Παρατηρούμε ότι έαν αφαιρέσουμε τον $A$ από τον $111110$ παίρνουμε τον αριθμό $B=\overline{b_4b_3b_2b_1b_0}}$ με $b_i=10-a_i$ για $i=0,1,2,3,4$, τότε ο $B$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Γ2. Έτσι, για τον $9A$ αφαιρούμε από τον $999990$ τον $9B=\displaystyle{\overline{b_4(b_3-b_4)(b_2-b_3) (b_1-b_2)(b...

Ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια . Παραμένω όμως ανήσυχος . Αυτός ο διαγωνισμός ήταν πολύ σημαντικός για εμένα . Πως αξιολογείτε τον βαθμό δυσκολίας των θεμάτων ? Χρήστο, Ελπίζω να σε βοηθήσει να ησυχάσεις αν μάθεις ότι κι εμείς που γράφουμε στο forum έχουμε αποτύχει κατ' επανάληψη σε πολλούς διαγων...

Γεια σας! Είμαι μαθητής της Β Λυκείου και έχω μια ερώτηση για το 3ο Θέμα: Από τη στιγμή που για τον τετραψήφιο θετικό ακέραιο Α ισχύει οτι α0>α1>α2>α3>0,δεν μπορούμε να πούμε πώς το άθροισμα των ψηφίων του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του δέκα?(αφού η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο α3 είναι ίση με 1...

Σας παρακαλώ δώστε μου μία απάντηση.Ή τουλάχιστον πείτε μου που βρίσκονται οι βάσεις τα προηγούμενα χρόνια για να έχω μία εικόνα.Ισχύει ότι με 2.5 θέματα περνάς; Καλησπέρα! Κανείς δεν μπορεί να σου πει με σιγουριά ούτε ότι περνάς ούτε ότι δεν περνάς. Το καλύτερο που έχεις να κάνεις είναι να συνεχίσ...

Θα εφαρμόσουυμε την ιδέα του Gauss Από το 34 έως το 66 υπάρχουν όσοι αριθμοί από το $34-33=1$ έως το $66-33=33$, δηλ. 33. Ομοίως, από το 68 έωςτο 100 υπάρχουν όσοι αριθμοί από το $68-67=1$ έως το $100-67=33$, δηλ. 33. Μπορούμε πάρουμε 33 ζευγάρια, αν ζευγαρώσουμε το $\dfrac{1}{34}$ με το $\dfrac{1}{...

Λόγω κόπωσης και μιας κάποιας ταλαιπωρίας της υγείας μου τις τελευταίες μέρες, (αλλαγή καιρού, είναι και η ηλικία όπως λέμε Αλέξανδρε) και αφού πέρασε το διαδικαστικό κομμάτι του διαγωνισμού, κατάφερα αργά απόψε να δω αναλυτικά τα σημερινά θέματα. Δυό κουβέντες για τα θέματα: Σαν σύνολο τα βλέπω εξ...

Μετά τον παραπάνω τρόπο παρουσιάζουμε ακόμα έναν αναλυτικό-γεωμετρικό. ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τα σημεία $(x,y)$ και $(z,w)$ θα ανήκουν στο τριγωνικό χωρίο $AB\Gamma$ με κορυφές $A(1,1)$, $B(1,5)$ και $\Gamma(5,1)$, αφού $1\leq x,y,z,w\leq 5$, $2\leq x+y\leq 6$ και $2\leq z+w\leq 6.$ Ας θεωρήσουμε ότι το $...

Καλημέρα! Παρουσιάζουμε ένα διαφορετικό τρόπο για το ΘΕΜΑ 2-Β ΛΥΚΕΙΟΥ από αυτόν που δημοσιεύσαμε εδώ . Παρατηρούμε ότι $-1\leq \dfrac{t-3}{2}\leq 1$ για κάθε $t\in \{x,y,z,w\}$. Έτσι, $x=2\sin \alpha+3$, $y=2\sin \beta+3$, $z=2\sin \gamma+3$ και $w=2\sin \delta+3$ για κάποια $\alpha,\beta,\gamma,\de...

Γ' Λυκείου-Πρόβλημα 1 Με λίγη φαντασία η δοθείσα εξίσωση γράφεται: $\displaystyle {x^2}({x^2} - 4x - 3) + 3x({x^2} - 4x - 3) - 3({x^2} - 4x - 3) = 0$ $\displaystyle ({x^2} - 4x - 3)({x^2} + 3x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \pm \sqrt 7 \vee x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {21} }}{2}$ Καλησπέρα Γιώργο! Χω...

ΘΕΜΑ 4-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (α) Είναι $A\widehat{B}\Delta=\Gamma\widehat{B}E$ (γωνίας χορδής και εφατομένης) και $B\widehat{\Gamma}E=\Delta \widehat{A}B$ (από το εγγράψιμο $AB\Gamma\Delta$) κι άρα $A\widehat{\Delta}B=B\widehat{E}\Gamma.$ Δηλαδή, η $A\Delta $ εφάπτεται του κύκλου $(c_1)$ στο $\Delta.$ (β) H $MO...

ΘΕΜΑ 2-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Είναι $\displaystyle{9A=10A-A=\overline{a_4a_3a_2a_1a_00}-\overline{a_4a_3a_2a_1a_0}}$ Αφού $a_0>a_1$ είναι $a_0\geq a_1+1$, κι αφού $a_1>a_2>a_3>a_4$, κάνοντας την αφαίρεση παίρνουμε τον αριθμό $\displaystyle{\overline{a_4(a_3-a_4)(a_2-a_3) (a_1-a_2)(a_0-a_1-1)(10-a_0)}}$ με άθροι...

ΘΕΜΑ 3- Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Από τη δοθείσα παίρνουμε $x^2-7x+6=x^2-(a+2)x+2a$, ή ισοδύναμα, $6-2a=(5-a)x.$ Προφανώς, $a\ne 5$ οπότε $\displaystyle{x=\dfrac{6-2a}{5-a}=2-\dfrac{4}{5-a}}$. Άρα ο $5-a$ θα είναι ακέραιος διαιρέτης του $4$, οπότε οι τιμές που μπορεί να πάρει $\pm 1, \pm 2, \pm 4.$ Αφού $x\ne {\...

ΘΕΜΑ 1-B ΛΥΚΕΙΟΥ Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle{a^6-27b^6+26a^3b^3=0}$ ή ισοδύναμα $\displaystyle{(a^3-b^3)(a^3+27b^3)=0}$ Έτσι, $a=b\ne 0$ ή $a=-3b\ne 0, $οι οποίες γίνονται αποδεκτές αφού $a^6-27b^6\ne 0$ για αυτές. Συνεπώς, οι τιμές της $K$ είναι $\displaystyle{K=\dfrac{b^2-b^2}{b^2+b^2}=0}$ ...

ΘΕΜΑ 1- Α ΛΥΚΕΙΟΥ Εύκολα βλέπουμε πως η δοθείσα εξίσωση γράφεται $\displaystyle (x-1)(x-2)(x-5)=0 $ κι άρα έχει λύσεις $x=1$, $x=2$ ή $x=5$, ενώ η ανίσωση γράφεται $\displaystyle \dfrac{x^2-x-4}{2}<\dfrac{x^2-5x+12}{2} $ ή ισοδύναμα $\displaystyle x^2-x-4<x^2-5x+12\iff 4x<16\iff x<4. $ Οι κοινές λύ...

Tα αποτελέσματα του IMC 2018 είναι πια διαθέσιμα εδώ.

Θερμά συγχαρητήρια σε όσους διαγωνίστηκαν, και ιδιαίτερα σε όσους διακρίθηκαν.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θερμά Συγχαρητήρια!

Στη σελίδα αυτή διαβάζουμε ότι ο Δασκαλάκης, ως μαθητής του Γυμνασίου είχε κερδίσει το Β Βραβείο στην Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Πράγματι, η σχετική δημοσίευση υπάρχει στο Τεύχος 19 (Ιαν.-Φεβρ.-Μαρτ. 1996) του Ευκλείδη Β'.

Φιλικά,

Αχιλλέας

mick7 έγραψε: ↑

Τετ Αύγ 01, 2018 10:19 pm

Οι Scholze και Venkatesh είχαν κερδίσει το χρυσό στην ΙΜΟ.

O Venkatesh είχε κερδίσει χάλκινο, όχι χρυσό.

Μπροστά στο Fields Medal, βέβαια, μικρή σημασία έχει.

Έστω $f(x)=\alpha x^2 + \beta x + \gamma$ όπου $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$. Υποθέτουμε ότι οι $f(0), f(1), f(2)$ είναι ακέραιοι. Δείξατε ότι ο $f(2010)$ είναι επίσης ακέραιος. Εξετάσατε αν ο $f(2011)$ είναι ακέραιος. Θέτουμε $n=\alpha+\beta=f(1)-f(0)$ και $m=4\alpha+2\beta=f(2)-f(0).$ Απ...

gbaloglou έγραψε: ↑

Παρ Ιούλ 13, 2018 1:57 pm

...

*σημειώνω με την ευκαιρία ότι δεν βρήκα πουθενά λύση του ΙΜΟ-6 στο διαδίκτυο, πρέπει πάντως να το έλυσαν γύρω στους 20 διαγωνιζόμενους.

Για διάφορες λύσεις, δείτε εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θερμά Συγχαρητήρια σε όλους!

Φιλικά,

Αχιλλέας