Η αναζήτηση βρήκε 2471 εγγραφές

από achilleas
Τετ Απρ 24, 2019 6:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: international baccalaureate
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 196

Re: international baccalaureate

Πολύ χρήσιμες πληροφορίες! Να ρωτήσω κάτι ακόμη. Αν υποθέσουμε ότι ένας μαθητής πιάνει την βαθμολογία που απαιτείται από κάποιο πανεπιστήμιο μετά δίνει και άλλες εξετάσεις για να μπει στο πανεπιστήμιο (ενδοπανεπιστημιακα); Επίσης από τι άλλο εξαρτάται η τελική βαθμολογία εκτός των γραπτών; Τέλος αν...
από achilleas
Τετ Απρ 24, 2019 5:46 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: international baccalaureate
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 196

Re: international baccalaureate

Καλησπέρα σε όλους και καλό Πάσχα. Θα ήθελα κάποιες πληροφορίες σχετικά με το international baccalaureate. Πόσο "αποδεκτό" γίνεται από τα πανεπιστήμια του εξωτερικού; Υπάρχουν κάπου θέματα περασμένων ετών στα μαθηματικά; Καλησπέρα σας! Το Διεθνές Απολυτήριο γίνεται ευρέως αποδεκτό από τα πανεπιστήμ...
από achilleas
Πέμ Απρ 18, 2019 11:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα
Θέμα: Μία ανισότητα με δύναμη.
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 263

Re: Μία ανισότητα με δύναμη.

Έχει κατά καιρούς συζητηθεί έντονα. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο $\nu$ ισχύει: $\left( 1-\frac{1}{\nu ^{2}}\right) ^{\nu }\geq 1-\frac{1}{\nu }$ Μπορούμε να επικαλεστούμε την ανισότητα Bernoulli: Για κάθε $x\geq -1$ και θετικό ακέραιο $\nu$ ισχύει $(1+x)^\nu\geq 1+\nu x$, η οποία αποδε...
από achilleas
Τετ Απρ 10, 2019 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: EGMO 2019
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1039

Re: EGMO 2019

Πρόβλημα 5. Έστω $n \geq 2$ ένας ακέραιος, και έστω $a_1, a_2, \ldots, a_n$ θετικοί ακέραιοι. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $b_1, b_2, \ldots, b_n$ οι οποίοι να ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις συνθήκες: (i) $a_i \leq b_i$ για $i = 1, 2, \ldots, n$, (ii) τα υπόλοιπα των $b_1, b_2, \ldo...
από achilleas
Τετ Απρ 10, 2019 3:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: EGMO 2019
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1039

Re: EGMO 2019

Πρόβλημα 4. Έστω $ABC$ τρίγωνο με έγκεντρο $I$. Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το $B$ και εφάπτεται της $AI$ στο $I$ τέμνει ξανά την πλευρά $AB$ στο $P.$ Ο κύκλος ο οποίος διέρχεται από το $C$ και εφάπτεται της $AI$ στο $I$ τέμνει ξανά την πλευρά $AC$ στο $Q.$ Να αποδειχθεί ότι η $PQ$ εφάπτεται στ...
από achilleas
Τρί Απρ 09, 2019 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: EGMO 2019
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1039

Re: EGMO 2019

Πρόβλημα 3 . Έστω τρίγωνο $ABC$ τέτοιο ώστε $\angle CAB>\angle ABC$, και έστω $I$ το έγκεντρό του. Έστω $D$ σημείο στο τμήμα $BC$ τέτοιο ώστε $\angle CAD=\angle ABC$. Έστω $\omega$ ο κύκλος ο οποίος εφάπτεται της $AC$ στο $A$ και διέρχεται από το $I.$ Έστω $X$ το δεύτερο σημείο τομής του $\omega$ μ...
από achilleas
Τρί Απρ 09, 2019 2:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: EGMO 2019
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1039

Re: EGMO 2019

Πρόβλημα 1 . Να βρεθούν όλες οι τριάδες $\left(a,b,c\right)$ πραγματικών αριθμών τέτοιων ώστε $ab+bc+ca=1$ και $\displaystyle a^2b+c=b^2c+a=c^2a+b. $ ******************************************************************** Λύση : Έχουμε $\displaystyle c(1-b^2)=a(1-ab)=a(bc+ca)=c(ab+a^2), $ κι έτσι $\di...
από achilleas
Σάβ Μαρ 30, 2019 6:02 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Κριτήριο ισοσκελούς 5
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 460

Re: Κριτήριο ισοσκελούς 5

Καλησπέρα! Αφού έχει περάσει ένα εύλογο χρονικό διάστημα και έχουν δημοσιευθεί πολλές και όμορφες λύσεις, ας μου επιτραπεί να παραθέσω ένα σύνδεσμο από το παρελθόν με άλλες ωραίες λύσεις. Εκεί έγραφα: "(...)Το πρόβλημα το συνάντησα διαβάζοντας το "Favorite Problems at BMC, Part 1, Circle Geometry" τ...
από achilleas
Σάβ Μαρ 30, 2019 5:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΝΕΩΝ ( Junior ) - 2019
Απαντήσεις: 19
Προβολές: 1995

Re: Επιλογη Junior 2019

Καλησπέρα! Ας σημειώσουμε ότι από το Πρόβλημα 3, έπεται το παρακάτω "γνωστό" πρόβλημα (Τεστ Επιλογής Ολυμπιακής Ομάδας, Ινδία 1997/ 23η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2006 / Kvant A-M-S ανισότητα ) Αν $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί, τότε $\displaystyle{\dfrac{1}{a(b+1)}+\dfrac{1}{b(c+1)}+\dfrac{1}{c(...
από achilleas
Τετ Μαρ 27, 2019 12:21 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 300

Ανισότητα

Δίνονται θετικοί αριθμοί x,y,z τέτοιοι ώστε xyz+xy+yz+zx=4. Να δειχθεί ότι x+y+z\geq 3.

Φιλικά,

Αχιλλέας
από achilleas
Τρί Φεβ 12, 2019 5:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Εκπαίδευση εκπαιδευτών μαθηματικών διαγωνισμών
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 604

Re: Εκπαίδευση εκπαιδευτών μαθηματικών διαγωνισμών

Καλησπέρα σας! Το ερχόμενο Σάββατο, το παράρτημα Λάρισας της ΕΜΕ διοργανώνει to δεύτερο μαθηματικό εργαστήρι για την επιμόρφωση-εκπαίδευση εκπαιδευτών με θεματολογία την υποστήριξη της προετοιμασίας και της προώθησης των μαθηματικών διαγωνισμών με εισηγητή τον Θάνο Μάγκο ( matha ). Περισσότερες λεπτ...
από achilleas
Σάβ Φεβ 09, 2019 3:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Ισότητα ολοκληρωμάτων
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 481

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Μπορούμε να γενικεύσουμε κάπως, έστω: $0\leq a\leq 1$ να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις: $\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)}$ έτσι ώστε: $\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}$ $\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}$ $\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}$ Το παραπάνω είναι προφανώς εφα...
από achilleas
Κυρ Φεβ 03, 2019 11:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Εξίσωση με ακέραιους
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 233

Re: Εξίσωση με ακέραιους

Να βρεθούν τα θετικά ακέραια ζεύγη λύσεων $(x,y)$ που επαληθεύουν την εξισωση $y^{2}=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$ Πρόκειται για πρόβλημα της IMO 1983 Longlist το οποίο προτάθηκε από το Βέλγιο. Παρατηρούμε ότι $y^2 - \left( x^2 + \frac{1}{2} x \right)^2= \frac{3}{4} x^2 + x + 1>0$ για κάθε $x$, ενώ $y^2 -...
από achilleas
Τετ Ιαν 30, 2019 10:34 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ελάχιστη τιμή
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 281

Re: Ελάχιστη τιμή

Αν $x>0$ να προσδιοριστεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης: $A=\frac{(x+\frac{1}{x})^6-(x^6+\frac{1}{x^6})-2}{(x+\frac{1}{x})^3+(x^3+\frac{1}{x^3})}$ Καλησπέρα! Πρόκειται για γνωστή άσκηση. Έχει ξανατεθεί στο forum, αλλά δυσκολεύομαι να τη βρω. Βάζω μια παραπομπή σε απόκρυψη Putnam B1 1998 Φιλικά, Αχ...
από achilleas
Τρί Ιαν 22, 2019 5:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 133
Προβολές: 17366

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Εγω εκανα περιπου αυτο ακριβως , αλλα στο τελος εβγαλα σαν συμπερασμα οτι για $a \in [-2,2]$ η εξισωση εχει τεσσερις ακριβως πραγματικες ριζες ενω για υπολοιπα $a$ εχει 2 ακριβως πραγματικες ριζες . Μπορει να θεωρηθει λαθος αυτο επειδη καποιες λυσεις ειναι ισες μεταξυ τους; Η απάντηση μπορεί να θεω...
από achilleas
Τρί Ιαν 22, 2019 5:27 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
Απαντήσεις: 37
Προβολές: 5131

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018

Μία λίγο διαφορετική λύση στο πρόβλημα 1 χωρίς την θεώρηση της διάταξης: Από AM-GM παίρνουμε $a^2+ b^2 +c^2 +d^2\geq 4\sqrt{abcd}$ Για να ισχύει η δοσμένη ισότητα πρέπει $abcd=1$ Άρα παίρνουμε ότι $a=\frac{1}{bcd}$ και $b=\frac{1}{acd}$ Οπότε$a + b= \frac{1}{bcd} + \frac{1}{acd}\geq 2 \sqrt{abc^2d^...
από achilleas
Τρί Ιαν 22, 2019 3:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018
Απαντήσεις: 37
Προβολές: 5131

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ 2018

Μία λίγο διαφορετική λύση στο πρόβλημα 1 χωρίς την θεώρηση της διάταξης: Από AM-GM παίρνουμε $a^2+ b^2 +c^2 +d^2\geq 4\sqrt{abcd}$ Για να ισχύει η δοσμένη ισότητα πρέπει $abcd=1$ Άρα παίρνουμε ότι $a=\frac{1}{bcd}$ και $b=\frac{1}{acd}$ Οπότε$a + b= \frac{1}{bcd} + \frac{1}{acd}\geq 2 \sqrt{abc^2d^...
από achilleas
Τρί Ιαν 22, 2019 11:20 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 133
Προβολές: 17366

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θα λύσουμε την $|x^2-4|=ax+4$ για τις διάφορες τιμές του $a$. Έχουμε τις περιπτώσεις: **************************************** (I) Για $a=0$, παίρνουμε $|x^2-4|=4$. Εύκολα βρίσκουμε $x^2=8$ ή $x^2=0$, δηλ., $x=\pm 2\sqrt{2}$ ή $x=0$ (διπλή). Άρα η εξίσωση έχει τρεις ρίζες. *********...
από achilleas
Δευ Ιαν 21, 2019 11:10 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 133
Προβολές: 17366

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

Φαινεται οτι η ΕΜΕ δημοσιευεσε τις 'διορθωμενες' λυσεις της. Ωστοσο στο τριτο θεμα της Γ Λυκειου υπαρχει ακομη το ιδιο λαθος. Δηλαδη εγω που το ελυσα σωστα θα χασω μοναδες επειδη αυτοι το ελυσαν λαθος; Link :http://www.hms.gr/?q=node/1494 Μαθητης Γ λυκειου Πράγματι, η $x=0$ είναι προφανής λύση της ...
από achilleas
Κυρ Ιαν 20, 2019 1:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)
Απαντήσεις: 133
Προβολές: 17366

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2018 - 2019 (Θέματα-Λύσεις-Σχόλια)

ΘΕΜΑ 4- Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Το παρακάτω σχήμα συμπληρώνει απλώς την ωραία λύση του Νίκου εδώ.

H είναι το μέσο του A\Gamma και N είναι το μέσο του AB. (αντί για \Sigma και P).

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση