Η αναζήτηση βρήκε 2427 εγγραφές

από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 11:55 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Κατοπτρικό του Γ2 θέματος του 79ου Θαλή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 159

Re: Κατοπτρικό του Γ2 θέματος του 79ου Θαλή

Παρατηρούμε ότι έαν αφαιρέσουμε τον $A$ από τον $111110$ παίρνουμε τον αριθμό $B=\overline{b_4b_3b_2b_1b_0}}$ με $b_i=10-a_i$ για $i=0,1,2,3,4$, τότε ο $B$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Γ2. Έτσι, για τον $9A$ αφαιρούμε από τον $999990$ τον $9B=\displaystyle{\overline{b_4(b_3-b_4)(b_2-b_3) (b_1-b_2)(b...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια . Παραμένω όμως ανήσυχος . Αυτός ο διαγωνισμός ήταν πολύ σημαντικός για εμένα . Πως αξιολογείτε τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων ? Χρήστο, Ελπίζω να σε βοηθήσει να ησυχάσεις αν μάθεις ότι κι εμείς που γράφουμε στο forum έχουμε αποτύχει κατ' επανάληψη σε πολλούς διαγων...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 7:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Γεια σας! Είμαι μαθητής της Β Λυκείου και έχω μια ερώτηση για το 3ο Θέμα: Από τη στιγμή που για τον τετραψήφιο θετικό ακέραιο Α ισχύει οτι α0>α1>α2>α3>0,δεν μπορούμε να πούμε πώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του δέκα?(αφού η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο α3 είναι ίση με 1...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:51 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Σας παρακαλώ δώστε μου μία απάντηση.Ή τουλάχιστον πείτε μου που βρίσκονται οι βάσεις τα προηγούμενα χρόνια για να έχω μία εικόνα.Ισχύει ότι με 2.5 θέματα περνάς; Καλησπέρα! Κανείς δεν μπορεί να σου πει με σιγουριά ούτε ότι περνάς ούτε ότι δεν περνάς. Το καλύτερο που έχεις να κάνεις είναι να συνεχίσ...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 5:44 pm
Δ. Συζήτηση: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Θέμα: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 85

Re: Σύγκριση αθροίσματος κλασμάτων με τη μονάδα

Θα εφαρμόσουυμε την ιδέα του Gauss Από το 34 έως το 66 υπάρχουν όσοι αριθμοί από το $34-33=1$ έως το $66-33=33$, δηλ. 33. Ομοίως, από το 68 έωςτο 100 υπάρχουν όσοι αριθμοί από το $68-67=1$ έως το $100-67=33$, δηλ. 33. Μπορούμε πάρουμε 33 ζευγάρια, αν ζευγαρώσουμε το $\dfrac{1}{34}$ με το $\dfrac{1}{...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 1:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Λόγω κόπωσης και μιας κάποιας ταλαιπωρίας της υγείας μου τις τελευταίες μέρες, (αλλαγή καιρού, είναι και η ηλικία όπως λέμε Αλέξανδρε) και αφού πέρασε το διαδικαστικό κομμάτι του διαγωνισμού, κατάφερα αργά απόψε να δω αναλυτικά τα σημερινά θέματα. Δυό κουβέντες για τα θέματα: Σαν σύνολο τα βλέπω εξ...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 12:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Μετά τον παραπάνω τρόπο παρουσιάζουμε ακόμα έναν αναλυτικό-γεωμετρικό. ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τα σημεία $(x,y)$ και $(z,w)$ θα ανήκουν στο τριγωνικό χωρίο $AB\Gamma$ με κορυφές $A(1,1)$, $B(1,5)$ και $\Gamma(5,1)$, αφού $1\leq x,y,z,w\leq 5$, $2\leq x+y\leq 6$ και $2\leq z+w\leq 6.$ Ας θεωρήσουμε ότι το $...
από achilleas
Κυρ Νοέμ 11, 2018 10:05 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Καλημέρα! Παρουσιάζουμε ένα διαφορετικό τρόπο για το ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ από αυτόν που δημοσιεύσαμε εδώ . Παρατηρούμε ότι $-1\leq \dfrac{t-3}{2}\leq 1$ για κάθε $t\in \{x,y,z,w\}$. Έτσι, $x=2\sin \alpha+3$, $y=2\sin \beta+3$, $z=2\sin \gamma+3$ και $w=2\sin \delta+3$ για κάποια $\alpha,\beta,\gamma,\de...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 10, 2018 7:23 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1 Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0$ $\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7 \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}$ Καλησπέρα Γιώργο! Χω...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 10, 2018 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

ΘΕΜΑ 4-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (α) Είναι $A\widehat{B}\Delta=\Gamma\widehat{B}E$ (γωνίας χορδής και εφατομένης) και $B\widehat{\Gamma}E=\Delta \widehat{A}B$ (από το εγγράψιμο $AB\Gamma\Delta$) κι άρα $A\widehat{\Delta}B=B\widehat{E}\Gamma.$ Δηλαδή, η $A\Delta $ εφάπτεται του κύκλου $(c_1)$ στο $\Delta.$ (β) H $MO...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι $\displaystyle{9A=10A-A=\overline{a_4a_3a_2a_1a_00}-\overline{a_4a_3a_2a_1a_0}}$ Αφού $a_0>a_1$ είναι $a_0\geq a_1+1$, κι αφού $a_1>a_2>a_3>a_4$, κάνοντας την αφαίρεση παίρνουμε τον αριθμό $\displaystyle{\overline{a_4(a_3-a_4)(a_2-a_3) (a_1-a_2)(a_0-a_1-1)(10-a_0)}}$ με άθροι...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 10, 2018 1:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

ΘΕΜΑ 3- Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Από τη δοθείσα παίρνουμε $x^2-7x+6=x^2-(a+2)x+2a$, ή ισοδύναμα, $6-2a=(5-a)x.$ Προφανώς, $a\ne 5$ οπότε $\displaystyle{x=\dfrac{6-2a}{5-a}=2-\dfrac{4}{5-a}}$. Άρα ο $5-a$ θα είναι ακέραιος διαιρέτης του $4$, οπότε οι τιμές που μπορεί να πάρει $\pm 1, \pm 2, \pm 4.$ Αφού $x\ne {\...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

ΘΕΜΑ 1-B ΛΥΚΕΙΟΥ Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle{a^6-27b^6+26a^3b^3=0}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle{(a^3-b^3)(a^3+27b^3)=0}$ Έτσι, $a=b\ne 0$ ή $a=-3b\ne 0, $οι οποίες γίνονται αποδεκτές αφού $a^6-27b^6\ne 0$ για αυτές. Συνεπώς, οι τιμές της $K$ είναι $\displaystyle{K=\dfrac{b^2-b^2}{b^2+b^2}=0}$ ...
από achilleas
Σάβ Νοέμ 10, 2018 12:03 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)
Απαντήσεις: 85
Προβολές: 6754

Re: ΘΑΛΗΣ 2018-2019 (Θέματα - Απαντήσεις - Σχόλια)

ΘΕΜΑ 1- Α ΛΥΚΕΙΟΥ Εύκολα βλέπουμε πως η δοθείσα εξίσωση γράφεται $\displaystyle (x-1)(x-2)(x-5)=0 $ κι άρα έχει λύσεις $x=1$, $x=2$ ή $x=5$, ενώ η ανίσωση γράφεται $\displaystyle \dfrac{x^2-x-4}{2}<\dfrac{x^2-5x+12}{2} $ ή ισοδύναμα $\displaystyle x^2-x-4<x^2-5x+12\iff 4x<16\iff x<4. $ Οι κοινές λύ...
από achilleas
Παρ Αύγ 10, 2018 12:05 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Αποτελέσματα IMC 2018
Απαντήσεις: 0
Προβολές: 209

Αποτελέσματα IMC 2018

Tα αποτελέσματα του IMC 2018 είναι πια διαθέσιμα εδώ.

Θερμά συγχαρητήρια σε όσους διαγωνίστηκαν, και ιδιαίτερα σε όσους διακρίθηκαν.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Αύγ 01, 2018 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κωνσταντίνος Δασκαλάκης βραβείο Nevanlinna
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 460

Re: Κωνσταντίνος Δασκαλάκης βραβείο Nevanlinna

Θερμά Συγχαρητήρια!

Στη σελίδα αυτή διαβάζουμε ότι ο Δασκαλάκης, ως μαθητής του Γυμνασίου είχε κερδίσει το Β Βραβείο στην Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Πράγματι, η σχετική δημοσίευση υπάρχει στο Τεύχος 19 (Ιαν.-Φεβρ.-Μαρτ. 1996) του Ευκλείδη Β'.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τετ Αύγ 01, 2018 11:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Fields Medals 2018
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 686

Re: Fields Medals 2018

mick7 έγραψε:
Τετ Αύγ 01, 2018 10:19 pm
Οι Scholze και Venkatesh είχαν κερδίσει το χρυσό στην ΙΜΟ. :clap2:
O Venkatesh είχε κερδίσει χάλκινο, όχι χρυσό.

Μπροστά στο Fields Medal, βέβαια, μικρή σημασία έχει.
από achilleas
Τετ Αύγ 01, 2018 2:16 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ακέραιοι αριθμοί
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 382

Re: Ακέραιοι αριθμοί

Έστω $f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$. Υποθέτουμε ότι οι $f(0), f(1), f(2)$ είναι ακέραιοι. Δείξατε ότι ο $f(2010)$ είναι επίσης ακέραιος. Εξετάσατε αν ο $f(2011)$ είναι ακέραιος. Θέτουμε $n=\alpha+\beta=f(1)-f(0)$ και $m=4\alpha+2\beta=f(2)-f(0).$ Απ...
από achilleas
Σάβ Ιούλ 14, 2018 2:34 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 4848

Re: IMO 2018

gbaloglou έγραψε:
Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm
...

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.
Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Παρ Ιούλ 13, 2018 10:23 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2018
Απαντήσεις: 47
Προβολές: 4848

Re: IMO 2018

Θερμά Συγχαρητήρια σε όλους!

Φιλικά,

Αχιλλέας
imo_2019.png
imo_2019.png (36.42 KiB) Προβλήθηκε 738 φορές

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση