Θεωρούμε ότι τρεις παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι : Ο Α διαλέγει αριθμό από το $[0,1]$. Μετά ο Β διαλέγει επίσης αριθμό από το $[0,1]$ αλλά διαφορετικό από αυτόν του Α. Τέλος ο Γ συνεχίζει παρόμοια αλλά πάλι με αριθμό διαφορετικό από αυτόν των άλλων δύο. Τέλος επιλέγεται τυχαίος αριθμός στο $[0,1 ...

γιατί η μέση τιμή είναι η τιμή που ελαχιστοποιεί την ποσότητα , όπου . σωστά;

Δυο παίκτες Α,Β παίζουν το εξής παιχνίδι : πρώτα ο Α διαλέγει ενα πραγματικό αριθμό απο το [0,1]. Κατόπιν, διαλέγει ένα αριθμό ο Β, ο οποίος θα είναι διαφορετικός από τον αντίστοιχο του Α. Τέλος, επιλέγεται ένας αριθμός τυχαία ομοιόμορφα απο το [0,1]. Νικητής είναι ο παίκτης που έχει επιλέξει αριθμό ...

Μέχρι στιγμής μπορώ να κάνω το εξής :
$\int |V|(x) d\nu_n(x) = \int |V|(x) (\nu\ast \rho_n) (x)dx = \int \limits_x |V|(x) \int\limits_y \rho(x-y)d\nu(y) \, dx =

\int \limits_x \int\limits_y |V|(x) \rho(x-y)d\nu(y) \, dx \overset{{\textit{Tonelli}}}{=} \int \limits_y \int\limits_x |V|(x) \rho(x-y ...

Σαν συνέχεια του παραπάνω ερωτήματος θέλω να δείξω το εξής :
Θεωρούμε την ακολουθία $(\nu_n)_n$ όπως ορίστηκε παραπάνω.
Έστω $V:\mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής, $V \in L^1(\nu)$, με$\lim \limits_{|x|\rightarrow\infty} V(x) = \infty$ και $\int \exp(-V(x))dx <\infty $ (ίσως αυτές οι δύο ...

θέτουμε $M=\sup \limits_n \int f d \mu_n $.
Έστω $\epsilon > 0$.
Η ανισότητα markov δίνει $ \mu_n (f > \frac{2M}{\epsilon} ) \frac{2M}{\epsilon} < \int \limits_{ \{f > \frac{2M}{\epsilon} \}} f d \mu_n \leqslant M$.
Οπότε $\sup \mu_n (f > \frac{2M}{\epsilon} ) \leqslant \frac{\epsilon}{2} $, όπου ...

θέτουμε και για σταθερό θέτουμε ?

Έστω $ (\mu_n)_n$ ακολουθία μέτρων πιθανότητας στον $\mathbb{R}^{d}$.
Η $(\mu_n)_n$ είναι tight (δε γνωρίζω την ελληνική ορολογία) αν για κάθε $\epsilon >0 $ υπάρχει $K_\epsilon $ συμπαγές $\subseteq \mathbb{R}^{d}$ τέτοιο ώστε $\sup \limits_n \mu_n (K_\epsilon^c) < \epsilon$.

Θέλω να δείξω ότι ...

Προσπαθώ να συμπληρώσω τις λεπτομέρειες στον ακόλουθο ισχυρισμό. Θα ήθελα κάποια βοήθεια, γνώμη αν είναι δυνατόν.
Έστω $U:\mathbb{R}^{d} \longrightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και τέτοια ώστε $\lim \limits_{|x|\longrightarrow\infty} \frac{U(x)}{|x|^{2}} = \infty$.
και έστω M={τα μέτρα πιθανότητας $v ...

Θεωρούμε την στοχαστική διαφορική εξίσωση $ d X_{t} = d B_{t} - \nabla(U(X_{t}))dt $ στον $\mathbb{R}^{d}$.
Ο G.Royer στο βιβλίο "An initiation to logarithmic sobolev inequalities" (p29) λέει ότι αν
(1) U είναι $C^{2}$,
(2) η στοχαστική εξίσωση δεν εκρηγνύεται σε πεπερασμένο χρόνο και
(3) $\exp(-U ...

Πράγματι. Δεν είχα ξαναδεί την ισοδυναμία με χρήση συναρτήσεων με συμπαγή φορέα στο Portmanteau.
Σας ευχαριστώ !

Μπερδεύτηκα. Από το θεώρημα Portmanteau για χαρακτηρισμό της ασθενούς σύγκλισης μέτρων πιθανότητας πρέπει να θεωρήσω συνεχή και φραγμένη συνάρτηση για να δείξω ασθενή σύγκλιση (όχι;). (όπου η ιδιότητα φραγμένη δε φαίνεται χρήσιμη στη παραπάνω απόδειξη)

Η απόδειξη ναι μεν δουλεύει αν η f έχει και ...

Για το 1) αν q ο συζυγής εκθέτης του p $ |\int_{supp(f)} \frac{1}{|x-y|^{d-a}} f(y)dy | \leqslant ({\int_{s(f)} \frac{1}{|x-y|^{(d-a)q}}dy })^{\frac{1}{q}} (\int_{s(f)} {|f|}^{p})^{\frac{1}{p}} $
όπου το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι πεπερασμένο από υπόθεση.
Ενώ για το πρώτο έχουμε :
$ 0\leqslant {\int ...

Σας ευχαριστώ. Πράγματι χρησιμοποιώ ομοιόμορφη συνέχεια. Δε το είχα προσέξει.
Τι εννοείτε "ειδικού τύπου";
Επίσης, αν πάρω την f να έχει συμπαγή φορέα (που τότε πράγματι δουλεύουν όλα) μετά μπορώ να επεκτείνω σε συνεχείς συναρτήσεις ;
Γενικά νομίζω ότι για συναρτήσεις ορισμένες στον $\mathbb{R ...

Θα ήθελα τη γνώμη/υπόδειξή σας στο εξής :
Ως πυρήνα Riesz εννοούμε την συνάρτηση $ k_a(x)= \frac{1}{|x|^{d-a}} \, για\, 0<a<d\,$ για $ x\in\mathbb{R}^{d} $.
Επίσης έστω $ \mu$ μέτρο πιθανότητας στον $\mathbb{R}^{d}$ με πυκνότητα $f\in L^p(\mathbb{R}^{d}) $ για $p>\frac{d}{a} $ και $supp(f ...

Αυτή είναι μια δική μου λύση. Κάθε γνώμη ή επισήμανση λάθους είναι ευπρόσδεκτη. :)

Έστω $\nu$ μέτρο πιθανότητας στον $\mathbb{R}^{d}$. Θα δείξουμε ότι υπάρχει $(\nu_{n})_{n}$ ακολουθία μέτρων πιθανότητας τέτοια ώστε $\nu_{n} \ll Leb(\mathbb{R}^{d}) $ και $\int f d\nu_{n} \rightarrow \int f d\nu ...

Θα ήθελα τη βοηθειά σας στο εξής ερώτημα :
Προσπαθώ να δω αν ισχύει ο ισχυρισμός : έστω μ μετρο πιθανότητας στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Υπάρχει ακολουθία μετρων πιθανότητας του $\displaystyle{\mathbb{R}}$, η οποία αποτελείται από απολύτως συνεχής μέτρα ως προς το μέτρο Lebesgue και η οποία ...

Σας ευχαριστώ και τους δύο για τις απαντήσεις σας. Πολύ βοηθητικές.
Κ.Παπαδόπουλε κατάφερα να το αποδείξω για την εναλλακτική διατύπωση που προτείνετε. Πράγματι η συμπάγεια είναι βασική ιδιότητα.
(ωστόσο στο κείμενο που διαβάζω έχω κάτι λίγο πιο ασθενές αλλά αρκετό για να δείξω ότι το $I_{min ...

Έστω (X,d) μετρικός χώρος.
Ορίζουμε $ I :X\rightarrow \mathbf{R} $ συνάρτηση φραγμένη και κάτω ημισυνεχής
$I_{min} = \{x \in X\ |\ I(x) = \inf_{X} (I)\ \}$ και $A_\epsilon=\{x \in X\ |\ d(x,I_{min}) > \epsilon\ \}$
Να δειχθεί ότι $\inf_{A_\epsilon}(I) > 0$
Ισχύει κάτι τέτοιο ; Υπάρχουν μήπως ιδέες ...

Ένα θέμα που προσπαθώ να λύσω είναι το εξής : Πρέπει να δειξω ότι ένα martingale που συγκλινει στον L^2 είναι και φραγμενο εκεί.
Τη διακριτή περίπτωση την έκανα αλλά δε μπορώ να το περάσω στη συνεχή. είναι ίδια η ιδέα και στις δύο περιπτώσεις?;
Θα μπορούσατε να μου δώσετε κάποια υπόδειξη ;