1.png Κατασκευάζω τα χρωματιστά ισόπλευρα τρίγωνα και φέρνω όλα τα κόκκινα τμήματα. Είναι $EM=EB-MB\Rightarrow EM=a-b\Rightarrow AM=a$. Οπότε το $\triangle DAM$ είναι ισοσκελές. Άρα $\angle AMD=80^{0}\Rightarrow \angle DMC=\angle MCD=40^{0}\Rightarrow DM=DC$. Δηλαδή η $BD$ είναι μεσοκάθετος του $MC...

Καλησπέρα.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

70.png Καλησπέρα . Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB=4, BC=3$, ο περίκυκλος αυτού και ο κύκλος $(J)$ που εφάπτεται στις $AB, AC$ και στον περίκυκλο του τριγώνου. Δείξτε ότι $EF=ED$. Σημείωση: Δυστυχώς παρ΄ όλες τις προσπάθειες έχω μόνο τριγωνομετρική λύση. Για τους επίδοξους λύτες εν γένει ...

Στο παραπάνω σχήμα είναι και .
Δείξτε ότι .

29.png Απομονώνω το τρίγωνο $AOB$ μαζί με τα στοιχεία που έχουν προκύψει από το παραπάνω σχήμα. Γράφω τον περίκυκλο του $\triangle APB$ του οποίου το κέντρο ονομάζω $K$ και $N$ το σημείο τομής του με την $OB$. Φέρνω όλα τα κόκκινα τμήματα. Προφανώς το $\triangle KPN$ είναι ισόπλευρο. Οπότε $\angle ...

Καλημέρα.

Γράφω τον περίκυκλο του του οποίου το κέντρο ονομάζω .
Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Λήμμα: Είναι (Η απόδειξη αργότερα).
Άρα το είναι εγγράψιμο.
Επομένως .
Συνεπώς .

25.png Επί των προεκτάσεων των $AC, AD$ θεωρώ τα σημεία $M, N$ αντίστοιχα τέτοια ώστε $CM=CB, DN=DB$. Οπότε αρκεί να δείξω ότι $AM=AN$. Φέρνω τα τμήματα $MN, MB, BN$ και γράφω τον περίκυκλο του $\triangle ABM$ του οποίου το κέντρο ονομάζω $O$. Εν συνεχεία φέρνω και τα τμήματα $OA, OD, OM, ON$. Οι κ...

Ζητώ το μέτρο της γωνίας .

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι .

Καλησπέρα.

Τα χρωματιστά τρίγωνα του παραπάνω σχήματος, είναι ισόπλευρα.
Βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας .

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω ημικύκλιο διαμέτρου , το τόξο έχει μέτρο .
Βρείτε το μέτρο του τόξου .

Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το είναι παραλληλόγραμμο και το μέσο της .
Αν τα σημεία είναι συνευθειακά, να βρείτε το μήκος της πλευράς .

Αυτό ακριβώς αγαπητέ Γιώργο.

Ορίστε και το πρόβλημα από το οποίο προέκυψε το εν λόγω τετράπλευρο.

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι .
Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

(Έγραψα τον περίκυκλο του τριγώνου και.....).

Χρόνια πολλά Γιώργο.

Δεν καταλαβαίνω γιατί το τρίγωνο είναι ισοσκελές και γιατί .

Για το τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος ισχύει ότι .
Τι συμπεραίνετε γι΄ αυτό;

Χρόνια πολλά και καλά σ΄όλους τους εορτάζοντες.

Χρόνια πολλά και καλή χρονιά.

Στο παραπάνω σχήμα είναι και .
Βρείτε τις μοίρες της γωνίας .

Χρόνια πολλά σε όλους.

Δίνονται οι κύκλοι του παραπάνω σχήματος.
Δείξτε ότι .

10.png Καλησπέρα . Στο εσωτερικό τετραγώνου $ABCD$ και με διάμετρο τη $AB$ σχεδιάσω ημικύκλιο. Στη συνέχεια κατασκευάζω κύκλο του οποίου το κέντρο $O$ βρίσκεται πάνω στο ημικύκλιο και διέρχεται από τη κορυφή $B$ και από το μέσο $M$ της $BC$. Αν αυτός τέμνει το ημικύκλιο στο $E$ και η $BE$ την $DC$ ...