Υπολογίστε την ακτίνα του παραπάνω ημικύκλιου.

Δίνεται τρίγωνο με και .
Βρείτε το εμβαδόν του.

Καλησπέρα.

Το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος, είναι ορθογώνιο.

Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .

1.png Με πλευρά την $AD$ κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $APD$ και φέρνω το τμήμα $PC$. Προφανώς $\angle DAC=15^{0}\Rightarrow \angle CAP=45^{0}$. Επειδή $\angle ACD=30^{0}$, έπεται ότι το $P$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $ACD$. Οπότε $PA=PC$. Ονομάζω τη $K$ τη προβολή του $P$ στην $AC$. Το $K...

Στο παραπάνω σχήμα είναι και .

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας .

Καλησπέρα.

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Αν το σημείο είναι μέσο του , να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας .

1.png Προφανώς το $Z$ ανήκει στο περίκυκλο του τετραγώνου. Οπότε $\angle CZD=\angle DZA=\angle AZB=45^{0}$. Εύκολα βρίσκω ότι $AC=BD=\sqrt{178}$ και $CZ=5\sqrt{2}$. Από το Π. Θ. στο τρίγωνου $ACZ$ έχω $AZ=\sqrt{128}$. Από το Π. Θ. στο τρίγωνο $DZB$ βρίσκω $ZB=3$. Αλλά $(AZB)=\dfrac{AZ\cdot ZB\cdot ...

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ισοσκελές.
Βρείτε γεωμετρικά το σημείο και στη συνέχεια υπολογίστε το λόγο .

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι τετράγωνο.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ( συνευθειακά).

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το λόγο .

Καλησπέρα.

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου .

Αν , να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας .

Ονομάζω το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του με την .

Εύκολα προκύπτει ότι και .

Έστω . Οπότε .

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο έχω

.

Καλησπέρα.

Από τα υπεραρκετά στοιχεία του παραπάνω σχήματος να βρείτε το μήκος της διαγωνίου .

1.png Με πλευρά την $AC$ κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $ACP$ και φέρνω τα τμήματα $PB, PM$. Προφανώς $\angle PAB=15^{0}$. Έστω $N\equiv AM\cap PC$. Η $AM$ είναι μεσοκάθετος του $PC$. Οπότε $PM=MC$. Αλλά $BM=MC$. Άρα $\angle BPC=90^{0}$. Από το τρίγωνο $BPA$ εύκολα προκύπτει ότι $\angle ABP=15^{0...

Φέρνω τα κόκκινα τμήματα.

Παρατηρώ ότι το είναι το περίκεντρο του τριγώνου .

Οπότε .

Άρα .

Αλλά .

Συνεπώς .

1.png Καλησπέρα . Στο παραπάνω σχήμα σχεδίασα το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $AB\Gamma \Delta$ με κέντρο βάρους το $O$. Στη συνέχεια με πλευρά τη $\Delta O$ κατασκεύασα το τετράγωνο $OEZ\Delta$ και από τη κορυφή του $E$ έφερα κάθετη στη $B\Gamma$ με την οποία τέμνονται στο $K$. Αν $M\equiv KO\cap A\D...

Καλησπέρα.

Δίνονται οι παραπάνω κύκλοι .

Δείξτε ότι .

1.png Καλησπέρα . Γράφω τον κύκλο $(B, BA)$ ο οποίος τέμνει τη $BC$ στο $P$. Επίσης κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $BAN$ και φέρνω τα τμήματα $AP, PN$. Έστω $BD=a, DP=b$. Οπότε $BP=a+b\Rightarrow BA=a+b\Rightarrow DC=a+b\Rightarrow PC=a$. Προφανώς $\angle NBP=40^{0}\Rightarrow \angle NAP=20^{0}$....

Χρόνια πολλά και καλά στους εορτάζοντες.