Καλησπέρα, έδωσα σήμερα τον Ευκλείδη στην Α' Λυκείου.


Στο 4ο θέμα πιστεύω ότι το αποτέλεσμα έβγαινε άμεσα με τη χρήση της ανισότητας .

Εναλλακτικά $1 + \sqrt[3]{\sqrt{5}-2} + (-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}) = 0$

άρα από τον τύπο του Euler $a+b+c = 0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ άμεσα παρατηρούμε

$1^3 +(\sqrt[3]{\sqrt{5}-2})^3 +(-\sqrt[3]{\sqrt{5}+2})^3 = -3\sqrt[3]{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}$

$\Leftrightarrow 1 +\sqrt{5} - 2 ...

Όπως πρίν με παραγοντοποίηση βγαίνει άρα μοναδική λύση είναι η .

Σίγουρα είναι έτσι η εκφώνηση; Διότι με κοινό παράγοντα τον προκύπτει και δεν έχει λύσεις αφού το πρώτο μέλος είναι αρνητικό και το δεύτερο θετικό.

. (απ' τη γενίκευση Andreescu) [θα ψάξω μήπως βρω μια λύση χωρίς αυτήν ]

$m^2-a^2|a^2 \Leftrightarrow m^2|2a^2$

Αυτό εδώ δεν καταλαβαίνω πολύ. Για να ισχύει γενικά $a - b \mid b \Leftrightarrow a \mid 2b$ πρέπει τα α,β να έχουν τη μορφή $b = nk, a = (n+1)k, k,n \in \mathbb{Z}$ και όχι να είναι οποιαδήποτε α,β.

Η ισοδυναμία δεν ισχύει με αντιπαράδειγμα, πάρτε πχ. $m ...

Για να απαντήσω στην ερώτηση "Πώς τα πήγαμε" ξέρω μόνο πώς πήγαν στο 3ο πρόβλημα...(καλή τους επιτυχία έστω κι αργά).

Δείτε: http://www.math.md/bmo2010/index.php?op ... &Itemid=53

Για το (7) αρκεί να παρατηρήσουμε ότι το γινόμενο βγ τελειώνει σε 2...τα ζευγάρια είναι τα (1,2), (3,4), (6,7), (4,8), (8,9) και οι αναδιατάξεις αυτών αν δε μου ξέφυγε κάτι. Αρκεί επίσης να δούμε ότι το βγ + το κρατούμενο του βγ (αν υπάρχει) τελειώνει σε β...άρα για το 1ο ζευγάρι έχουμε 1x2 + 0 = 2 ...

Για το τρίγωνο ΕΒΓ έχουμε <ΓΕΒ + < ΕΓΒ = 180 - < ΕΒΓ και για το τρίγωνο ΓΔΖ ομοίως < ΔΖΓ + < ΖΓΔ = 180 - < ΖΔΓ = < ΕΒΓ (αφού το ΑΒΓΔ είναι εγγράψιμο).

Με πρόσθεση των σχέσεων κατά μέλη βρίσκουμε < ΓΕΒ + < ΔΖΓ + 2ω = 180 (όπου ω = < ΕΓΒ = < ΖΓΔ), δηλαδή 2(x+y+ω) = 180 <=> x+y+ω = 90. (1)

Αφού ΑΒΓΔ ...

Συγχαρητήρια σε όλους και σε όλες, ανεξαρτήτως κατάταξης!

(και προσωπικά να συγχαρώ τον φίλο μου Πέτρο που τα πήγε περίφημα στον Προκριματικό)

Να ρωτήσω κάτι, οι αναπληρωματικοί στους Νέους τι ακριβώς ρόλο έχουν? Καλούνται μόνο αν πχ. κάποιος από τους βασικούς δεν μπορέσει να πάει στη ΒΜΟΝ? Το λέω ...

