Η αναζήτηση βρήκε 806 εγγραφές

από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τετ Σεπ 30, 2020 11:44 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΙΜΟ 2020
Απαντήσεις: 20
Προβολές: 2442

Re: ΙΜΟ 2020

Όλη η ομάδα ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια! Ήταν πράγματι ένας δύσκολος διαγωνισμός, τόσο λόγω των συνθηκών της πανδημίας, όσο και των θεμάτων που έπεσαν τα οποία ήταν αρκετά έξω από τα νερά μας με πολλά combinatorics! Εγώ προσωπικά θέλω να ευχαριστήσω τα μέλη του mathematica και για την ενθάρρυ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Πέμ Αύγ 06, 2020 3:42 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Κυκλικές Αναζητήσεις
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 334

Re: Κυκλικές Αναζητήσεις

Για τα α) και β) αρκεί να δείξουμε πως ο $(f_O(l))$ είναι ορθογώνιος στον $(ABC)$... Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο "Deleting Evil Points". Έστω πως η ευθεία $l$ τέμνει τις $BC, CA, AB$ στα $D, E, F$ αντίστοιχα. Έστω πως οι συμμετρικές της $l$ ως προς τις $AB$ και $AC$ τέμνονται στο $K$, ενώ ομοίως ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τετ Ιούλ 29, 2020 2:17 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 516

Re: ΚιΝούΜενΑ ΣημΕίΑ

Πρακτικά θα επιλέξουμε στην $f$ τρία σημεία $M_0, M_1, M_2$, όπου $M_0$ ας υποθέσουμε πως είναι η αρχική θέση του κινούμενου σημείου $M$ και τα άλλα δύο είναι δύο τυχαίες θέσεις. Ομοίως επιλέγουμε στην $g$ τρία σημεία $N_0, N_1, N _2$. Προφανώς από την ταχύτητα θα ισχύει πως $M_0M_1=N_0N_1$ και $M_0...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Πέμ Ιούλ 02, 2020 2:58 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα!
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 1310

Re: Ανισότητα!

Κάτι δεν πάει καλά με αυτό το πρόβλημα... Καταρχάς ακόμη και η λύση στο site των Mathematical Reflections έχει λάθος! Σε μια προσπάθεια να γίνει διάσπαση, η προτεινόμενη λύση ισχυρίζεται ότι ισχύει η ανισότητα: $\dfrac{a(a^3+b^3)}{a^2+b^2+ab}\geq \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{6}$, η οποία καταλήγει στη...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Παρ Απρ 24, 2020 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 56
Προβολές: 8559

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Έχει ξεκινήσει η διαβούλευση του νέου νομοσχεδίου του Υπουργείου Παιδείας και θα είναι ενεργή μέχρι τις 5 Μαΐου. Στο άρθρο 40 με τίτλο "Εγγραφή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση μαθητών Λυκείων που διακρίθηκαν σε διεθνείς επιστημονικούς διαγωνισμούς" ουσιαστικά καταγράφονται αυτά που ισχύουν μέχρι σήμερα ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Απρ 19, 2020 8:00 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2020
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1954

Re: EGMO 2020

Βασικά θα την κατεβάσω, νομίζω έχει ένα κενό σε κάποιο σημείο. Δεν είδατε τίποτα! :whistling:
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Πέμ Απρ 16, 2020 10:47 pm
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 56
Προβολές: 8559

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Πιστεύω ότι η συγκεκριμένη χρονική στιγμή είναι η κατάλληλη για να συμπληρώσω το προηγούμενο κείμενό μου, που είχα ανεβάσει σε αυτό το thread πέρυσι το καλοκαίρι, και που αναφερόταν σε έναν γνωστό μου, μαθητή της Γ’ Λυκείου φέτος, που ασχολείται με τα διαγωνιστικά μαθηματικά. Όπως είχα αναφέρει, είχ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Παρ Μαρ 27, 2020 4:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 809

Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου 16.

Μια στα γρήγορα: Μεταφράζω το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο (νομίζω ότι "οπτικά" βολεύει): Έστω δύο τεμνόμενοι κύκλοι $C_1$ και $C_2$ (ας θεωρήσουμε ότι το κέντρο του ενός δεν βρίσκεται μέσα στον άλλο κύκλο). Το ευθύγραμμο τμήμα της διακέντρου τους τέμνει αντίστοιχα στα $C$ και $B$, ενώ τέμνει και την...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Δεκ 30, 2019 2:58 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή(!)
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 667

Re: Συναρτησιακή(!)

Καταρχάς για $x_1, x_2>0$, αν $f(x_1)=f(x_2)$, είναι $x_1=x_2$, (θέτουμε όπου $x^2$ τα $x_1, x_2$ αντίστοιχα). Για $x_1>0$ και $x_2\leq 0$, αν $f(x_1)=f(x_2)$, τότε αφού είναι αύξουσα θα είναι και $f(x_1)=f(0)$, άτοπο (θέτουμε όπου $x=0$ και όπου $x^2$ το $x_1$) Οπότε αν $f(x_1)=f(x_2)$, με $x_1>0$,...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Παρ Νοέμ 22, 2019 12:51 am
Δ. Συζήτηση: ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο
Απαντήσεις: 56
Προβολές: 8559

Re: Για Eσένα Που Θες Να Πάρεις Μετάλλιο

Καλησπέρα σας, είμαι γονιός ενός μαθητή που συμμετείχε φέτος στην JBMO (του Θάνου Παπαλέξη) . Mε αφορμή αυτή τη δημοσίευση στο mathematica και τους προβληματισμούς που τέθηκαν από κάποιους μαθητές, γονείς και καθηγητές αλλά και τις δικές μου ανησυχίες, θέλω να σας αναφέρω κάτι. Στις 3-9-2019 έγινε ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Νοέμ 09, 2019 3:09 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΘΑΛΗΣ 2019-2020
Απαντήσεις: 52
Προβολές: 8305

Re: ΘΑΛΗΣ 2019-2020

Γ Λυκείου 4 Θεωρώντας τους $2^1,2^2,..,2^{10}$ παρατηρούμε ότι $k\ge 10$ αφού διαφορετικά από περιστεροφωλιά $2$ θα είναι στο ίδιο σύνολο και ο μικρότερος θα διαιρεί τον μεγαλύτερο. To $k=10$ δουλεύει: $C_i=(2^{i-1},2^i]$ για $i=\{1,...,10\}$ Να πάρει υπήρχε εύκολο construction. Εγώ αντιστοίχησα στ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Οκτ 27, 2019 1:32 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Καθετότητες και ισότητες
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 335

Re: Καθετότητες και ισότητες

Μια άλλη λύση για το (α): Θα χρησιμοποιήσουμε στροφή διανύσματος $P$ γωνίας $90^o$: Αρκεί να δείξουμε ότι $P(\vec{ET})=\vec{EG}$ $\displaystyle{P(\vec{ET})=P(\vec{ED}+\vec{DF}+\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})+P(\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})-P(\vec{TF})$$=\vec{EA}+\vec{DH}-\vec{TC}=\vec{EA}+\vec...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δευ Οκτ 21, 2019 2:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 346

Re: Αξεπέραστη διχοτόμηση τμήματος

Έστω $N'$ το σημείο τομής της $MT$ με την $BC$. Από το εγγράψιμο $AMST$ έχουμε ότι $\widehat{ASC}=\widehat{AMN'}$ ή $\widehat{ABC}=\widehat{AMN'}$. Οπότε το $ABMN'$ είναι εγγράψιμο και συνεπώς $\widehat{MAN'}=\widehat{MBN'}=\widehat{SBC}=\widehat{SAC}$. Προκύπτει λοιπόν πως $\widehat{MAS}=\widehat{N...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Σεπ 29, 2019 3:35 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 741

Re: Προετημασία για ΙΜΟ- Ι (2 προβλήματα)

