Χρόνια πολλά και καλά σ΄όλους τους εορτάζοντες.

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα είναι και .
Δείξτε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Σημείωση: Το παρόν προέκυψε από την επίλυση άλλου θέματος.

Βρείτε τη μεγαλύτερη ακέραια τιμή που μπορεί να λάβει η γωνία .

Χρόνια πολλά σ' όλους.

Στο παραπάνω σχήμα οι κύκλοι είναι ομόκεντροι ακτίνων και .
Υπολογίστε το μήκος της χορδής .

Καλησπέρα.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

62.png Καλή Σαρακοστή . Έστω ότι η προέκταση της $CP$ τέμνει τον ολόκληρο πλέον κύκλο στο $P$. Προφανώς αυτό είναι το διαμετρικό του $E$. Ονομάζω $N$ τη προβολή του $P$ στην $AB$. Από το Π. Θ. στο $\triangle ECP$ έχω $a^{2}+(a+b)^{2}=324 (1)$. Όμως $x^{2}=y(18-y) (2)$. Το Π. Θ. στο $\triangle KED$ ...

Η ακτίνα του κύκλου είναι .

12.png Και μία γεωμετρική απόδειξη της ισότητας . Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $DPC$, ονομάζω $M\equiv BD\cap PC$ και φέρνω τα τμήματα $PB, PA$. Είναι$ \angle CDM=30^{0}\Rightarrow BD$ μεσοκάθετος του $CP$. Οπότε $\angle DBP=18^{0}$ και $\angle BPD=12^{0}$. Αλλά $\angle MDA=18^{0}$. Παρατηρώ ότ...

Σωστή η παρατήρηση Γιώργο.
Θα μπορούσε επίσης να δοθεί η εν λόγω γωνία και να μη δοθεί ότι AB=CD.
Έχω μία λύση που δεν χρειάστηκε πουθενά η ισότητα αυτή.

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα είναι .
Βρείτε τις μοίρες της γωνίας .

1.png Κατασκευάζω τα χρωματιστά ισόπλευρα τρίγωνα και φέρνω όλα τα κόκκινα τμήματα. Είναι $EM=EB-MB\Rightarrow EM=a-b\Rightarrow AM=a$. Οπότε το $\triangle DAM$ είναι ισοσκελές. Άρα $\angle AMD=80^{0}\Rightarrow \angle DMC=\angle MCD=40^{0}\Rightarrow DM=DC$. Δηλαδή η $BD$ είναι μεσοκάθετος του $MC...

Καλησπέρα.

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

70.png Καλησπέρα . Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο $ABC$ με $AB=4, BC=3$, ο περίκυκλος αυτού και ο κύκλος $(J)$ που εφάπτεται στις $AB, AC$ και στον περίκυκλο του τριγώνου. Δείξτε ότι $EF=ED$. Σημείωση: Δυστυχώς παρ΄ όλες τις προσπάθειες έχω μόνο τριγωνομετρική λύση. Για τους επίδοξους λύτες εν γένει ...

Στο παραπάνω σχήμα είναι και .
Δείξτε ότι .

29.png Απομονώνω το τρίγωνο $AOB$ μαζί με τα στοιχεία που έχουν προκύψει από το παραπάνω σχήμα. Γράφω τον περίκυκλο του $\triangle APB$ του οποίου το κέντρο ονομάζω $K$ και $N$ το σημείο τομής του με την $OB$. Φέρνω όλα τα κόκκινα τμήματα. Προφανώς το $\triangle KPN$ είναι ισόπλευρο. Οπότε $\angle ...

Καλημέρα.

Γράφω τον περίκυκλο του του οποίου το κέντρο ονομάζω .
Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Λήμμα: Είναι (Η απόδειξη αργότερα).
Άρα το είναι εγγράψιμο.
Επομένως .
Συνεπώς .

25.png Επί των προεκτάσεων των $AC, AD$ θεωρώ τα σημεία $M, N$ αντίστοιχα τέτοια ώστε $CM=CB, DN=DB$. Οπότε αρκεί να δείξω ότι $AM=AN$. Φέρνω τα τμήματα $MN, MB, BN$ και γράφω τον περίκυκλο του $\triangle ABM$ του οποίου το κέντρο ονομάζω $O$. Εν συνεχεία φέρνω και τα τμήματα $OA, OD, OM, ON$. Οι κ...

Ζητώ το μέτρο της γωνίας .

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι .