Η αναζήτηση βρήκε 532 εγγραφές

από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δευ Αύγ 19, 2019 3:15 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: 4 Ρίζες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 269

Re: 4 Ρίζες

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δευ Αύγ 19, 2019 2:43 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: 4 Ρίζες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 269

Re: 4 Ρίζες

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που α...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Σάβ Αύγ 17, 2019 2:05 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Περίεργη Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 268

Περίεργη Ανισότητα

Έστω οι θετικοί πραγματικοί a_1,...,a_n με n\geq 2.
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_1a_2\cdots a_n+2n-1\geq 3(a_1+a_2+\cdots+a_n)
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Πέμ Αύγ 15, 2019 2:19 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα από Mathematical Inequalities
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 160

Re: Ανισότητα από Mathematical Inequalities

Αν $x,y,z>0$ πραγματικοί αριθμοί ώστε $x+y+z =3 $, τότε να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2 + y^2 + z^2 )}$. Με u,v,w(*) η δοσμένη γίνεται: $f(w^3)=(60v-81)w^3+24v\geq 0$ που είναι γραμμική ως προς $w^3$ οπότε αρκεί να ελέγξουμε ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τρί Αύγ 13, 2019 9:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 411

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη

Αλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά ( εδώ ) στην εξής συμμετρική ανισότητα: $a+b+c=3\rightarrow a^4b^4c^4(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 9$ Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλική ανισότητα!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 469

Re: Κυκλική ανισότητα!

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm
Ας δούμε και την ακολουθη γενίκευση:

Αν a,b,c πραγματικοί με a+b+c=3 και abc\geq -\dfrac {1}{2}, να αποδείξετε ότι
a^5b^3c^2+b^5c^3a^2+c^5a^3b^2 \leq 3

Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.
Επαναφορά!
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Πέμ Αύγ 08, 2019 5:01 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλική ανισότητα!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 469

Re: Κυκλική ανισότητα!

Πρόσθεσα στο πάνω post μου μια γενίκευση (ελπίζω σωστή) της κατασκευής του Ορέστη.
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλική ανισότητα!
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 469

Re: Κυκλική ανισότητα!

Ας δούμε και την ακολουθη γενίκευση:

Αν a,b,c πραγματικοί με a+b+c=3 και abc\geq -\dfrac {1}{2}, να αποδείξετε ότι
a^5b^3c^2+b^5c^3a^2+c^5a^3b^2 \leq 3

Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τετ Ιούλ 31, 2019 6:46 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: IMC 2019
Απαντήσεις: 22
Προβολές: 1149

Re: IMC 2019

JimNt. έγραψε:
Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm
Το πρώτο είναι Μπολζανο.
Νομιζω δεν ξέρουμε αν η h(x)=f(x)-g'(x) είναι συνεχής.
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δευ Ιούλ 15, 2019 11:19 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: O Alan Turing στον νέο χαρτονόμισμα των 50 λιρών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 245

Re: O Alan Turing στον νέο χαρτονόμισμα των 50 λιρών

Και να προτείνουμε φυσικά και την εκπληκτική ταινία του 2014 (βασισμένη στο προαναφερθέν βιβλίο): The Imitation game με τον Benedict Cumberbatch.
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τετ Ιούλ 10, 2019 12:11 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 415

Re: ΕΝΑ ΑΚΟΜΑ ΟΡΙΟ...

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty} $ Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο... Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ... Όμορφο! Από ΘΜΤ στο $[x, \sqrt {x^2+1}]$ για την $f(...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Σάβ Ιούλ 06, 2019 1:35 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Άσκηση στα όρια (5)
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 242

Re: Άσκηση στα όρια (5)

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε: (1) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}$ (2) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$ Μέχρι τη Δευτέρα (1) Από την γνωστή $x^2+y^2\geq \dfrac {(x+y)^2}{2}$ γράφου...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Παρ Ιούλ 05, 2019 10:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Δ5 για παραλία
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 510

Re: Δ5 για παραλία

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ με τύπο $f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2$ των πανελλαδικών εξετάσεων. Για ποιά $c \geq 2$ έχει λύση το σύστημα $\left\{\begin{matrix} f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δευ Απρ 29, 2019 9:11 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'
Θέμα: Όριο
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 236

Re: Όριο

ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R$ , να δείξετε ότι $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$. Από τη δοσμένη προκύπτει ότι $f'(x)\geq 1$ (1). Από ΘΜΤ στο $[0,x]$ παίρνουμε πως υπάρχει $k$ στο διάστημα αυτό ώστε: $f'(k)=\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ όμως α...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Κυρ Απρ 28, 2019 7:22 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: υπαρξιακό
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1148

Re: υπαρξιακό

Νομίζω στην 6 δεν χρειάζεται ούτε το f'(0)=0 που χρησιμοποιείται στην λύση του κ. Σταύρου.

Από Bolzano υπάρχει k\in (0,2) ώστε f(k)=-2k+4 και με ΘΜΤ στα [0,k] και [k,2] προκύπτει το ζητούμενο.
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Σάβ Απρ 27, 2019 2:33 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: υπαρξιακό
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1148

Re: υπαρξιακό

7. (Θα γράψω αργότερα την σκέψη)

Από Bolzano στο (0,2) υπάρχει k ώστε f(k)=\frac{8}{5}. Με ΘΜΤ στα (0,k) και (k,2) παίρνουμε αντίστοιχα ότι υπάρχουν u,v ώστε:

f(u)=\dfrac {8}{5k} και f(v)=\dfrac {12}{10-5k} από όπου προκύπτει το ζητούμενο.
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Παρ Απρ 26, 2019 9:54 am
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Καλόβολη
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 245

Re: Καλόβολη

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 26, 2019 9:36 am
Για την συνάρτηση : f(x)=6x^2+6x+7 , ισχύει : \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx=f(1)-f(0) .

Βρείτε και σεις μία τέτοια "καλόβολη" συνάρτηση . Μην αγχώνεστε , υπάρχουν πολλές :lol:
Μια προφανής: f(x)=e^x
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τετ Μαρ 06, 2019 9:59 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Καμμένο 2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 584

Re: Καμμένο 2

...συνεχίζοντας το κάψιμο μια αποψινή έμπνευση... Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\,+\infty )\to R$ για την οποία ισχύει ότι $f(f(x))={{x}^{2}}f(x)$ για κάθε $x\in (0,\,+\infty )$. Αν γνωρίζουμε ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $\Delta =(0,\,+\infty )$ τότε: Α. Να δειχτεί ότι η $f$ είναι συνεχής στο ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Τετ Μαρ 06, 2019 9:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Καμμένο 2
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 584

Re: Καμμένο 2

...συνεχίζοντας το κάψιμο μια αποψινή έμπνευση... Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\,+\infty )\to R$ για την οποία ισχύει ότι $f(f(x))={{x}^{2}}f(x)$ για κάθε $x\in (0,\,+\infty )$. Αν γνωρίζουμε ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $\Delta =(0,\,+\infty )$ τότε: Α. Να δειχτεί ότι η $f$ είναι συνεχής στο ...
από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Σάβ Φεβ 23, 2019 2:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019
Απαντήσεις: 61
Προβολές: 8793

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2018-2019

Ελπίζω να μην έχω κάνει λάθος θέμα 1ο των μεγάλων $a_{n}=5a_{n-1}+3^{n-1},,,,5a_{n-1}=5^{2}a_{n-2}+5\cdot 3^{n-2},...5^{n-1}a_{2}=5^{n}a_{1}+5^{n-1}3^{0}$ προσθέτοντάς τα όλα έχουμε $a_{n}=5^{n}a_{1}+5^{n-1}+5^{n-2}\cdot 3+...3^{n-2}\cdot 5+3^{n-1}=5^{n}+\frac{5^{n}-3^{n}}{5-3}=\frac{3\cdot 5^{n}-3...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση