Η αναζήτηση βρήκε 2627 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Αθροίσματα από άσσους
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 550
Re: Αθροίσματα από άσσους
Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B , No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196. Φιλικά, Αχιλλέας Αχιλλέα, είσαι τρομερός. Ξέρεις την πηγή των ασκήσεων από την στιγμή που... αρχίζει να δακτυλογραφεί κάποιος την εκφώνηση. Τι λύση έχει το Gazeta ...
- Κυρ Νοέμ 15, 2020 1:07 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Αθροίσματα από άσσους
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 550
Re: Αθροίσματα από άσσους
Καλησπέρα σας!Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 14, 2020 2:59 pm...
Μου την έστειλε φίλος από Ρουμανία. Μου άρεσε και την μοιράζομαι μαζί σας. Δεν ξέρω περισσότερα για την προέλευσή της.
Πρόκειται για το πρόβλημα Ε:15426 Clasa a VI-a του Gazeta Matematica, Seria B, No. 10/2018, σελ. 498 με λύση στο No. 4/2019, σελ. 196.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:40 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Εγκλωβίζοντας την ρίζα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 185
Re: Εγκλωβίζοντας την ρίζα
Είναι γνωστό ότι $a^5-a^3+a=2$. Να αποδείξετε, ότι $3< a^6 < 4$. Προφανώς $a\ne 0$ και $a\ne 1$. Παρατηρούμε ότι $2a+\dfrac{2}{a}=a^2(a^4-a^2+1)+(a^4-a^2+1)=(a^2+1)(a^4-a^2+1)=a^6+1\geq 1$. Άρα $a>0$ και $a^6-3=2\left(a+\dfrac{1}{a}\right)-4=2\dfrac{(a-1)^2}{a}>0$, αφού $a\ne 1$. Άρα $a^6>3$, κι αφ...
- Τετ Νοέμ 11, 2020 12:45 am
- Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
- Θέμα: Από τη συνέχεια στη συμμετρία
- Απαντήσεις: 7
- Προβολές: 599
Re: Από τη συνέχεια στη συμμετρία
Ποια συζήτηση;chris_gatos έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 11, 2020 12:44 amΤελικά αποκαλύφθηκε πως δεν υφίσταται τέτοια συνάρτηση και προς στήριξη αυτού του ισχυρισμού δόθηκε το παρακάτω άρθρο.
Ευχαριστώ τους Γιώργο Τσαβδαρίδη και Βασίλη Βισκαδουράκη για την εποικοδομητική συζήτηση.
https://www.jstor.org/stable/2321556
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 10:38 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 1006
Re: ΘΑΛΗΣ 2010 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ
3. Αν για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x, y}$ ισχύει ότι $\displaystyle{x + y = 4}$ , να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{\frac{(2x+1)^2}{x}+\frac{(2y+1)^2}{y}\ge 25}$ . Πότε ισχύει η ισότητα; Καλησπέρα! Τα παρακάτω τα είχα ετοιμάσει για τους μαθητές του σχολείου μας πριν λίγου...
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 10:10 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 628
Re: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Για την ισοδυναμία : $x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+1=x^2+\dfrac{x^2}{(x+1)^2}+\dfrac{(x+1)^2}{(x+1)^2}=x^2+\dfrac{2x^2+2x+1}{(x+1)^2}$ $=x^2+\dfrac{2x(x+1)+1}{(x+1)^2}=x^2+\dfrac{2x}{(x+1)}+\dfrac{1}{(x+1)^2}=(x+\dfrac{1}{x+1)})^2}$ . Τα λοιπά : $x+\dfrac{1}{x+1}=2\Leftrightarrow x^2-x-1=0 $ , με ρίζες...
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 8:52 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 628
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 8:19 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 628
Re: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Δεν ξέρω πώς λύθηκε στο test. Θέτω $\boxed{x+1=t}$ και η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {(t - 1)^2} + \frac{{{{(t - 1)}^2}}}{{{t^2}}} = 3 \Leftrightarrow {t^4} - 2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0$ Η εξίσωση που προέκυψε είναι αντίστροφη (*) . Διαιρώ με $\displaystyle {t^2} \ne 0$ και έχω: $\displaystyl...
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:56 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 380
Τεστ εξάσκησης #3 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Καλησπέρα σας! Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ , και του 2ου τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ. Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Practice TEST 3 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ 1. Δίνεται το σύστημα...
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:46 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 378
Τεστ εξάσκησης #2 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Καλησπέρα σας! Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων του 1ου τεστ , ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ. Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Practice TEST 2 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ 1. Δίνεται ένα τετραψήφιος αριθμός $N$ ...
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 2:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
- Απαντήσεις: 10
- Προβολές: 628
Τεστ εξάσκησης #1 - ΘΑΛΗΣ Β Λυκείου 2020
Καλησπέρα σας! Την περίοδο προετοιμασίας για τον ΘΑΛΗ, οι μαθητές μας κλήθηκαν να εξασκηθούν υπο διαγωνιστικές συνθήκες σε τρια τεστ, τα οποία Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** Ακολουθούν τα προβλήματα του 1ου τεστ: P...
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 9:52 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτε...
- Σάβ Νοέμ 07, 2020 12:06 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτε...
- Παρ Νοέμ 06, 2020 8:27 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
We know...Του το έχω πει ήδη.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 06, 2020 8:24 pmΑρκεί να έχει γίνει και ο έλεγχος ότι κάθε παράγοντας είναι μεγαλύτερος του, για να μην χάσει κάποιο βαθμό ο μαθητής.
- Παρ Νοέμ 06, 2020 7:59 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
... Καλησπέρα Αχιλλέα. Η λύση που κάνεις γίνετε πιο απλή αν πούμε ότι το 81 σε οποιοδήποτε εκθέτη λήγει σε 1 και το 4 σε περιττο εκθέτη λήγει σε 4 ! Άρα το άθροισμα λήγει σε 5 και άρα διαιρείται με το 5. Επίσης υπάρχει και άμεση λύση λόγω της ταυτότητας Sophie-Germain!! Καλή επιτυχία σε όλα τα παιδ...
- Παρ Νοέμ 06, 2020 7:32 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Το $AEK\Delta$ είναι εγγράψιμο, όπου $K$ είναι το ορθόκεντρο του $\triangle AB\Gamma$. Από τον Νόμο των ημιτόνων στο $\triangle AB\Gamma$ είναι $AB=2AO\sin A\widehat{\Gamma}B$, και από τον Νόμο των ημιτόνων στο $\triangle AE\Delta$ είναι $A\Delta =AK\sin A\widehat{E}\Delta$. Αλλά ...
- Παρ Νοέμ 06, 2020 4:32 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Αφού $A\widehat{M}\Gamma=90^\circ$ (η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος), η $A\Gamma$ είναι διάμετρος του $(c)$, με το μέσο της $N$ να είναι το κέντρο του $(c)$. Άρα είναι $AN=N\Delta$, οπότε η κάθετη από το $N$ στην $AB$ είναι η μεσοκάθετος του $A\Delta$. Επίσης, η κάθε...
- Παρ Νοέμ 06, 2020 4:05 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
Α ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 2 Για κάθε ακέραιο $k$ είναι $\displaystyle 3k(k+1)=k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1), $ Έστω $A$ το άθροισμα του Ανδρέα, $B$ το άθροισμα του Βασίλη, και $\Gamma$ το άθροισμα της Γεωργίας είναι $ \begin{aligned} 3A+3B&=3(1\cdot 2+2\cdot 3+\cdots+2019\cdot 2020) \\ &=1\cdot 2\cdot 3+ (2\cdot 3...
- Παρ Νοέμ 06, 2020 3:52 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 2 Από γωνία χορδής και εφαπτομένης, τις ίσες προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς $AB\Gamma$ και το εγγεγραμμένο τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ έχουμε $ \begin{aligned} \Delta\widehat{\Gamma}K=\Delta \widehat{B}\Gamma &=90^\circ-A\widehat{\Gamma}B\\ &=90^\circ-A\widehat{B}\Gamm...
- Παρ Νοέμ 06, 2020 3:50 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2020
- Απαντήσεις: 39
- Προβολές: 4801
Re: ΘΑΛΗΣ 2020
Β ΛΥΚΕΙΟΥ - ΘΕΜΑ 3 Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \dfrac{a+b+c}{b-2a}-4=\dfrac{9a^2-3b+c}{b-2a}=\dfrac{f(-3)}{b-2a}\geq 0, $ αφού $b-2a>0$ και $f(-3)\geq 0$. Συνεπώς, για όλα τα τριώνυμα $f(x)=ax^2+bx+c$ που ικανοποιούν τις υποθέσεις του προβλήματος, η παράσταση $\dfrac{a+b+c}{b-2a}$ είναι μεγαλύτερ...