Η αναζήτηση βρήκε 2445 εγγραφές

από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 7:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Οι επίσημες λύσεις της ΕΜΕ έχουν αναρτηθεί και δεν δίνουν για κάθε τιμή του α τουλάχιστον δύο ρίζες. - Γ' λυκείου Αυτή τη στιγμή στις 18:40 οι λύσεις στο site της ΕΜΕ δεν ανοίγουν.....μάλλον τις κατέβασαν για να διορθώσουν τα λάθη?? Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε στο forum γιατί οι λύσεις δεν ανοίγουν ...
από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 7:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Eleftheria έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:58 pm
Για τη β λυκείου τι πιστεύετε; Που θα κυμανθούν οι βάσεις;
Όχι πάλι η ίδια συζήτηση.....!

Παρακαλούμε θερμά, οι αναρτήσεις να περιορισθούν σε λύσεις και παρατηρήσεις επί των θεμάτων.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

stamas1 έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 6:05 pm
οπως φαινεται εγω βρηκα τα πιθανα ζευγη χ,y θα παρω τιποτα για αυτό ή θα χασω ολο το θεμα?
Είναι εξαιρετικά δύσκολο να εκτιμήσει κάποιος τη βαθμολογία σε ένα θέμα εδώ, εάν δεν έχει μπροστά του το γραπτό...

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 5:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

stamas1 έγραψε:
Σάβ Ιαν 19, 2019 5:48 pm
Στο 3ο πρόβλημα της Β λυκειου εμενα μου βγηκαν (χ,y)=(0,y),yε[-π/2,π/2] ,( x,0),xε[-π,π] ,(+ή-π/λ,λ),λε[-π,π]-{0}
Δεν είναι σωστές οι λύσεις.

Αν x=0, τότε παίρνουμε 9=0, που είναι αδύνατο προφανώς.

Αν y=0, αναγκαστικά είναι μόνο x=-3...κτλ.

Δες τη λύση εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Μια άσκηση παρόμοια με αυτή του ΘΕΜΑΤΟΣ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ βρίσκεται εδώ.

Η ιδέας της λύση που δώσαμε τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει μια λύση διαφορετική από αυτή που δώσαμε νωρίτερα σήμερα εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 1:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

ΘΕΜΑ 4- Α ΛΥΚΕΙΟΥ (α) Έστω $Z$ το μέσο του $B\Delta$. Τότε τα τρίγωνα $BOZ$ και $\Gamma O\Delta$ είναι ίσα από (ΠΓΠ), αφού $OB=O\Gamma=R$, $BZ=\Gamma\Delta=B\Gamma/2$, και $O\widehat{B}Z=O\widehat{\Gamma}\Delta=30^\circ$, αφού το τρίγωνο $BO\Gamma$ είναι ισοσκελές με $B\widehat{O}\Gamma=2B\widehat{...
από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ Προφανώς είναι $x\ne 0$. Παρατηρούμε ότι αν $x>0$, τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1\iff (x-3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν $x=3$ ενώ αν $x<0$, τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1\iff (x+3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν $x=-3$ Συνεπώς, $-1\leq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1$ για $x>0$ με...
από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

ΘΕΜΑ 2-Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι θετικοί διαιρέτες του $50$ που αφήνουν υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθούν με το $ 3$ είναι οι $1,10,25$ και οι θετικοί διαιρέτες του $243$ που αφήνουν υπόλοιπο 3 όταν διαιρεθούν με το $4$ είναι οι $3,27,243$. Εύκολα βρίσκουμε ότι $n=1,4,9$ και $m=1,7,61$. (α) Αφού $2(n+1)\leq 20$ και $-...
από achilleas
Σάβ Ιαν 19, 2019 12:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 63
Προβολές: 3652

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

ΘΕΜΑ 3-Β ΛΥΚΕΙΟΥ Προφανώς είναι $x\ne 0$. Παρατηρούμε ότι αν $x>0$, τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\geq 1\iff (x-3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν $x=3$ ενώ αν $x<0$, τότε $\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1\iff (x+3)^2\geq 0$ με την ισότητα αν-ν $x=-3$ Συνεπώς, $-1\leq \cos(xy)=-\dfrac{x^2+9}{6x}\leq -1$ για $x>0$ με...
από achilleas
Πέμ Ιαν 10, 2019 4:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Απαντήσεις: 67
Προβολές: 13665

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

... Αφού $\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x-1}$=$3$,τότε $\frac{1}{x-3}=1,\frac{2}{x-2}=1,\frac{3}{x-3}= 1$ ... Πρέπει να ελέγξετε πιο λεπτομερώς τον παραπάνω ισχυρισμό. Δεν είναι καθόλου σαφές γιατί ισχύει. Άλλωστε, είναι λανθασμένος, όπως φαίνεται κι από την λύση του προβλήματος εδώ . Φιλικά...
από achilleas
Πέμ Ιαν 10, 2019 1:36 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014
Απαντήσεις: 80
Προβολές: 15166

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ - 2014

Μια ακόμα λύση της γεωμετρίας της Α Λυκείου ΘΕΜΑ 3- Α ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2013-2014) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $AB=A\Gamma>B\Gamma$ . Ο κύκλος $c_1(\Gamma,B\Gamma)$ (με κέντρο $\Gamma$ και ακτίνα $B\Gamma$) τέμνει την πλευρά $AB$ στο σημείο $\Delta$. Ο κύκλος $c_2(A...
από achilleas
Τετ Ιαν 09, 2019 8:42 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ
Απαντήσεις: 67
Προβολές: 13665

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2015 -ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 3- Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2014-2015) Θεωρούμε παραλληλόγραμμο $ABCD$ τέτοιο ώστε $AB=BD=CD$ και με τη γωνία $\widehat{A}=75^\circ.$ Φέρουμε το ύψος του $DE$, όπου $E$ σημείο της πλευράς $AB$. Έστω $Z$ το συμμετρικό της κορυφής $A$ ως προς κέντρο το σημείο $E$. Έστω επίσης $K...
από achilleas
Τετ Ιαν 09, 2019 7:25 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017
Απαντήσεις: 162
Προβολές: 21060

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2017

ΘΕΜΑ 3 -Β ΛΥΚΕΙΟΥ (Διαγωνισμός ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της ΕΜΕ, 2016-2017) Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $c((O,R)$ (με $AB<A\Gamma<B\Gamma$) και τυχόν σημείο $\Delta$ της πλευράς $AB$. Από το σημείο $\Delta$ φέρουμε κάθετη στην ακτίνα $OA$, η οποία τέμνει την $A\Gamma$ στο $Z$. Αν $E$ είναι το...
από achilleas
Τρί Δεκ 18, 2018 11:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: 36ο Συνέδριο της ΕΜΕ στη Λάρισα
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 231

36ο Συνέδριο της ΕΜΕ στη Λάρισα

Καλησπέρα σας! Όπως έχει γίνει ήδη γνωστό, το επόμενο συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας θα διεξαχθεί στη Λάρισα τον Νοέμβριο του 2019. Παρεμπιπτόντως, το βίντεο της υποψηφιότητας που προβλήθηκε στο συνέδριο της Αθήνας είναι διαθέσιμο εδώ . Μετά την ανάληψη του συνεδρίου, το Διοικητικό Συμ...
από achilleas
Σάβ Δεκ 01, 2018 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Πέρα από το Δεκαδικό
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 611

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

apotin έγραψε:
Κυρ Μαρ 09, 2014 1:21 pm
Να βρεθούν αριθμοί \displaystyle{a, b, c, d} τέτοιοι ώστε:

\displaystyle{\frac{a}{6} + \frac{b}{{36}} + \frac{c}{{216}} + \frac{d}{{1296}} = \frac{{442}}{{1296}}}

Φυσικά, μια προφανής λύση, σύμφωνα με τη διατύπωση της άσκησης, είναι η a=b=c=0, και d=442. :)

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Σάβ Δεκ 01, 2018 9:47 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ταυτότητα με άρρητους
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 436

Re: Ταυτότητα με άρρητους

Παρατηρούμε ότι $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1=(\sqrt{N+1}+\sqrt{N})(\sqrt{N+1}-\sqrt{N})$ για οποιοδήποτε $N\geq 0$. Έτσι, αν $(\sqrt{2}+1)^n=\sqrt{N+1}+\sqrt{N}$, τότε $(\sqrt{2}-1)^n=\sqrt{N+1}-\sqrt{N}$, οπότε $2\sqrt{N+1}=(\sqrt{2}+1)^n+(\sqrt{2}-1)^n$ και $2\sqrt{N}=(\sqrt{2}+1)^n-(\sqrt{2}-1)^n$...
από achilleas
Τρί Νοέμ 27, 2018 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Εκπαίδευση εκπαιδευτών μαθηματικών διαγωνισμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 262

Εκπαίδευση εκπαιδευτών μαθηματικών διαγωνισμών

Καλησπέρα σας! Το ερχόμενο Σάββατο, το παράρτημα Λάρισας της ΕΜΕ διοργανώνει ένα μαθηματικό εργαστήρι για την επιμόρφωση-εκπαίδευση εκπαιδευτών με θεματολογία την υποστήριξη της προετοιμασίας και της προώθησης των μαθηματικών διαγωνισμών με εισηγητή τον κ. Βαγγέλη Ψύχα . Περισσότερες λεπτομέρειες, ο...
από achilleas
Δευ Νοέμ 19, 2018 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Συνευθειακά από Θαλή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 269

Re: Συνευθειακά από Θαλή

Καλησπέρα σας! Ακολουθεί μια καθαρά γεωμετρική λύση: Ας υποθέσουμε ότι τα σημεία $B,M$ και $Z$ είναι συνευθειακά. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα $AMB$ και $AMC$ είναι ίσα, ενώ το τρίγωνο $BAZ$ είναι ισοσκελές με $BA=AZ$. Θέτουμε, λοιπόν, $\theta:=A\widehat{C}M=A\widehat{B}M=A\widehat{Z}M$ και $\varphi:=...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 11:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατοπτρικό του Γ2 θέματος του 79ου Θαλή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 236

Re: Κατοπτρικό του Γ2 θέματος του 79ου Θαλή

Παρατηρούμε ότι έαν αφαιρέσουμε τον $A$ από τον $111110$ παίρνουμε τον αριθμό $B=\overline{b_4b_3b_2b_1b_0}}$ με $b_i=10-a_i$ για $i=0,1,2,3,4$, τότε ο $B$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Γ2. Έτσι, για τον $9A$ αφαιρούμε από τον $999990$ τον $9B=\displaystyle{\overline{b_4(b_3-b_4)(b_2-b_3) (b_1-b_2)(b...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 121
Προβολές: 16058

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια . Παραμένω όμως ανήσυχος . Αυτός ο διαγωνισμός ήταν πολύ σημαντικός για εμένα . Πως αξιολογείτε τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων ? Χρήστο, Ελπίζω να σε βοηθήσει να ησυχάσεις αν μάθεις ότι κι εμείς που γράφουμε στο forum έχουμε αποτύχει κατ' επανάληψη σε πολλούς διαγων...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση