Η αναζήτηση βρήκε 537 εγγραφές

από harrisp
Πέμ Μαρ 12, 2020 8:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1511

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Ένα αποτέλεσμα που βρήκα στη προσπάθεια επίλυσης του θέματος 2:

Αν I_n= \bigint_0^1 \left(\cfrac{k}{\sqrt[n]{x}+k-1}\right)^n \, dx

να αποδειχθεί ότι η ακολουθία \dfrac {I_n}{n} είναι γνήσιως φθίνουσα.

Τέλος, μια απορία που μου προέκυψε: ισχύει I_{n+1}>I_{n} ;
από harrisp
Παρ Φεβ 28, 2020 8:16 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 627

Re: Τεστ Εξάσκησης (2), Μεγάλοι

Έστω $S={K_2,K_3...,K_{23}}$ το σύνολο των γνωστών καλεσμένων του $K_1$. Εστω $T={K_{24},...,K_n}$ το σύνολο των μη-γνωστών καλεσμένων του $K_1$. Τοποθετούμε κάθε καλεσμένο σε ένα κύκλο και ενώνουμε με μια γραμμή 2 καλεσμένους που γνωρίζονται. Οι γραμμές που "φεύγουν" από το $S$ και πηγαίνουν στο $T...
από harrisp
Σάβ Δεκ 28, 2019 11:46 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 218
Προβολές: 6842

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 33 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}$ (Αρκετά απλή. Την βάζω εδώ μόνο και μόνο επειδή με πρώτη ματιά τρομάζει.) Διαφορετικά με αλλαγή μεταβλητής $u=\dfrac {\pi}{2}-x$ το ολοκλήρωμα γίνεται: $\displaystyle{\di...
από harrisp
Τρί Δεκ 24, 2019 11:57 am
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 218
Προβολές: 6842

Re: Ολοκληρώματα: Συλλογή ασκήσεων

Μιας και προέκυψε σε μια λύση (αλλά ο υπολογισμός του δεν χρειάστηκε) ας το δούμε:

Άσκηση 19

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\int_0^{\pi/2} \ln(cosx) dx}
από harrisp
Πέμ Νοέμ 14, 2019 9:14 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Όλο Δέλτα βλέπω αλλά
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 412

Re: Όλο Δέλτα βλέπω αλλά

E, αφού είναι τα αρχικά γράμματα των αριθμών ξεκινώντας απο το 6.
από harrisp
Κυρ Σεπ 08, 2019 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Τεταγμένη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 283

Re: Τεταγμένη

Έστω g(x)=2^x\sqrt {x^2+1}
Είναι f'(x)=g(x)+g'(x)(x-1). Άρα f'(1)=g(1)=2\sqrt2

Η μπλε ευθεία έχει εξίσωση y=(x-1)f'(1) οι συντεταγμένες του S λοιπόν είναι (0,-2\sqrt 2)
από harrisp
Κυρ Αύγ 25, 2019 11:47 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1190

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη!

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ με $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ ισχύει η ανισότητα: $\displaystyle \left( {{a^2} - 3a + 3} \right)\left( {{b^2} - 3b + 3} \right)\left( {{c^2} - 3c + 3} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}.$ Αλλά...
από harrisp
Δευ Αύγ 19, 2019 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: 4 Ρίζες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 534

Re: 4 Ρίζες

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που ...
από harrisp
Δευ Αύγ 19, 2019 2:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: 4 Ρίζες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 534

Re: 4 Ρίζες

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που α...
από harrisp
Σάβ Αύγ 17, 2019 2:05 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Περίεργη Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 477

Περίεργη Ανισότητα

Έστω οι θετικοί πραγματικοί a_1,...,a_n με n\geq 2.
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_1a_2\cdots a_n+2n-1\geq 3(a_1+a_2+\cdots+a_n)
από harrisp
Πέμ Αύγ 15, 2019 2:19 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα από Mathematical Inequalities
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 372

Re: Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Αν $x,y,z>0$ πραγματικοί αριθμοί ώστε $x+y+z =3 $, τότε να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2 + y^2 + z^2 )}$. Με u,v,w(*) η δοσμένη γίνεται: $f(w^3)=(60v-81)w^3+24v\geq 0$ που είναι γραμμική ως προς $w^3$ οπότε αρκεί να ελέγξουμε ...
από harrisp
Τρί Αύγ 13, 2019 9:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 729

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Αλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά ( εδώ ) στην εξής συμμετρική ανισότητα: $a+b+c=3\rightarrow a^4b^4c^4(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 9$ Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον ...
από harrisp
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλική ανισότητα!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 948

Re: Κυκλική ανισότητα!

Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.
από harrisp
Τετ Ιούλ 31, 2019 6:46 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1628

Re: IMC 2019

JimNt. έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm
Το πρώτο είναι Μπολζανο.
Νομιζω δεν ξέρουμε αν η h(x)=f(x)-g'(x) είναι συνεχής.
από harrisp
Δευ Ιούλ 15, 2019 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: O Alan Turing στον νέο χαρτονόμισμα των 50 λιρών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 372

Re: O Alan Turing στον νέο χαρτονόμισμα των 50 λιρών

Και να προτείνουμε φυσικά και την εκπληκτική ταινία του 2014 (βασισμένη στο προαναφερθέν βιβλίο): The Imitation game με τον Benedict Cumberbatch.
από harrisp
Τετ Ιούλ 10, 2019 12:11 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 688

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty} $ Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο... Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ... Όμορφο! Από ΘΜΤ στο $[x, \sqrt {x^2+1}]$ για την $f(...
από harrisp
Σάβ Ιούλ 06, 2019 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Άσκηση στα όρια (5)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 363

Re: Άσκηση στα όρια (5)

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε: (1) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}$ (2) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$ Μέχρι τη Δευτέρα (1) Από την γνωστή $x^2+y^2\geq \dfrac {(x+y)^2}{2}$ γράφου...
από harrisp
Παρ Ιούλ 05, 2019 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Δ5 για παραλία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 723

Re: Δ5 για παραλία

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ με τύπο $f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2$ των πανελλαδικών εξετάσεων. Για ποιά $c \geq 2$ έχει λύση το σύστημα $\left\{\begin{matrix} f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y...
από harrisp
Δευ Απρ 29, 2019 9:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Όριο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 388

Re: Όριο

ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R$ , να δείξετε ότι $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$. Από τη δοσμένη προκύπτει ότι $f'(x)\geq 1$ (1). Από ΘΜΤ στο $[0,x]$ παίρνουμε πως υπάρχει $k$ στο διάστημα αυτό ώστε: $f'(k)=\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ όμως α...
από harrisp
Κυρ Απρ 28, 2019 7:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: υπαρξιακό
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1566

Re: υπαρξιακό

Νομίζω στην 6 δεν χρειάζεται ούτε το f'(0)=0 που χρησιμοποιείται στην λύση του κ. Σταύρου.

Από Bolzano υπάρχει k\in (0,2) ώστε f(k)=-2k+4 και με ΘΜΤ στα [0,k] και [k,2] προκύπτει το ζητούμενο.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση