Όλη η ομάδα ευχαριστούμε για τα καλά σας λόγια! Ήταν πράγματι ένας δύσκολος διαγωνισμός, τόσο λόγω των συνθηκών της πανδημίας, όσο και των θεμάτων που έπεσαν τα οποία ήταν αρκετά έξω από τα νερά μας με πολλά combinatorics! Εγώ προσωπικά θέλω να ευχαριστήσω τα μέλη του mathematica και για την ενθάρρυ...

Για τα α) και β) αρκεί να δείξουμε πως ο $(f_O(l))$ είναι ορθογώνιος στον $(ABC)$... Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο "Deleting Evil Points". Έστω πως η ευθεία $l$ τέμνει τις $BC, CA, AB$ στα $D, E, F$ αντίστοιχα. Έστω πως οι συμμετρικές της $l$ ως προς τις $AB$ και $AC$ τέμνονται στο $K$, ενώ ομοίως ...

Πρακτικά θα επιλέξουμε στην $f$ τρία σημεία $M_0, M_1, M_2$, όπου $M_0$ ας υποθέσουμε πως είναι η αρχική θέση του κινούμενου σημείου $M$ και τα άλλα δύο είναι δύο τυχαίες θέσεις. Ομοίως επιλέγουμε στην $g$ τρία σημεία $N_0, N_1, N _2$. Προφανώς από την ταχύτητα θα ισχύει πως $M_0M_1=N_0N_1$ και $M_0...

Κάτι δεν πάει καλά με αυτό το πρόβλημα... Καταρχάς ακόμη και η λύση στο site των Mathematical Reflections έχει λάθος! Σε μια προσπάθεια να γίνει διάσπαση, η προτεινόμενη λύση ισχυρίζεται ότι ισχύει η ανισότητα: $\dfrac{a(a^3+b^3)}{a^2+b^2+ab}\geq \dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{6}$, η οποία καταλήγει στη...

Έχει ξεκινήσει η διαβούλευση του νέου νομοσχεδίου του Υπουργείου Παιδείας και θα είναι ενεργή μέχρι τις 5 Μαΐου. Στο άρθρο 40 με τίτλο "Εγγραφή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση μαθητών Λυκείων που διακρίθηκαν σε διεθνείς επιστημονικούς διαγωνισμούς" ουσιαστικά καταγράφονται αυτά που ισχύουν μέχρι σήμερα ...

Βασικά θα την κατεβάσω, νομίζω έχει ένα κενό σε κάποιο σημείο. Δεν είδατε τίποτα!

Πιστεύω ότι η συγκεκριμένη χρονική στιγμή είναι η κατάλληλη για να συμπληρώσω το προηγούμενο κείμενό μου, που είχα ανεβάσει σε αυτό το thread πέρυσι το καλοκαίρι, και που αναφερόταν σε έναν γνωστό μου, μαθητή της Γ’ Λυκείου φέτος, που ασχολείται με τα διαγωνιστικά μαθηματικά. Όπως είχα αναφέρει, είχ...

Μια στα γρήγορα: Μεταφράζω το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο (νομίζω ότι "οπτικά" βολεύει): Έστω δύο τεμνόμενοι κύκλοι $C_1$ και $C_2$ (ας θεωρήσουμε ότι το κέντρο του ενός δεν βρίσκεται μέσα στον άλλο κύκλο). Το ευθύγραμμο τμήμα της διακέντρου τους τέμνει αντίστοιχα στα $C$ και $B$, ενώ τέμνει και την...

Καταρχάς για $x_1, x_2>0$, αν $f(x_1)=f(x_2)$, είναι $x_1=x_2$, (θέτουμε όπου $x^2$ τα $x_1, x_2$ αντίστοιχα). Για $x_1>0$ και $x_2\leq 0$, αν $f(x_1)=f(x_2)$, τότε αφού είναι αύξουσα θα είναι και $f(x_1)=f(0)$, άτοπο (θέτουμε όπου $x=0$ και όπου $x^2$ το $x_1$) Οπότε αν $f(x_1)=f(x_2)$, με $x_1>0$,...

Καλησπέρα σας, είμαι γονιός ενός μαθητή που συμμετείχε φέτος στην JBMO (του Θάνου Παπαλέξη) . Mε αφορμή αυτή τη δημοσίευση στο mathematica και τους προβληματισμούς που τέθηκαν από κάποιους μαθητές, γονείς και καθηγητές αλλά και τις δικές μου ανησυχίες, θέλω να σας αναφέρω κάτι. Στις 3-9-2019 έγινε ...

