Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο και το σημείο το βαρύκεντρο αυτού.
Αν το σημείο και το ημικύκλιο διαμέτρου εφάπτεται της στο ,
να υπολογίσετε την .

673.png $1)$Έστω $\angle DOA=2\varphi$ και $\angle AOB=2\theta $. Οπότε $\angle AOM=\angle MOB=\theta$ . Προφανώς $\angle OPK=\varphi$ . Αλλά η $OM$ είναι μεσοκάθετος του $KP$. Άρα $MK=MP$. Δηλαδή το σημείο $M$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $KLP$. Επομένως $\angle LMK=2\angle LPK\Rightarrow \ang...

97.png Όλες οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα. Από το ισόπλευρο τρίγωνο $BKC$ έχω $BC=BK$. Από το ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο $CBE$ παίρνω $BC=BE$. Οπότε το σημείο $B$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου $EKC$. Άρα $\theta =\dfrac{\angle CBK}{2}\Rightarrow \theta =30^{0}$. Συνεπώς $\angle AKE=45^{0...

Βρείτε το μέτρο της γωνίας .

Χριστός Ανέστη.

Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου συναρτήσει του , αν γνωρίζετε ότι .

Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, δείξτε ότι .

Αφού σας ευχαριστήσω όλους για τον χρόνο σας, να θέσω και ένα ερώτημα ακόμη.
Τι συμβαίνει αν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά;

Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι άνισων ακτίνων και , οι οποίοι εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο .
Κατασκευάστε γεωμετρικά ισόπλευρο τρίγωνο με και .

Όμοια με τον Μιχάλη Νάννο μέχρι εκεί που βρίσκει ότι (πρώτη λύση).
Εφόσον το είναι μέσο του και η από το παράλληλη προς τη τέμνει
την στο , έπεται ότι . Συνεπώς .

Στο παραπάνω σχήμα βρείτε το λόγο .

Το τετράπλευρο του σχήματος είναι ορθογώνιο.
Βρείτε το εμβαδόν του.

Καλημέρα.

Στο παραπάνω σχήμα δείτε ότι .

612.png Το τετράπλευρο $ABCD$ του παραπάνω σχήματος είναι τετράγωνο και τα σημεία $N$ και $M$ μέσα των πλευρών $AB, CD$ αντίστοιχα. Κατασκευάστε γεωμετρικά σημείο (ή σημεία) επί της $BM$, τέτοιο (ή τέτοια) ώστε $\angle PCM=\angle BPN$ και στη συνέχεια βρείτε το λόγο $\dfrac{PN}{CP}$. Σημείωση: Η σε...

Καλησπέρα.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχω .
Ενώ από το ορθογώνιο τρίγωνο παίρνω .
Δύο άγνωστοι, δύο εξισώσεις.
Απ' αυτές βρίσκω .

607.png Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο $BPC$ και φέρνω τα τμήματα $PA, PD$. Σύμφωνα με την άσκηση που αναφέρω παραπάνω, είναι $\angle BPD=18^{0}\Rightarrow \angle DPC=42^{0}$. Οι πράσινες γωνίες προκύπτουν εύκολα. Από το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου $CDP$ έχω ότι $\angle CDP=84^{0}$. Το τρίγω...

Καλή Χρονιά σ΄όλους.

Αν το συμμετρικό του ως προς την , τότε το εγγράψιμο , προφανώς είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Άρα .
Από Πτολεμαίο έχω .

Το τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι ισοσκελές με .
Δείξτε ότι είναι ισόπλευρο.

Στο παραπάνω σχήμα η είναι διάμετρος του κύκλου , το τρίγωνο ισόπλευρο και .
Αν τα μέσα των τμημάτων αντίστοιχα, να δείξετε ότι το είναι ρόμβος.

604.png Ο Πυθαγόρας στο τρίγωνο $KCB$ λέει ότι $R=\dfrac{5k}{3}$. Είναι $TC=\dfrac{8R}{5}$. Τα όμοια τρίγωνα $ASK$ και $TSC$ έχουν λόγο ομοιότητας $l=\dfrac{AK}{TC}=\dfrac{5}{8}=\dfrac{AS}{SC}$. Το Π.Θ. στο τρίγωνο $ABC$ μου δίνει $AC=\sqrt{10}k=2AM=2MC$. Είναι $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{5}{8}\Rightarr...