Άσκηση 33 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}$ (Αρκετά απλή. Την βάζω εδώ μόνο και μόνο επειδή με πρώτη ματιά τρομάζει.) Διαφορετικά με αλλαγή μεταβλητής $u=\dfrac {\pi}{2}-x$ το ολοκλήρωμα γίνεται: $\displaystyle{\di...

Μιας και προέκυψε σε μια λύση (αλλά ο υπολογισμός του δεν χρειάστηκε) ας το δούμε:

Άσκηση 19

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

, αφού είναι τα αρχικά γράμματα των αριθμών ξεκινώντας απο το .

Έστω
Είναι . Άρα

Η μπλε ευθεία έχει εξίσωση οι συντεταγμένες του λοιπόν είναι

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ με $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ ισχύει η ανισότητα: $\displaystyle \left( {{a^2} - 3a + 3} \right)\left( {{b^2} - 3b + 3} \right)\left( {{c^2} - 3c + 3} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}.$ Αλλά...

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑

Πέμ Αύγ 08, 2019 12:36 pm

Ας δούμε και την ακολουθη γενίκευση:

Αν πραγματικοί με και , να αποδείξετε ότι


Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.

Επαναφορά!

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που ...

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που α...

Έστω οι θετικοί πραγματικοί με .
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

Αν $x,y,z>0$ πραγματικοί αριθμοί ώστε $x+y+z =3 $, τότε να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2 + y^2 + z^2 )}$. Με u,v,w(*) η δοσμένη γίνεται: $f(w^3)=(60v-81)w^3+24v\geq 0$ που είναι γραμμική ως προς $w^3$ οπότε αρκεί να ελέγξουμε ...

Αλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά ( εδώ ) στην εξής συμμετρική ανισότητα: $a+b+c=3\rightarrow a^4b^4c^4(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 9$ Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον ...

Πρόσθεσα στο πάνω post μου μια γενίκευση (ελπίζω σωστή) της κατασκευής του Ορέστη.

Ας δούμε και την ακολουθη γενίκευση:

Αν πραγματικοί με και , να αποδείξετε ότι


Edit: Διαγράφηκε λανθασμένη λύση.

JimNt. έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm

Το πρώτο είναι Μπολζανο.

Νομιζω δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής.

Και να προτείνουμε φυσικά και την εκπληκτική ταινία του 2014 (βασισμένη στο προαναφερθέν βιβλίο): The Imitation game με τον Benedict Cumberbatch.

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(e^{\sqrt{x^{2}+1}}-e^{x})=+\infty} $ Το θέμα αυτό μου τέθηκε την άνοιξη του 1997 από υποψήφιο της Α' Δέσμης. Τότε δούλευα σε ένα φροντιστήριο... Πιστεύω να μην έχει ξανατεθεί στο :logo: ... Όμορφο! Από ΘΜΤ στο $[x, \sqrt {x^2+1}]$ για την $f(...

Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f(x)+g(x))=+\infty}$ τότε: (1) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^2(x)+g^2(x))=+\infty}$ (2) $\displaystyle{\rm \lim_{x\to +\infty}(f^3(x)+g^3(x))=+\infty}$ Μέχρι τη Δευτέρα (1) Από την γνωστή $x^2+y^2\geq \dfrac {(x+y)^2}{2}$ γράφου...

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ με τύπο $f \left ( x \right) = \left ( x-1\right ) \ln \left ( x^2-2x+2\right ) -x+2$ των πανελλαδικών εξετάσεων. Για ποιά $c \geq 2$ έχει λύση το σύστημα $\left\{\begin{matrix} f^{\prime \prime } \left ( x\right ) +f^{\prime \prime } \left ( y...

ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R$ , να δείξετε ότι $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$. Από τη δοσμένη προκύπτει ότι $f'(x)\geq 1$ (1). Από ΘΜΤ στο $[0,x]$ παίρνουμε πως υπάρχει $k$ στο διάστημα αυτό ώστε: $f'(k)=\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ όμως α...

Νομίζω στην 6 δεν χρειάζεται ούτε το που χρησιμοποιείται στην λύση του κ. Σταύρου.

Από Bolzano υπάρχει ώστε και με ΘΜΤ στα και προκύπτει το ζητούμενο.