Γ Λυκείου 4 Θεωρώντας τους $2^1,2^2,..,2^{10}$ παρατηρούμε ότι $k\ge 10$ αφού διαφορετικά από περιστεροφωλιά $2$ θα είναι στο ίδιο σύνολο και ο μικρότερος θα διαιρεί τον μεγαλύτερο. To $k=10$ δουλεύει: $C_i=(2^{i-1},2^i]$ για $i=\{1,...,10\}$ Να πάρει υπήρχε εύκολο construction. Εγώ αντιστοίχησα στ...

Μια άλλη λύση για το (α): Θα χρησιμοποιήσουμε στροφή διανύσματος $P$ γωνίας $90^o$: Αρκεί να δείξουμε ότι $P(\vec{ET})=\vec{EG}$ $\displaystyle{P(\vec{ET})=P(\vec{ED}+\vec{DF}+\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})+P(\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})-P(\vec{TF})$$=\vec{EA}+\vec{DH}-\vec{TC}=\vec{EA}+\vec...

Έστω $N'$ το σημείο τομής της $MT$ με την $BC$. Από το εγγράψιμο $AMST$ έχουμε ότι $\widehat{ASC}=\widehat{AMN'}$ ή $\widehat{ABC}=\widehat{AMN'}$. Οπότε το $ABMN'$ είναι εγγράψιμο και συνεπώς $\widehat{MAN'}=\widehat{MBN'}=\widehat{SBC}=\widehat{SAC}$. Προκύπτει λοιπόν πως $\widehat{MAS}=\widehat{N...

Για τη δεύτερη: Έστω $M$ το μέσο του $ES$ και $N$ το μέσο του $ET$. Θα δείξουμε ότι $DM//AB$. Προφανώς το $D$ ανήκει στην πολική του $U$ στον κύκλο διαμέτρου $AD$, ενώ ακόμη ισχύει ότι $PD\perp OU$. Άρα τελικά η $PD$ είναι η πολική του $U$. Έστω $K$ το σημείο τομής της $PD$ με την $ES$. Από τα παραπ...

Συνοπτικά μια λύση για το 4: Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-f(1)x$, όπου η $g$ έχει πεδίο ορισμού τους τους θετικούς πραγματικούς. Παρατηρούμε πως αν θέσουμε όπου $f(x)$ το $g(x)+f(1)x$, τότε θα απλοποιηθούν τα $f(1)$ και θα φτάσουμε στην $(y^2+1)g(x)-yg(xy)=yg(\dfrac{x}{y})$ (*). Ξέρουμε όμως την...

Μετατρέπουμε το πρόβλημα στο εξής ισοδύναμο: Έστω κύκλος $c$ και έστω πως εσωτερικά του εφάπτεται ο κύκλος $c'$, στο σημείο $S$. Στον κύκλο $c'$, θεωρούμε σημεία $A, B$ και έστω πως οι εφαπτόμενες από τα $A, B$ στον $c'$ τέμνουν τον $c$ στα $E, F$ αντίστοιχα και μεταξύ τους στο $D$. Να αποδειχθεί πω...

Έχουμε: $a^2-3a+3=a^2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2-3a(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})+3=(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c})^2-\dfrac{3a}{b}-\dfrac{3a}{c}$ Ομοίως $b^2-3b+3=(1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c})^2-\dfrac{3b}{a}-\dfrac{3b}{c}$ και $c^2-3c+3=(1+\dfrac{c}{a}+\dfrac{3c}{b})^2-\dfra...

Φέρνουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο του $ABC$ και έστω πως εφάπτεται στις $BC, AC, AB$ στα σημεία $D, E, F$. Έστω τώρα $D'$ το συμμετρικό του $D$ ως προς το $I$ και $D''$ το συμμετρικό του $I$ ως προς το $D'$. Θα δείξουμε ότι τα $A, D'', I_A'$ είναι συνευθειακά. Έστω $X$ το σημείο επαφής του $A$-παραγεγ...

Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο με κέντρο $Q$ και ακτίνα $QH=QO$ και έστω πως τέμνει την $AK$ στο $L$. Αυτός ο κύκλος είναι ίσος με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου $OKH$ (ίσες ακτίνες), οπότε έχουμε $\widehat{OLH}=\widehat{OKH}$, δηλαδή το τρίγωνο $KOL$ είναι ισοσκελές, δηλαδή $OK=OL$. Έστω ...

Αρχικά θα ήθελα κι εγώ να δώσω τα θερμά μου συγχαρητήριά σε όλα τα παιδιά της ομάδας γιατί το αξίζουν, αλλά και στους συνοδούς.

Σχετικά με όλα τα άλλα θα ήθελα να πω κι εγώ τη γνώμη μου, μάλιστα το σκεφτόμουν να το κάνω από καιρό, αλλά καλύτερα νομίζω ότι ταιριάζει να γίνει σε άλλο σημείο.