Μια διαφορετική προσέγγιση για το δεύτερο θέμα: Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $\displaystyle{b > c}$. Σαν πολυώνυμο ως προς το $\displaystyle{a}$ η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{a^2 + (b + c)a - (b^2 + c^2 + bc) = 0}$ Με $\displaystyle{\Delta = (b + c)^2 + 4(b^2 + c^2 + bc) = (b-c)^2 + [2(b+c)...

Καλησπέρα, έδινα σήμερα και τα θέματα μου φάνηκαν αρκετά πρωτότυπα μακριά από συνηθισμένες μεθοδολογίες ήδη από το Θέμα Α (!). Τα έγραψα όλα αλλά στο Δ έβαλα $\displaystyle{f'(x) = \frac{4x^{1/3}}{3} , -1\leq x<0}$. Μετά την έβγαλα φθίνουσα εκεί αλλά παντού βλέπω ακροβατικά για να βγάλουν άλλη παράγ...

Edit: Λάθος Λύση Υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις με αυτές τις προϋποθέσεις, π.χ. η $f(x)=x^{2017}$ Έστω $\displaystyle{x_{0} \in (0,1)}$ με $\displaystyle{f(x_{0}) \neq x_{0}}$ και προφανώς $\displaystyle{f(x_{0}) \in (0,1)}$ αφού η $\displaystyle{f}$ γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[0,1]}$. Ακόμη ...

Καλησπέρα στο :logo: , Θα ήθελα να ρωτήσω σχετικά με τα σημεία καμπής από την ύλη που διδάσκεται στην Γ Λυκείου. Σύμφωνα με το σχολικό αν για μια συνάρτηση $\displaystyle{f(x)}$ συνεχή στο $\displaystyle{D_{f}}$, παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ του πεδίου ορισμού της με εξαίρεση...

Για $\displaystyle{x>1}$ έχουμε : $\displaystyle{(3-1)(3^{x-1} + 3^{x-2} + ...+1 )= 2^{x}y\Leftrightarrow 3^{x-1} + 3^{x-2} + ...+1 = 2^{x-1}y}$ Όμως : $\displaystyle{LHS \equiv 0 (mod\: 2)\Leftrightarrow (x-1)*1 +1 \equiv 0 (mod\: 2)\Leftrightarrow x=2k , k\in \mathbb{N}}$ Άρα η εξίσωση γράφεται : ...

Άσκηση 9 Seniors Η ακολουθία $a_{n}$ , $n\ge 1$ ορίζεται από την σχέση: $na_{n}+3=3n+a_{n+1}$ με $a_{1}=4$. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $c$ που είναι τέτοιοι ώστε: Αν $p\in\mathbb{P}$ και $p|c$ τότε $p|a_{c}$ Καλησπέρα, ωραία ασκησούλα! $\displaystyle{a_{n+1}-3=n(a_{n}-3)=n(n-1)(a_{n-1}-3)=...

Η εξίσωση γράφεται : $\displaystyle{p^3 + p^2 + p + 1 = (p-1)!(p+1)\cdots (p+n)}$ $\displaystyle{n\geq 3 \Rightarrow (p+1)(p+2)(p+3)= p^3 + 6p^2 + 11p + 6 \mid p^3 + p^2 + p + 1}$ ΑΤΟΠΟ Άρα από $\displaystyle{Wilson}$ έχουμε τις περιπτώσεις : $\displaystyle{1 \equiv -2 (mod\; p)\: or\: 1\equiv -1 (m...

καλησπέρα στο :logo: , Πρόσφατα αντιμετωπίσαμε στο σχολείο την άσκηση 7α σελίδα 200 από το σχολικό κατεύθυνσης: $\displaystyle{x^2 + f^2(x) = 1}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [-1,1]}$. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{f(x)=0}$ Πρώτη λύση: Αξιοποιώντας την δοθείσα σχέση έχουμε : $\disp...

Έστω $\displaystyle{S_1,S_2,...,S_2_0_1_7}$ τα εμβαδά των σχημάτων. $\displaystyle{2016S < S_1 + S_2 +...+S_2_0_1_7 \Rightarrow (S-S_1) + (S-S_2)+...+(S-S_2_0_1_7)<S}$ Αν για κάθε σχήμα ξεχωριστά βάψουμε με κόκκινο τον περιβάλλοντα χώρο στα πλαίσια του τετραγώνου, τότε από την σχέση, το κόκκινο σχήμ...

Σας ευχαριστώ πολύ

Καλημέρα, συγνώμη για την ασάφεια. Το σχολικό βιβλίο δεν περιέχει κάποια απόδειξη σχετικά με το θέμα. Οι "αποδείξεις" για τις οποίες γίνεται λόγος τις έχω βρει στο internet και είναι τύπου: $\displaystyle{1 = \frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n-n} = a^{0}}$ $\displaystyle{\forall a \neq 0 , a^{n} = a^{n-1}a ...

Καλησπέρα :logo: , έχω μία απορία σχετικά με ακέραιες δυνάμεις πραγματικών αριθμών. Γιατί όταν υψώνουμε κάποιον αριθμό στην μηδενική δύναμη ισούται με ένα και γιατί οι πραγματικοί αριθμοί υψωμένοι σε αρνητικές δυνάμεις λειτουργούν έτσι όπως λειτουργούν; Έχω δει κάτι "αποδείξεις" αλλά δεν μου φαίνοντ...

4ο Θέμα Β Λυκείου Έστω $\displaystyle{\frac{a}{b} = c}$ Τότε η εξίσωση γίνεται : $\displaystyle{c + \frac{17}{36c} = x , x\in \mathbb{Z}}$ και αφού $\displaystyle{c \neq 0}$ τότε $\displaystyle{c^{2} + \frac{17}{36} -xc = 0}$ (1) Η (1) ένα έχει διακρίνουσα $\displaystyle{D = x^{2} - \frac{17}{9}}$ π...

Καλημέρα Νίκο Μέγιστο εμβαδόν τριγώνου.png Το $(DEC)$ γίνεται μέγιστο όταν το ύψος του $EK$ γίνει μέγιστο ($CD=7.5$), το οποίο γίνεται μέγιστο όταν το $\triangle BAC$ γίνει ορθογώνιο. Οπότε $BC=\sqrt{9^2+13.5^2}=\dfrac{9\sqrt{13}}{2}$ και $BD=BE=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}$ και $EC=BC-BE=\dfrac{3\sqr...

GIORGARAS έγραψε:Πως αποδείχθηκε 'οτι το πηλίκο του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρο του είναι σταθερό και μάλιστα ίσο με 3,14...
Ευχαριστώ.

http://math.wikia.com/wiki/Proof:_Pi_is_Constant

Έστω πλευρά ABDE = a και πλευρά BCZH = b. Τότε από τα όμοια τρίγωνα CTB και CEA έχουμε $\displaystyle{\frac{TB}{a} = \frac{CT}{CE}}$ (1) Επίσης από το θεώρημα του Θαλή στα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τις ευθείες CZ, DH, AE έχουμε $\displaystyle{\frac{CT}{CE} = \frac{b}{b + a}}$ (2) Από (1) ...

Καθώς $\displaystyle{ABC}$ ισόπλευρο, έστω $\displaystyle{AB = AC = BC = x}$(1) Καθώς $\displaystyle{ABC}$ ισόπλευρο ισχύει για τις γωνίες του ότι ισούνται με 60 μοίρες όλες. Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{BDZ}$ ισχύει $\displaystyle{cos60 = \frac{BZ}{DB} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{BZ...

Έστω τα δύο ίσα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από τη διάμεσο και χωρίζουν την BC σε δύο ίσα μέλη = d εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημίτονων στα τρίγωνα ΑΒΜ και CAM παίρνουμε $\displaystyle{c^2 = m^2 + d^2 - 2dmcos\vartheta}$(1) $\displaystyle{b^2 = d^2 + m^2 - 2dmcos\theta' \Leftrightarrow b^2 = d...

έστω $\displaystyle{x^2 = y}$ (1) $\displaystyle{y^2 - (l + 2)y + l + 1 = 0}$ Διακρίνουσα = $\displaystyle{(l + 2)^2 - 4(l + 1) = l^2 + 4l + 4 - 4l - 4 = l^2}$ $\displaystyle{y = \frac{l + \sqrt{l^2} + 2}{2} = \frac{l + \left |l \right | + 2}{2} = \frac{2(l + 1)}{2} = l + 1}$ (2) ή $\displaystyle{y ...