Αν ο $\displaystyle \alpha\in\Bbb{R}^{*}$ ικανοποιεί την σχέση $\alpha^2-2^{n}\cdot \alpha-1=0$, όπου $n\in\Bbb{N}$, να αποδείξετε ότι: $(\alpha^{2}+ \frac{1}{\alpha^2})\cdot$ $(\alpha^{4}+ \frac{1}{\alpha^4})\cdot$ $(\alpha^{8}+ \frac{1}{\alpha^8})$ $\cdot\cdot\cdot$ $(\alpha^{2^n}+ \frac{1}{\alpha...

Ε1. Πρέπει: $4- {x^2}>0$, απ'όπου εύκολα προκύπτει $x \in (-2,2)$. Άρα $D_f=(-2,2)$. Το $D_f$ σύνολο συμμετρικό ως προς το 0 και για κάθε $x \in D_f$ έχουμε $\displaystyle f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ οπότε η $f$ είναι άρτια. Ε2. H $C_f$ τέμνει τον $x'x$ στα σημεία $\displaystyle (\sqrt{3},0)$ ...

Θέτουμε και τον πρώτο και αντίστοιχα τον δεύτερο όρο του , οπότε ψάχνουμε το υπό τις συνθήκες:
(1)
δηλαδή (2)
Η (1) δίνει: ή και λόγω της (2) ή και παίρνουμε

Geomerty Problem.png Προεκτείνουμε την $\displaystyle AB$ κατά τμήμα $\displaystyle BE=BD=b$. Το $\displaystyle\triangle AEC$ είναι ισοσκελές $(\displaystyle AC=AE=a+b)$ με $\displaystyle\angle AEC=\angle ACE=40^0$, αφού $\displaystyle\angle EAC=\angle BAC=100^0$. Φέρουμε την διχοτόμο $\displaystyl...

Εξαιρετικές και οι τρεις λύσεις. Εγώ είχα κατά νου την λύση του κ. Μιχάλη ( Μιχάλης Τσουρακάκης). Bonus ερώτημα: Ισχύει το ζητούμενο αν το είναι αμβλυγώνιο;

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\bigtriangleup AB \Gamma$ και το ύψος του $A \Delta$. Η μεσοκάθετος της $AB$ τέμνει το $A \Delta$ στο $M$. Η παράλληλη από το $M$ προς την $AB$ τέμνει την $B \Gamma$ στο $E$. Να αποδείξετε ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $\bigtriangleup BEM$ βρίσκεται πάν...

Βρήκα την παρακάτω άσκηση διαβάζοντας ένα βιβλίο της Μαθηματικής Εταιρείας του Καναδά και δεν έχω λύση... "Να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S(x)}=(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}})+2(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}})+...+(n-1)(x+\frac{1}{x})+n$ ,όπου $x\neq0$." Υ.Γ. *Αν και την πάλεψα για αρκετή ώρα δεν...

geometry problem.png Προεκτείνουμε την$BA$ μέχρι να συναντήσει την παράλληλη προς την $SB$ στο σημείο $K$. Φέρνουμε την $AT$. Προφανώς $\angle{ATB}=90^{\circ}$ Έστω $\phi=\angle{SBP}$. Τότε είναι: $\phi=\angle{SBP}=\angle{ABT}=\angle{ATK}$(γωνία χορδής και εφαπτόμενης)$=\angle{TKA}$(αφού $SB//TK)$ ...

Έστω $a$ η ηλικία του διευθυντή και $b$ το άθροισμα των ηλικιών των 22 καθηγητών. Τότε πρέπει: $\displaystyle{ \frac{a+b}{23} = \frac{b}{22} + 6 \iff \frac{a}{23} = \frac{b}{22 \cdot 23}+6 \iff a = \frac{b}{22}+138.}$ Άρα: $\displaystyle{ \frac{a+b}{23} = \frac{\frac{b}{22} + 138 + b}{23} = \frac{\f...

Καλημερα! Στον Ευκλειδη της Γ γυμν εχω λυσει σωστα το 1ο,2ο (με ενα αριθμητικο λαθος στο γ ερωτημα)και απο το τριτο το α ερ. και στο β) βασικα αρχισα μια χαρα( βρηκα τα πολ 6 κλπ) αλλα μετα ειχα την "φαεινη" ιδεα να διαιρεσω τα πολ του 6 με το 9 χωρις να κανω το ιδιο και για τα πολ του 9. Εχω πιθανο...

Α) Είναι (√6+√2)⌃2=4(2+√3) ⇌ 6+2√12+2=8+4√3 ⇌ 2√12=4√3 ⇌ √12=2√3 ⇌ 2√3= 2√3 που ισχύει. Β) Αφού το FCE είναι ισόπλευρο θα είναι F=C=E=60°. Επίσης αφού το ABCD είναι τετράγωνο με εμβαδόν 6, συνεπάγεται πως η πλευρά του θα είναι ίση με √6. Επιπλέον θα είναι DAF=30° από το ορθογώνιο τρίγωνο DAF. Επειδή...

Κύριε Δημήτρη, Μπορεί εγώ να μην κατάλαβα καλά το πρόβλημα αλλά την απάντηση που έδωσα πιθανότατα να την έδινε ένα παιδί της Β' Γυμνασίου σαν εμένα. Βέβαια δεν είμαι και πολύ σίγουρος αν το πρόβλημα είναι "έξυπνο",αλλά αντίθετα με τόσες διαιρέσεις καταντά κουραστικό και πιστεύω πως δεν ακολουθεί την...

Για το 2ο θέμα: Ήταν έξυπνο αλλά εύκολο ! :wallbash: 1ο είδος---> 20:1,17=17,094... Συνεπώς πρέπει να πάρει 17 εξάδες από το 1ο είδος μολυβιών ώστε να πάρει τα λιγότερα ρέστα. 2ο είδος--->20:1,6=12,5 Συνεπώς πρέπει να πάρει 12 εξάδες από το 2ο είδος μολυβιών ώστε να πάρει τα λιγότερα ρέστα. :winner_...