Πολύ χρήσιμες πληροφορίες! Να ρωτήσω κάτι ακόμη. Αν υποθέσουμε ότι ένας μαθητής πιάνει την βαθμολογία που απαιτείται από κάποιο πανεπιστήμιο μετά δίνει και άλλες εξετάσεις για να μπει στο πανεπιστήμιο (ενδοπανεπιστημιακα); Επίσης από τι άλλο εξαρτάται η τελική βαθμολογία εκτός των γραπτών; Τέλος αν...

Καλησπέρα σε όλους και καλό Πάσχα. Θα ήθελα κάποιες πληροφορίες σχετικά με το international baccalaureate. Πόσο "αποδεκτό" γίνεται από τα πανεπιστήμια του εξωτερικού; Υπάρχουν κάπου θέματα περασμένων ετών στα μαθηματικά; Καλησπέρα σας! Το Διεθνές Απολυτήριο γίνεται ευρέως αποδεκτό από τα πανεπιστήμ...

Έχει κατά καιρούς συζητηθεί έντονα. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\nu$ ισχύει: $\left( 1-\frac{1}{\nu ^{2}}\right) ^{\nu }\geq 1-\frac{1}{\nu }$ Μπορούμε να επικαλεστούμε την ανισότητα Bernoulli: Για κάθε $x\geq -1$ και θετικό ακέραιο $\nu$ ισχύει $(1+x)^\nu\geq 1+\nu x$, η οποία αποδε...

Πρόβλημα 5. Έστω $n \geq 2$ ένας ακέραιος, και έστω $a_1, a_2, \ldots, a_n$ θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $b_1, b_2, \ldots, b_n$ οι οποίοι να ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις συνθήκες: (i) $a_i \leq b_i$ για $i = 1, 2, \ldots, n$, (ii) τα υπόλοιπα των $b_1, b_2, \ldo...

Πρόβλημα 4. Έστω $ABC$ τρίγωνο με έγκεντρο $I$. Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το $B$ και εφάπτεται της $AI$ στο $I$ τέμνει ξανά την πλευρά $AB$ στο $P.$ Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το $C$ και εφάπτεται της $AI$ στο $I$ τέμνει ξανά την πλευρά $AC$ στο $Q.$ Να αποδειχθεί ότι η $PQ$ εφάπτεται στ...

Πρόβλημα 3 . Έστω τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε $\angle CAB>\angle ABC$, και έστω $I$ το έγκεντρό του. Έστω $D$ σημείο στο τμήμα $BC$ τέτοιο ώστε $\angle CAD=\angle ABC$. Έστω $\omega$ ο κύκλος ο οποίος εφάπτεται της $AC$ στο $A$ και διέρχεται από το $I.$ Έστω $X$ το δεύτερο σημείο τομής του $\omega$ μ...

Πρόβλημα 1 . Να βρεθούν όλες οι τριάδες $\left(a,b,c\right)$ πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε $ab+bc+ca=1$ και $\displaystyle a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b. $ ******************************************************************** Λύση : Έχουμε $\displaystyle c(1-b^2)=a(1-ab)=a(bc+ca)=c(ab+a^2), $ κι έτσι $\di...

Καλησπέρα! Αφού έχει περάσει ένα εύλογο χρονικό διάστημα και έχουν δημοσιευθεί πολλές και όμορφες λύσεις, ας μου επιτραπεί να παραθέσω ένα σύνδεσμο από το παρελθόν με άλλες ωραίες λύσεις. Εκεί έγραφα: "(...)Το πρόβλημα το συνάντησα διαβάζοντας το "Favorite Problems at BMC, Part 1, Circle Geometry" τ...

Καλησπέρα! Ας σημειώσουμε ότι από το Πρόβλημα 3, έπεται το παρακάτω "γνωστό" πρόβλημα (Τεστ Επιλογής Ολυμπιακής Ομάδας, Ινδία 1997/ 23η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2006 / Kvant A-M-S ανισότητα ) Αν $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε $\displaystyle{\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(...

Δίνονται θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Να δειχθεί ότι

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλησπέρα σας! Το ερχόμενο Σάββατο, το παράρτημα Λάρισας της ΕΜΕ διοργανώνει to δεύτερο μαθηματικό εργαστήρι για την επιμόρφωση-εκπαίδευση εκπαιδευτών με θεματολογία την υποστήριξη της προετοιμασίας και της προώθησης των μαθηματικών διαγωνισμών με εισηγητή τον Θάνο Μάγκο ( matha ). Περισσότερες λεπτ...

Μπορούμε να γενικεύσουμε κάπως, έστω: $0\leq a\leq 1$ να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις: $\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)}$ έτσι ώστε: $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}$ $\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}$ $\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}$ Το παραπάνω είναι προφανώς εφα...

Να βρεθούν τα θετικά ακέραια ζεύγη λύσεων $(x,y)$ που επαληθεύουν την εξισωση $y^{2}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ Πρόκειται για πρόβλημα της IMO 1983 Longlist το οποίο προτάθηκε από το Βέλγιο. Παρατηρούμε ότι $y^2 - \left( x^2 + \frac{1}{2} x \right)^2= \frac{3}{4} x^2 + x + 1>0$ για κάθε $x$, ενώ $y^2 -...

Αν $x>0$ να προσδιοριστεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης: $A=\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3+(x^3+\frac{1}{x^3})}$ Καλησπέρα! Πρόκειται για γνωστή άσκηση. Έχει ξανατεθεί στο forum, αλλά δυσκολεύομαι να τη βρω. Βάζω μια παραπομπή σε απόκρυψη Putnam B1 1998 Φιλικά, Αχ...

Εγω εκανα περιπου αυτο ακριβως , αλλα στο τελος εβγαλα σαν συμπερασμα οτι για $a \in [-2,2]$ η εξισωση εχει τεσσερις ακριβως πραγματικες ριζες ενω για υπολοιπα $a$ εχει 2 ακριβως πραγματικες ριζες . Μπορει να θεωρηθει λαθος αυτο επειδη καποιες λυσεις ειναι ισες μεταξυ τους; Η απάντηση μπορεί να θεω...

Μία λίγο διαφορετική λύση στο πρόβλημα 1 χωρίς την θεώρηση της διάταξης: Από AM-GM παίρνουμε $a^2+ b^2 +c^2 +d^2\geq 4\sqrt{abcd}$ Για να ισχύει η δοσμένη ισότητα πρέπει $abcd=1$ Άρα παίρνουμε ότι $a=\frac{1}{bcd}$ και $b=\frac{1}{acd}$ Οπότε$a + b= \frac{1}{bcd} + \frac{1}{acd}\geq 2 \sqrt{abc^2d^...

Μία λίγο διαφορετική λύση στο πρόβλημα 1 χωρίς την θεώρηση της διάταξης: Από AM-GM παίρνουμε $a^2+ b^2 +c^2 +d^2\geq 4\sqrt{abcd}$ Για να ισχύει η δοσμένη ισότητα πρέπει $abcd=1$ Άρα παίρνουμε ότι $a=\frac{1}{bcd}$ και $b=\frac{1}{acd}$ Οπότε$a + b= \frac{1}{bcd} + \frac{1}{acd}\geq 2 \sqrt{abc^2d^...

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θα λύσουμε την $|x^2-4|=ax+4$ για τις διάφορες τιμές του $a$. Έχουμε τις περιπτώσεις: **************************************** (I) Για $a=0$, παίρνουμε $|x^2-4|=4$. Εύκολα βρίσκουμε $x^2=8$ ή $x^2=0$, δηλ., $x=\pm 2\sqrt{2}$ ή $x=0$ (διπλή). Άρα η εξίσωση έχει τρεις ρίζες. *********...

Φαινεται οτι η ΕΜΕ δημοσιευεσε τις 'διορθωμενες' λυσεις της. Ωστοσο στο τριτο θεμα της Γ Λυκειου υπαρχει ακομη το ιδιο λαθος. Δηλαδη εγω που το ελυσα σωστα θα χασω μοναδες επειδη αυτοι το ελυσαν λαθος; Link :http://www.hms.gr/?q=node/1494 Μαθητης Γ λυκειου Πράγματι, η $x=0$ είναι προφανής λύση της ...

ΘΕΜΑ 4- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Το παρακάτω σχήμα συμπληρώνει απλώς την ωραία λύση του Νίκου εδώ.

είναι το μέσο του και είναι το μέσο του (αντί για και ).