Βάζω μια λύση στο Β4 διαφορετική από την κλασσική με θέσιμο επειδή βλέπω πως στις προτεινόμενες λύσεις από διάφορα φροντιστήρια είναι όλες με θέσιμο. Β4-ΝΕΟ Αφού $\phi$ αντιστροφή της σύνθεσης $f(g(x))$ θα έχει για σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της $f(g(x))$ δηλαδή το $(0,+\infty)$. Όμως $\phi$ συνε...

Ας κινητοποιηθεί λοιπόν και η μαθηματική κοινότητα ώστε να καταφέρουμε αυτό που ήδη από τα πρώτα ποστ του thread είχε συζητηθεί και θα έπρεπε να είναι δεδομένο. Μοριοδότηση 10% στους επιτυχόντες στην εθνική ολυμπιάδα μαθηματικών αντίστοιχη με εκείνη των αθλητών. Περιμένουμε την ανταπόκριση σας στην ...

Ωραίο! Αλήθεια πόση ώρα έχουν οι μαθητές να απαντήσουν και τα 30; Δεν γράφω αναλυτική μαθηματική λύση αφού άλλωστε δεν είναι αυτό το ζητούμενο. Από το (α) είναι $f(x)-x=a(x-r)^2(x-p)$. Ακόμη λόγω του $f(0)=0$ πρέπει ένα απο τους $r,p$ να είναι $0$. Τώρα πρέπει απο το (β) η $a(x-r)^2(x-p)+2x=0$ να έχ...

Μπορεί να αποκατασταθεί το πρόβλημα latex που υπάρχει στην σελιδα;

ΥΓ. Ελπιζω να μην εμφανίζεται μονο σε εμένα.

Μπορούμε και χωρίς τον τύπο. ... $[(\dfrac {lnx}{x}-1)(e^{-f(x)})]'=(-\dfrac {1}{x})'\Leftrightarrow (...)$ Σωστά μεν, αλλά για να το φέρουμε στην τελευταία μορφή όλο και κοιτάμε τον δοθέντα τύπο (λύση) για να προσαρμόσουμε τα βήματα, έστω και αν δεν το ομολογούμε. Θα μου επιτρέψετε να πω ότι δεν έ...

Μπορούμε και χωρίς τον τύπο. Περιληπτικά γιατί έχει δοθεί έτσι και αλλιώς λύση. $xf'(x)=\dfrac{e^{f(x)}+lnx -1}{x-lnx } \Leftrightarrow x^2f'(x)-xlnx f'(x)=e^{f(x)}+lnx -1 \Leftrightarrow$ $e^{-f(x)}x^2f'(x)-xlnxf'(x)e^{-f(x)}=1+lnxe^{-f(x)}-e^{-f(x)} \Leftrightarrow$ $-(e^{-f(x)})'x^2+xlnx(e^{-f(x)...

Θεωρούμε τη συνάρτηση: $ g(x)=\left\{\begin{matrix} f'(a) & & x=a \\ & & \\ \dfrac{f(a)-f(a)}{x-a} & & x \in (a,b] \end{matrix}\right. $ η οποία είναι συνεχής στο $[a,b]$ (άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο $(a,b]$. Από την εκφώνηση $g(a)>g(b)$.( δεν υπάρχει πρόβλημα αν είναι $g(a)\geq g(b)$) Α...

Θεωρούμε τη συνάρτηση: $ g(x)=\left\{\begin{matrix} f'(a) & & x=a \\ & & \\ \dfrac{f(a)-f(a)}{x-a} & & x \in (a,b] \end{matrix}\right. $ η οποία είναι συνεχής στο $[a,b]$ (άρα έχει ελάχιστη τιμή) και παρ/μη στο $(a,b]$. Από την εκφώνηση $g(a)>g(b)$. Αυτό σημαίνει ότι το ελάχιστο της συνάρτησης δεν λ...

Ένα αποτέλεσμα που βρήκα στη προσπάθεια επίλυσης του θέματος 2:

Αν

να αποδειχθεί ότι η ακολουθία είναι γνήσιως φθίνουσα.

Τέλος, μια απορία που μου προέκυψε: ισχύει ;

Έστω $S={K_2,K_3...,K_{23}}$ το σύνολο των γνωστών καλεσμένων του $K_1$. Εστω $T={K_{24},...,K_n}$ το σύνολο των μη-γνωστών καλεσμένων του $K_1$. Τοποθετούμε κάθε καλεσμένο σε ένα κύκλο και ενώνουμε με μια γραμμή 2 καλεσμένους που γνωρίζονται. Οι γραμμές που "φεύγουν" από το $S$ και πηγαίνουν στο $T...

Άσκηση 33 Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\displaystyle \int_0^{\pi /2} (\sin ^2 (\sin x) + \cos ^2 (\cos x) )\,dx}$ (Αρκετά απλή. Την βάζω εδώ μόνο και μόνο επειδή με πρώτη ματιά τρομάζει.) Διαφορετικά με αλλαγή μεταβλητής $u=\dfrac {\pi}{2}-x$ το ολοκλήρωμα γίνεται: $\displaystyle{\di...

Μιας και προέκυψε σε μια λύση (αλλά ο υπολογισμός του δεν χρειάστηκε) ας το δούμε:

Άσκηση 19

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

, αφού είναι τα αρχικά γράμματα των αριθμών ξεκινώντας απο το .

Έστω
Είναι . Άρα

Η μπλε ευθεία έχει εξίσωση οι συντεταγμένες του λοιπόν είναι

Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ με $\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ ισχύει η ανισότητα: $\displaystyle \left( {{a^2} - 3a + 3} \right)\left( {{b^2} - 3b + 3} \right)\left( {{c^2} - 3c + 3} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2}.$ Αλλά...

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που ...

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής: "Δίνεται τρίγωνο $ABC$ με πλευρές $x_0,y_0,z_0$ εμβαδού $E$. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά $z_0$ σταθερή και μεγαλώσουμε την $x_0$ τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν." Απόδειξη: Έστω ότι $z_0=BC$. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην $BC$ που α...

Έστω οι θετικοί πραγματικοί με .
Να εξετάσετε αν ισχύει η:

Αν $x,y,z>0$ πραγματικοί αριθμοί ώστε $x+y+z =3 $, τότε να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle{8 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +\frac{1}{z} \right) + 9 \geq 10(x^2 + y^2 + z^2 )}$. Με u,v,w(*) η δοσμένη γίνεται: $f(w^3)=(60v-81)w^3+24v\geq 0$ που είναι γραμμική ως προς $w^3$ οπότε αρκεί να ελέγξουμε ...

Αλλά μια και μιλάμε για Cauchy-Schwartz ... παρατηρώ ότι με χρήση της ανάγεται η κυκλική, μη συμμετρική ανισότητα που πρότεινες αρχικά ( εδώ ) στην εξής συμμετρική ανισότητα: $a+b+c=3\rightarrow a^4b^4c^4(a^4+b^4+c^4)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\leq 9$ Η παραπάνω ανισότητα ισχύει, αλλά δεν βλέπω κάποιον ...