Η άσκηση αυτή είναι παρόμοια με Θέμα του ΘΑΛΗ Β Λυκείου 2017 . Δείτε, π.χ. το παράδειγμα 5 σε αυτό το αρχείο. Μιμούμενοι εκείνες τις λύσεις έχουμε τις παρακάτω: Λύση: (1ος τρόπος) Αναπτύσσοντας τα τετράγωνα και χωρίζοντας τα κλάσματα, έχουμε $ \begin{aligned} \frac{(3x-1)^2}{x}+\frac{(3y-1)^2}{y} &=...

Οι μαθηματικοί διαγωνισμοί στη χώρα μας γίνονται φτωχότεροι... Τι σχέση έχει ο φετινός διαγωνισμός Καγκουρό με αυτούς που είχαμε συνηθίσει με τον κ. Μιχάλη Λάμπρου; Ελάχιστη! Έως πέρυσι, με τον κ. Μιχάλη, είχαμε συνηθίσει στην άριστη επικοινωνία ως εξεταστικό κέντρο, την υψηλή ποιότητα των θεμάτων κ...

Για την Γ Λυκείου βλέπω ότι κάποια έχουν απαντηθεί ανεβάζω γιατί κάποιες ίσως είναι λίγο διαφορετικές με μια επιφύλαξη αν υπάρχει κάπου λάθος. Πρόβλημα 1 Από την ανισότητα $4+9x^2\geq 12x$ παίρνουμε ότι $\displaystyle \frac{12x^2}{4+9x^2}\leq \frac{12x^2}{12x}=x$ οπότε $y \leq x$. ... Υπάρχει ένα λ...

Γ λυκείου 2ο Το σύνολο Α έχει 1013 περιττούς κ 1012 άρτιους Κάθε περιττός στην γραφή του ως άθροισμα μπορεί να περιέχει 1 ή 3 περιττούς Κάθε άρτιος 2 ή 4 ή 0 Δηλαδή σε κάθε περίπτωση γίνεται χρήση απ' το σύνολο Α άρτιου αριθμού περιττών αριθμών Εάν μπορούσε να διαχωριστούν κατά την εκφώνηση θα ίσχυ...

Καλημέρα σε όλους. Επιχειρώ μια απάντηση στην Άλγεβρα της Β΄Λυκείου. Πρόβλημα 2 Να προσδιορίσετε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών $(𝑥, 𝑦)$ που είναι λύσεις του συστήματος: $ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 3y} \right| = 2x + y - 20\;\;\;\left( 1 \right)\\ \left| {2x + y} \right| = 2x...

Δείτε τα σημερινά θέματα του διαγωνισμού "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" στo συνημμένο αρχείο.

Παρακαλούμε όπως δίνονται πλήρεις λύσεις στα παρακάτω θέματα, όπως απαιτεί ο κανονισμός του forum.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Η λύση στο πρώτο θέμα της γ γυμνασίου είναι λάθος όπως την δίνει η ΕΜΕ. Στο Α αντί να βάλει + πάει και βάζει μείον όταν το λύνει. Επίσης κ σε άλλα 2 θέματα (τρίτο θέμα β γυμνασίου και τρίτο θέμα γ γυμνασίου) έχει κάποια λαθάκια στις λύσεις. Μπορείτε να τα δείτε και να μου πείτε αν έχω δίκιο? Υπήρχε...

Δείτε τα σημερινά θέματα του διαγωνισμού "Ο ΘΑΛΗΣ" στα επισυναπτόμενα αρχεία. Παρακαλούμε όπως δίνονται πλήρεις λύσεις στα παρακάτω θέματα, όπως απαιτεί ο κανονισμός του forum. Σχόλιο (8/11/2025- 8:30μμ). Ενημέρωση link (10/11/2025 - 1:40μμ). Οι επίσημες ενδεικτικές λύσεις της Επιτροπής Διαγωνισμών ...

.... Θέτουμε $f(x)=\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})=\frac{1}{2}\frac{x^2+1}{x}$ Είναι άμεσο ότι για $ x\geq 1$ ισχύει ότι $ f(x)\geq x$ με ισότητα αν και μόνο αν είναι $x=1$ ... Δεν βλέπω γιατί είναι άμεσο ότι αν $x\geq 1$, τότε $ f(x)\geq x$. Δεν το βλέπεις γιατί δεν ισχύει. ... Ναι. Τα παραπάνω δεν απο...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑

Τρί Οκτ 14, 2025 7:36 am

....
Θέτουμε
Είναι άμεσο ότι για ισχύει ότι με ισότητα αν και μόνο αν είναι
...

Δεν βλέπω γιατί είναι άμεσο ότι αν , τότε .

Οι Γενικοί Συντονιστές δεν έχουν αυτή τη δυνατότητα τεχνικά. Υποθέτουμε ότι αυτό είναι γνωστό, αφού έχει ήδη επισημανθεί. Γι' αυτό ο Γρηγόρης έγραψε αυτό εδώ . Οι διαχειριστές μπορούν τεχνικά να δουν και να κάνουν περισσότερα. Παρά τη σημείωση του Γρηγόρη, η επίθεση στους Γενικούς Συντονιστές συνεχί...

Δεν γνωρίζω πως μπορεί να γίνει αυτό τεχνικά, αλλά το αίτημα είναι εύλογο.

Για το πρόβλημα 2 μπορούμε να εργασθούμε με την θεωρία Calculus of variations. Βλέπε σχετικά https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations Για το πρόβλημα 6. Ενας Rolle στην $\frac{f(x)-\kappa }{x}$ Υποθέτω ότι οι αναρτήσεις αυτές αποτελούν υποδείξεις. Θα εκτιμούσαμε, όμως, πλήρεις λύσεις στ...

Για κάθε τριάδα $u,\,v,\,w$ μη μηδενικών πραγματικών αριθμών θέτουμε $x=u+v+w$. Εξετάστε αν υπάρχει το όριο $\displaystyle{\lim _{x\to 0} \dfrac {u^3+v^3+w^3}{uvw}}$ Edit : Έκανα διόρθωση στην εκφώνηση. 'Οχι, δεν υπάρχει. Παρατηρούμε ότι αν $u+v=0$ και $u, v, w\ne 0$, τότε $\dfrac {u^3+v^3+w^3}{uvw...

Θερμά συγχαρητήρια σε όλη την αποστολή! :) Ακολουθούν τα προβλήματα του διαγωνισμού, στα οποία αναμένουμε τις όμορφες λύσεις σας: Πρόβλημα 1. Για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $a$, $b$, $c$, αποδείξτε ότι $\dfrac{(a^2+bc)^2}{b+c} + \dfrac{(b^2+ca)^2}{c+a} + \dfrac{(c^2+ab)^2}{a+b} \geq \...

Δοκιμάστε αυτόν τον σύνδεσμο . Αχιλλέα, ευχαριστούμε θερμά. Έχω όμως δύο προβλήματα: Πάρα πολλά από τα άρθρα στην παραπομπή δεν υπάρχουν. Π.χ. στην τύχη κοιτώντας κάποια από τα άρθρα της πλούσιας συλλογής διαπιστώνω ότι δεν υπάρχουν, για παράδειγμα, τα 24, 140, 184, 191, 198, 211, και λοιπά. Υπάρχε...

Δοκιμάστε αυτόν τον σύνδεσμο.

Δ4. Αλλιώς: Ισχύει $\dfrac{e^a+e^b}{2}\geq e^{\dfrac{a+b}{2}$ για κάθε $a,b\in \mathbb{R}$ λόγω κυρτότητας(*) της $y=e^x$ και $\dfrac{1+(\ln x)^2}{2}\geq \ln x$, αφού είναι ισοδύναμη με $(\ln x-1)^2\geq 0$. Άρα, αν $x>0$, τότε $e+e^{(\ln x)^2}\geq 2 e^{\frac{1+(\ln x)^2}{2}}\geq 2e^{\ln x}=2x$, οπότ...

Καλησπέρα, συγγνώμη, θέλω να ρωτήσω αν η αντικατάσταση u=lnx όπου καταλήγω στο e^u^2+u και χρησιμοποιώ την e^u^2+u >= u^2+u+1 είναι σωστή, γιατί καταλήγει σε ένα αποτέλεσμα με πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Κατά τη διάρκεια της εξέτασης έτσι το δικαιολόγησα και πίστεψα ότι είναι εντάξει. Θα μου το πάρουν...

Καλησπέρα, συγγνώμη, θέλω να ρωτήσω αν η αντικατάσταση u=lnx όπου καταλήγω στο e^u^2+u και χρησιμοποιώ την e^u^2+u >= u^2+u+1 είναι σωστή, γιατί καταλήγει σε ένα αποτέλεσμα με πολυώνυμο τρίτου βαθμού. Κατά τη διάρκεια της εξέτασης έτσι το δικαιολόγησα και πίστεψα ότι είναι εντάξει. Θα μου το πάρουν...