Η αναζήτηση βρήκε 261 εγγραφές

από Dreamkiller
Παρ Σεπ 21, 2012 11:15 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αποδόσεις σε στοίχημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1455

Re: Αποδόσεις σε στοίχημα

Αν δεν ισχύει αυτή η ανισότητα, μπορούμε να κερδίζουμε πάντοτε χρήματα από τον ΟΠΑΠ, στοιχηματίζοντας και στα τρία πιθανά αποτελέσματα. Έστω ότι στοιχηματίζουμε $x, y, z$ στο κάθε αποτέλεσμα και θέλουμε να κερδίζουμε σταθερό ποσό, έστω $S$, ανεξαρτήτως του αποτελέσματος. Δηλαδή θέλουμε να έχει λύση ...
από Dreamkiller
Παρ Σεπ 21, 2012 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Συμπεριφορά του σημείου του Θ.Μ.Τ.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 408

Συμπεριφορά του σημείου του Θ.Μ.Τ.

Έστω $f$ συνεχής στο $[a,x]$ και παραγωγίσιμη στο $(a,x)$. Από το Θ.Μ.Τ. γνωρίζουμε πως υπάρχει $\xi_{x} \in (a,x)$ τέτοιο ώστε $f(x)-f(a)=f'(\xi_{x})(x-a)$. Αν επιπλέον υπάρχει το $f''(a)$ και δεν είναι μηδέν, να αποδείξετε ότι $\displaystyle \lim\limits_{\xi_{x} \rightarrow a} \frac{\xi_{x}-a}{x-a...
από Dreamkiller
Τρί Ιούλ 03, 2012 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αποδόσεις σε στοίχημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1455

Re: Αποδόσεις σε στοίχημα

Οι αποδόσεις είναι αριθμοί που θέτει ο διοργανωτής (καλό είναι εν προκειμένω να φανταστούμε τον ΟΠΑΠ) για το τελικό αποτέλεσμα του αγώνα: νίκη της μιας ομάδας, ισοπαλία, νίκη της άλλης. Εάν ο αγώνας είναι knockout (πρέπει οπωσδήποτε να νικήσει μια ομάδα) ως τελικό σκορ θεωρείται το σκορ στο 90' (με ...
από Dreamkiller
Τρί Ιούλ 03, 2012 9:54 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: Αποδόσεις σε στοίχημα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 1455

Αποδόσεις σε στοίχημα

Αν a,b,c είναι οι αποδόσεις για ένα ποδοσφαιρικό στοίχημα (ο διοργανωτής του οποίου εξασφαλίζει πρωτίστως το συμφέρον του), να αποδείξετε ότι
ab+bc+ca > abc
από Dreamkiller
Πέμ Μαρ 08, 2012 4:28 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2012 - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΛΥΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ
Απαντήσεις: 17
Προβολές: 2092

Re: SEEMOUS 2012 - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΛΥΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ

Ευχαριστώ ρε Σάκη, να 'σαι καλά.
Να ευχηθώ καλή επιτυχία στον alex_eske.
από Dreamkiller
Πέμ Οκτ 13, 2011 12:58 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 378

Re: Μια ωραία ανισότητα από τον Ji Chen!

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{xy(x+y+2z)}{z(z+x)(z+y)}=\frac{x+y}{z}$. Υψώνοντας στο τετράγωνο τη δοθείσα αρκεί να αποδείξουμε ότι $4z^2(z+x)(z+y) \geq xy(x+y+2z)^2$ Όμως ισχύει ότι $z(z+x)(z+y) \geq xy(x+y+2z)$ αφού ισοδύναμα γράφεται $z^2(x+y+z) \geq xy(x+y+z)$. ...
από Dreamkiller
Κυρ Οκτ 09, 2011 2:24 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς 4
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 457

Ανισότητα στους πραγματικούς 4

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι \displaystyle a^2+b^2+c^2=\frac{2}{3} να δείξετε ότι

\displaystyle (ab+bc+ca)^2+\frac{5}{9} \geq a^3+b^3+c^3+6abc
από Dreamkiller
Σάβ Οκτ 01, 2011 6:31 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς 3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 458

Re: Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Ωχ, σωστά. Νόμιζα πως ήταν πιο σφιχτή, συγγνώμη. :oops:
από Dreamkiller
Σάβ Οκτ 01, 2011 5:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς 3
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 458

Ανισότητα στους πραγματικούς 3

Αν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c έχουν άθροισμα 2 να αποδείξετε ότι

a^4+b^4+c^4+abc \geq a^3+b^3+c^3

Δείτε και εδώ.
από Dreamkiller
Τρί Σεπ 27, 2011 5:12 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Θεωρία αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 342

Re: Θεωρία αριθμών

Λόγω της ταυτότητας $2^{ab}-1=(2^a-1)(1+2^a+...+2^{(b-1)a})$ παρατηρούμε πως αν $x|y$ τότε $2^x-1|2^y-1$. Θέτοντας $\displaystyle s=2^{p-1}-1$ το δοθέν κλάσμα γράφεται $\displaystyle \frac{(2^s-1)(2^s+1)}{(2^7-1)(2^p-1)}$. Επειδή $p \neq 7$, έχουμε πως $(2^{7}-1,2^{p}-1)=2^{(7,p)}-1=2^1-1=1$. Άρα αρ...
από Dreamkiller
Κυρ Σεπ 25, 2011 5:49 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς 2
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 1739

Ανισότητα στους πραγματικούς 2

Αν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε ab+bc+ca=3abc \neq 0, να δείξετε ότι

\displaystyle a^2+b^2+c^2-3abc +6 \geq \frac{a^2+1}{ab}+\frac{b^2+1}{bc}+\frac{c^2+1}{ca}

Να αναφέρω ότι αυτή η ανισότητα, όπως και αυτή, είναι δική μου κατασκευή.
από Dreamkiller
Δευ Σεπ 19, 2011 9:21 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Υπάρχει συνάρτηση;
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 443

Re: Υπάρχει συνάρτηση;

Θα αποδείξω κάτι γενικότερο. Έστω δύο συναρτήσεις $f,g: {A}\to {A}$. Έστω $B$ το σύνολο των σταθερών σημείων της $g$ και $C$ το σύνολο των σταθερών σημείων της $gog$. Αν $|C|-|B| \geq 2$, τότε δεν υπάρχει $f$ τέτοια ώστε $f(f(x))=g(x)$. Παρατηρούμε ότι $B \subseteq C$. Πράγματι, αν $g(x)=x$ για κάπο...
από Dreamkiller
Πέμ Σεπ 15, 2011 9:46 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα στους πραγματικούς
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1304

Ανισότητα στους πραγματικούς

Για κάθε τριάδα πραγματικών a,b,c με ab+bc+ca=3 να αποδείξετε ότι

a^2(a^2-ab-b^2)+b^2(b^2-bc-c^2)+c^2(c^2-ca-a^2) \geq -3
από Dreamkiller
Σάβ Σεπ 10, 2011 4:00 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα με συνημίτονα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 359

Re: Ανισότητα με συνημίτονα

Έχουμε \forall (a,b) \in R^2
\displaystyle { f(a,b)=|cosa|+|cosb|+|cos(a+b)| \geq |cosa||sinb|+|cosb||sina|+|cos(a+b)|  \geq |sin(a+b)| +|cos(a+b)| \geq 1}

Τελειώνουμε παρατηρώνοντας ότι ζητούμενη ισοδυναμεί με την
f(x,y+z)+f(y,z+x)+f(z,x+y) \geq 3, που ισχύει.
από Dreamkiller
Παρ Σεπ 02, 2011 9:45 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Μια ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 422

Re: Μια ανισότητα!

Παρατηρούμε ότι λόγω της συνθήκης τουλάχιστον ένας εκ των $a,b,c$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος του $1$. Αν και οι τρεις αριθμοί είναι μεγαλύτεροι του $1$, πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις $a+b \geq a+1$, $b+c \geq b+1$ και $c+a\geq c+1$. Αλλιώς, δύο εξ αυτών, έστω οι $a$ και $b$, βρίσκονται εκατέρωθεν ή π...
από Dreamkiller
Παρ Ιούλ 22, 2011 5:05 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2011
Απαντήσεις: 68
Προβολές: 8417

Re: IMO 2011

Συγχαρητήρια σε όλη την ομάδα και ειδικά στον Γιώργο ο οποίος διέπρεψε! :first: :notworthy:
από Dreamkiller
Πέμ Ιούλ 21, 2011 3:26 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 373

Re: Ανισότητα

Υψώνοντας στο τετράγωνο και εκτελώντας τις πράξεις παρατηρούμε ότι \displaystyle \sqrt{\frac{a+b}{a^2+6ab+b^2}} \geq \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.
Αφού προσθέσουμε κυκλικά τις αντίστοιχες ανισότητες, εφαρμόζουμε την Cauchy Schwarz στο δεξί μέλος και το ζητούμενο προκύπτει άμεσα.
από Dreamkiller
Κυρ Ιούλ 10, 2011 12:19 am
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: Κυριάκο Συγχαρητήρια!
Απαντήσεις: 24
Προβολές: 1847

Re: Κυριάκο Συγχαρητήρια!

Άπειρα συγχαρητήρια στον Κυριάκο που έσκισε! :winner_first_h4h:
από Dreamkiller
Σάβ Ιούλ 09, 2011 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Ανισότητα με πολλές εφαρμογές
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 480

Re: Ανισότητα με πολλές εφαρμογές

Εάν υποθέσουμε ότι $c \leq d$, εύκολα βλέπουμε ότι η τετράδα $\displaystyle \left(b,\frac{c+d}{2},\frac{c+d}{2},a\right)$ μεγιστοποιεί (majorizes) ακριβώς μία εκ των τετράδων $\displaystyle \left(d,\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right)$ και $\displaystyle \left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},d,c \right...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση