Αν μόλις μπήκες στη σχολή (καλή αρχή!), είναι πράγματι νωρίς να σε αγχώνει κάτι τέτοιο. Μέχρι το 6ο εξάμηνο θα έχεις υποχρεωτικά μαθήματα από όλους τους τομείς.Από το 6ο ως και το 8ο εξάμηνο όλα τα μαθήματα σου θα είναι επιλεγόμενα (οι κατευθύνσεις νομίζω πως καταργήθηκαν τη χρονιά που μπήκα εγώ, πρ...

Άσκηση 8 (Special paper, Ιούνιος 1980) Έστω $a>0$. Κάνοντας χρήση της αλλαγής μεταβλητής $\displaystyle{ t = \dfrac {1}{\sqrt {1-ax+a^2}}}$, ή με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, δείξτε ότι η τιμή του ολοκληρώματος $\displaystyle{\int_{-2}^{2} \dfrac {1}{\sqrt {1-ax+a^2}}\,dx}$ είναι $4$ αν $a<1$ και $4/a$...

Καλημέρα :logo: μετά από καιρό.. Εύκολα βλέπουμε ότι τα διανύσματα $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ αποτελούν βάση του ${\mathbb{R}}^3$. Πράγματι, αν πάρουμε τον γραμμικό συνδυασμό $k\vec{\alpha}+m\vec{\beta}+n\vec{\gamma}=\vec{0}$ προκύπτει ότι $k=m=n=0$, άρα τα διανύσματα είναι γραμμικά α...

Καλησπέρα :logo: Παρατηρούμε ότι το τρίγωνο $APC$ είναι ισοσκελές, επομένως $PC=AP=\dfrac{a}{3}$. Στο τρίγωνο $PBC$ εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο και έχουμε $\dfrac{4a^2}{9}=\dfrac{a^2}{9} + b^2 \rightarrow \dfrac{a^2}{3}=b^2 \rightarrow \dfrac{a}{b}=\sqrt{3}$ Η πλευρά $OA$ ισούται με $b$ αφού $OA=\dfra...

Νομίζω έχω αρχίσει να καταλαβαίνω.
Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

Καλό βράδυ,
Μιχάλης

Καλησπέρα :logo: και καλή χρονιά σε όλους. Διαβάζοντας για το μάθημα "διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους" προέκυψε μια απορία στις σειρές Φουριέ. Επειδή η εξέταση είναι σε 2 μέρες και δεν ξέρω κατά πόσο θα μπορέσω να έρθω σε επαφή με τον καθηγητή μου ως τότε αποφάσισα να απευθυνθώ εδώ. Θα πρ...

Καλησπέρα κύριε Χρήστο, καλησπέρα :logo: Έστω $X=(x,y)$ το ίχνος. Τα διανύσματα $AB,OX$ είναι κάθετα, οπότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι $0$. Άρα $-ax+by=0 \leftrightarrow y=\dfrac{ax}{b}$ , $b$ διάφορο του $0$ (Αλλιώς το $B$ θα ταυτιζόταν με το $O$) Επιπλέον το τρίγωνο $OXB$ είναι ορθογώνιο άρα...

Ναι πολύ σωστά
Θα το διορθώσω μόλις γυρίσω σπίτι.
Νομίζω το β και το γ δεν έχουν θέμα παραμόνο το α

Καλησπέρα Απόστολε Μια λύση για το Γ Θέμα Γ: Η $f(x)$ γράφεται σαν $f(x)=ln(\dfrac{x+3}{x})=ln(x+3)-lnx$ α) $f'(x)=\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{1}{x}$ και $f''(x)=\dfrac{-1}{(x+3)^2}+\dfrac{1}{x^2}$ $f''(x)=\dfrac{3(2x+3)}{x^2(x+3)^2} < 0 $ για κάθε $x<-3$ Άρα η $f$ είναι κοίλη για $x<-3$ EDIT: Η παραπάνω ...

Καλησπέρα :logo: Μιας και όσο ζούμε μαθαίνουμε και επειδή δεν έχει δοθεί απάντηση κάνω μια απόπειρα Βλέπουμε ότι η δεδομένη σχέση μετασχηματίζεται ως εξής : $ (\dfrac{2}{3}f^3(x))'=(\dfrac{1}{6}f^3(2x+1))'$ Άρα υπάρχει σταθερά $c$ ώστε $ \dfrac{2}{3}f^3(x)=\dfrac{1}{6}f^3(2x+1) +c $ Παρατηρούμε ότι ...

Καλησπέρα :logo: https://mathematica.gr/forum/download/file.php?mode=view&id=75550 Προεκτείνω την $AB$ έτσι ώστε $AZ=AE$ Έτσι δημιουργούνται τα ισοσκελή τρίγωνα $BZC$ (αφού $BZ=BA+AZ=BA+AE=BC$ ) και $EAZ$ Στο $EAZ$ η $AC$ είναι διχοτόμος συνεπώς και μεσοκάθετος. Μεσοκάθετος είναι και στο τρίγωνο $EC...

Καλησπέρα :logo: Θα γράψω την λύση του αρχικού ερωτήματος και μετά θα προσεγγίσω και την γενική περίπτωση. Αρχικά εύκολα βρίσκουμε ότι οι μερκές παράγωγοι της $f$ στο $(0,0)$ ως προς $x,y$ είναι $0$ Άρα αρκέι να εξετάσω αν το παρακάτω κλάσμα $\dfrac{xy}{(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{3}}*(x^2+y^2)^{\dfrac{1}{...

Καλησπέρα κύριε Θανάση Διακρίνω τις εξής περιπτώσεις : α) $x^2-9x+14=0 \rightarrow x=7 $ ή $x=2$ Για τις τιμές αυτές η παράσταση $x^2-9x+19$ είναι διάφορη του 0 οπότε οι τιμές είναι δεκτές. β)$x^2-9x+19=1 \rightarrow x=6 $ ή $x=3$ γ)$x^2-9x+19=-1 $ και $x^2-9x+14$ άρτιος Προκύπτει $x=5$ ή $x=4$ που ...

ΑΣΚΗΣΗ 1373 Αν οι $a,b,c \in \mathbb{R}$ ικανοποιούν την $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1$, να δείξετε ότι $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0$. Ορέστη καλησπέρα Στην πρώτη σχέση πολ/ζοντας με $a$ προκύπτει $\dfrac{a^2}{b+c}=a-\dfrac{ab}{c+a}-\dfrac{ca}{a+b} (1)$ Έπ...

Καλημέρα Mathematica, Καλημερα Κύριε Δημήτρη!!! Χαθήκαμε (ή μάλλον χάθηκα) για αρκετό καιρό...Σε περιοδο εξεταστικής είμαστε οπότε είπα για διάλλειμα να θυμηθώ τα παλιά :D :D Στα δικά μας τώρα... Αν και δεν μου άρεσε τόσο πολύ ο τρόπος (λίγο "μπακαλίστικος") θα περιγράψω το σκεπτικό αναλυτικά Θέλουμ...

Καλησπέρα Ορέστη, Καλησπέρα :logo: Κάνω μια προσπάθεια $A=\dfrac{100 \cdot 100^n +2}{3}+\dfrac{10^7 \cdot 10^{5n}+8}{9}=\dfrac{300 \cdot 100^n+6 +10^7 \cdot 10^{5n}+8}{9}$ Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμητή θα είναι $3+1+1+4=9$. Το $9$ προφανώς διαιρείται με το $9$ άρα ο $A$ είναι ακέραιος. Φιλικά ...

Καλησπέρα


άρα


Φιλικά
Μιχάλης

Καλησπέρα Ορέστη, καλησπέρα :logo: $sin^{2017}x+cos^{2017}x=sin^2x+cos^2x \Leftrightarrow sin^2x(sin^{2015}x-1)+cos^2x(cos^{2015}x-1)=0$ $sin^{2015}x-1 \leq 0$ Ομοίως και το $cos^{2015}x-1$ Άρα θα πρέπει $sinx=0$ και $cosx=1$ $sinx=1$ και $cosx=0$ EDIT:Ευχαριστώ τον κύριο Λάμπρου για τις διορθώσεις ...

Καλησπέρα :logo: Αρχικά μιλάμε για $x>-1$ a)$f'(x)=e^x+\dfrac{1}{x+1}+1 >0$ $για x>-1$ άρα η f είναι γν. αύξουσα. υπολογίζοντας τα όρια στο -1 και στο + άπειρο , το σύνολο τιμών είναι το $(- \infty,+\infty)$ δηλαδή το $R$ b)$f''(x)=e^x-\dfrac{1}{(x+1)^2}$ $x=0$ προφανής ρίζα. Έστω ότι έχει και άλλη,...

594 μια προσπάθεια.αν κάνουμε τις πράξεις καταλήγουμε στο όλοι οι όροι διαιρούνται με το Εκτός εαν