Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που ...

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που α...

Έστω οι θετικοί πραγματικοί με .
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

Αν $x,y,z>0$ πραγματικοί αριθμοί ώστε $x+y+z =3 $, τότε να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2 + y^2 + z^2 )}$. Με u,v,w(*) η δοσμένη γίνεται: $f(w^3)=(60v-81)w^3+24v\geq 0$ που είναι γραμμική ως προς $w^3$ οπότε αρκεί να ελέγξουμε ...

Αλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά ( εδώ ) στην εξής συμμετρική ανισότητα: $a+b+c=3\rightarrow a^4b^4c^4(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 9$ Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον ...

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑

Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm

Ας δούμε και την ακολουθη γενίκευση:

Αν πραγματικοί με και , να αποδείξετε ότι


Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.

Επαναφορά!

Πρόσθεσα στο πάνω post μου μια γενίκευση (ελπίζω σωστή) της κατασκευής του Ορέστη.

Ας δούμε και την ακολουθη γενίκευση:

Αν πραγματικοί με και , να αποδείξετε ότι


Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.

JimNt. έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm

Το πρώτο είναι Μπολζανο.

Νομιζω δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής.

Και να προτείνουμε φυσικά και την εκπληκτική ταινία του 2014 (βασισμένη στο προαναφερθέν βιβλίο): The Imitation game με τον Benedict Cumberbatch.

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty} $ Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο... Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ... Όμορφο! Από ΘΜΤ στο $[x, \sqrt {x^2+1}]$ για την $f(...

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε: (1) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}$ (2) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$ Μέχρι τη Δευτέρα (1) Από την γνωστή $x^2+y^2\geq \dfrac {(x+y)^2}{2}$ γράφου...

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ με τύπο $f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2$ των πανελλαδικών εξετάσεων. Για ποιά $c \geq 2$ έχει λύση το σύστημα $\left\{\begin{matrix} f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y...

ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R$ , να δείξετε ότι $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$. Από τη δοσμένη προκύπτει ότι $f'(x)\geq 1$ (1). Από ΘΜΤ στο $[0,x]$ παίρνουμε πως υπάρχει $k$ στο διάστημα αυτό ώστε: $f'(k)=\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ όμως α...

Νομίζω στην 6 δεν χρειάζεται ούτε το που χρησιμοποιείται στην λύση του κ. Σταύρου.

Από Bolzano υπάρχει ώστε και με ΘΜΤ στα και προκύπτει το ζητούμενο.

7. (Θα γράψω αργότερα την σκέψη)

Από Bolzano στο υπάρχει ώστε . Με ΘΜΤ στα και παίρνουμε αντίστοιχα ότι υπάρχουν ώστε:

και από όπου προκύπτει το ζητούμενο.

KARKAR έγραψε: ↑

Παρ Απρ 26, 2019 9:36 am

Για την συνάρτηση : , ισχύει : .

Βρείτε και σεις μία τέτοια "καλόβολη" συνάρτηση . Μην αγχώνεστε , υπάρχουν πολλές

Μια προφανής:

...συνεχίζοντας το κάψιμο μια αποψινή έμπνευση... Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\,+\infty )\to R$ για την οποία ισχύει ότι $f(f(x))={{x}^{2}}f(x)$ για κάθε $x\in (0,\,+\infty )$. Αν γνωρίζουμε ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $\Delta =(0,\,+\infty )$ τότε: Α. Να δειχτεί ότι η $f$ είναι συνεχής στο ...

...συνεχίζοντας το κάψιμο μια αποψινή έμπνευση... Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\,+\infty )\to R$ για την οποία ισχύει ότι $f(f(x))={{x}^{2}}f(x)$ για κάθε $x\in (0,\,+\infty )$. Αν γνωρίζουμε ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $\Delta =(0,\,+\infty )$ τότε: Α. Να δειχτεί ότι η $f$ είναι συνεχής στο ...

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος θέμα 1ο των μεγάλων $a_{n}=5a_{n-1}+3^{n-1},,,,5a_{n-1}=5^{2}a_{n-2}+5\cdot 3^{n-2},...5^{n-1}a_{2}=5^{n}a_{1}+5^{n-1}3^{0}$ προσθέτοντάς τα όλα έχουμε $a_{n}=5^{n}a_{1}+5^{n-1}+5^{n-2}\cdot 3+...3^{n-2}\cdot 5+3^{n-1}=5^{n}+\frac{5^{n}-3^{n}}{5-3}=\frac{3\cdot 5^{n}-3...