Για τη δεύτερη: Έστω $M$ το μέσο του $ES$ και $N$ το μέσο του $ET$. Θα δείξουμε ότι $DM//AB$. Προφανώς το $D$ ανήκει στην πολική του $U$ στον κύκλο διαμέτρου $AD$, ενώ ακόμη ισχύει ότι $PD\perp OU$. Άρα τελικά η $PD$ είναι η πολική του $U$. Έστω $K$ το σημείο τομής της $PD$ με την $ES$. Από τα παραπ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Σεπ 21, 2019 2:02 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019
Απαντήσεις: 15
Προβολές: 1702

Re: ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΓΑΛΩΝ - 2019

Συνοπτικά μια λύση για το 4: Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-f(1)x$, όπου η $g$ έχει πεδίο ορισμού τους τους θετικούς πραγματικούς. Παρατηρούμε πως αν θέσουμε όπου $f(x)$ το $g(x)+f(1)x$, τότε θα απλοποιηθούν τα $f(1)$ και θα φτάσουμε στην $(y^2+1)g(x)-yg(xy)=yg(\dfrac{x}{y})$ (*). Ξέρουμε όμως την...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Αύγ 27, 2019 9:38 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συνευθειακά με Έγκεντρο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 570

Re: Συνευθειακά με Έγκεντρο

Μετατρέπουμε το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο: Έστω κύκλος $c$ και έστω πως εσωτερικά του εφάπτεται ο κύκλος $c'$, στο σημείο $S$. Στον κύκλο $c'$, θεωρούμε σημεία $A, B$ και έστω πως οι εφαπτόμενες από τα $A, B$ στον $c'$ τέμνουν τον $c$ στα $E, F$ αντίστοιχα και μεταξύ τους στο $D$. Να αποδειχθεί πω...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Κυρ Αύγ 25, 2019 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα υπό συνθήκη!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 1636

Re: Ανισότητα υπό συνθήκη!

Έχουμε: $a^2-3a+3=a^2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2-3a(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})+3=(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c})^2-\dfrac{3a}{b}-\dfrac{3a}{c}$ Ομοίως $b^2-3b+3=(1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c})^2-\dfrac{3b}{a}-\dfrac{3b}{c}$ και $c^2-3c+3=(1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3c}{b})^2-\dfra...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Τρί Αύγ 20, 2019 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Παράωρη Συνευθειακότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 555

Re: Παράωρη Συνευθειακότητα

Φέρνουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του $ABC$ και έστω πως εφάπτεται στις $BC, AC, AB$ στα σημεία $D, E, F$. Έστω τώρα $D'$ το συμμετρικό του $D$ ως προς το $I$ και $D''$ το συμμετρικό του $I$ ως προς το $D'$. Θα δείξουμε ότι τα $A, D'', I_A'$ είναι συνευθειακά. Έστω $X$ το σημείο επαφής του $A$-παραγεγ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Αύγ 03, 2019 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συμμετρία με ευθεία Euler
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 335

Re: Συμμετρία με ευθεία Euler

Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο με κέντρο $Q$ και ακτίνα $QH=QO$ και έστω πως τέμνει την $AK$ στο $L$. Αυτός ο κύκλος είναι ίσος με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $OKH$ (ίσες ακτίνες), οπότε έχουμε $\widehat{OLH}=\widehat{OKH}$, δηλαδή το τρίγωνο $KOL$ είναι ισοσκελές, δηλαδή $OK=OL$. Έστω ...
από Διονύσιος Αδαμόπουλος
Σάβ Ιούλ 27, 2019 6:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 7773

Re: IMO 2019

Αρχικά θα ήθελα κι εγώ να δώσω τα θερμά μου συγχαρητήριά σε όλα τα παιδιά της ομάδας γιατί το αξίζουν, αλλά και στους συνοδούς.

Σχετικά με όλα τα άλλα θα ήθελα να πω κι εγώ τη γνώμη μου, μάλιστα το σκεφτόμουν να το κάνω από καιρό, αλλά καλύτερα νομίζω ότι ταιριάζει να γίνει σε άλλο σημείο.

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση