Μέχρι 12/02/2019
- Δευ Ιαν 21, 2019 12:45 pm
- Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Επίλυση εξίσωσης
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 1558
Re: Επίλυση εξίσωσης
Πρέπει $\displaystyle x>1$. 'Εχουμε: $\displaystyle {\int_e^x \dfrac{1}{t\ln t}} dt=e-x\Leftrightarrow {\int_e^x \dfrac{1}{t\ln t}} dt={\int_x^e 1} dt\Leftrightarrow {\int_e^x \left(\dfrac{1}{t\ln t}+1\right)} dt=0$. Όμως, ισχύει: $\displaystyle \dfrac{1}{t\ln t}+1>0$, $\displaystyle \forall t>1$. Ο...