Εγώ εξ αρχής θεώρησα το 1 ως Μαύρο (είχα και μια απόδειξη για το άσπρο = άτοπο αλλά τη διέγραψα), αφού (1) δεν μπορούμε να βάψουμε κανέναν αριθμό άσπρο (2) κανένα από τα κριτήρια δεν μας δίνει κάποιο αποτέλεσμα αφού 1 = 1 επί 1 (ίδιο χρώμα). Άρα το βάφουμε μαύρο κλπ. (θεώρησα α,β διαφορετικούς αλλά ...

Κάτι δε μου πάει καλά γιατί η λύση μου είναι υπερβολικά μεγάλη (κι άσχημη -περιπτωσιολογία)...σίγουρα θα υπάρχει πιο γρήγορος τρόπος που αυτή τη στιγμή μου διαφεύγει.

Από τα δεδομένα έχουμε $10^3x + 10^2y + 10z + w = m^2$ όπου $x,y,z,w,m \in \mathbb{N}$ και προφανώς $0< x \leq 9, 0 \leq y,z,w \leq ...

Κοιτώντας πάλι το 2ο θέμα των μικρών (και το σχήμα) μου έκανε αναλαμπή το Θεώρημα Morley, δεν ξέρω αν του θύμισε κανενός άλλου το ίδιο.

http://agutie.homestead.com/Files/morley.html

Δεν ασχολήθηκα πολύ με το θέμα όμως, οπότε αναρωτιέμαι αν έχουμε ή αν δεν έχουμε αρκετά στοιχεία για να αποδείξουμε ...

Πέρασα με ασημένιο μετάλλιο στους μικρούς.

Καλή επιτυχία και στους υπόλοιπους από το mathematica, θα χαρώ πολύ να δω και κάποιους (γνωστούς) αύριο.

Και ως εδώ που φτάσαμε πολύ καλά είναι...

Σχεδόν παρόμοια με τον ifaigios (καλή επιτυχία σε όλους). Έλυσα 1ο, 3ο (με ΑΜ-ΓΜ) και 4ο (με κάποιους ενδοιασμούς για τα 1 και 4 δεδομένου ότι έγραψα λίγο χαοτικά τις περιπτώσεις) αλλά δυστυχώς δεν μου έμεινε καθόλου χρόνος για τη γεωμετρία και...την άφησα κενή.

Δε νομίζω να πέρασα κυρίως λόγο ...

Έστω $2007^2 = m \Leftrightarrow 2007^4 = m^2$, τότε και

$2008^2 = (\sqrt{m}+1)^2 = m + 2\sqrt{m} + 1 \Leftrightarrow 2008^4 = (m+2\sqrt{m}+1)^2 = m^2 + 4m\sqrt{m} + 4\sqrt{m} + 6m + 1$.

Τότε η παράσταση γίνεται $A = \frac{1^4+m^2+ m^2 + 4m\sqrt{m} + 4\sqrt{m} + 6m + 1}{1^2 + m + 2\sqrt{m} +1 ...

Γράψτε λάθος...σήμερα με ενημερώσανε από τηλέφωνο ότι πέρασα στον Ευκλείδη. Φαίνεται είχε γίνει λάθος, ωστόσο αυτές οι μέρες ήταν αρκετές για να καταλάβω κάποια πράγματα τα οποία πρωτύτερα αγνοούσα.

Έστω ότι υπάρχει.

Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει $\sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 +3x_i + 5 = \sum_{i=1}^{n} x_i \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n} {x_i}^2 + 2x_i + 5 = 0$.

Δημιουργόντας όμως τέλεια τετράγωνα παίρνουμε $\sum_{i=1}^{n} (x_i+1)^2 = -4n$, με n φυσικό, άτοπο αφού για κάθε n-άδα πραγματικών ...

Εγώ δυστυχώς στάθηκα άτυχος...παρ' όλα αυτά είμαι περίεργος για τη βάση της Γ' Γυμνασίου, αφού έγραψα 3,5 θέματα, ίσως και παραπάνω, ενώ ένας-δυο γνωστοί μου που γράψανε το ίδιο με μένα πέρασαν.

Συγχαρητήρια σε όλα τα μέλη που προσπάθησαν.

Η σχέση γράφεται ισοδύναμα ως $\frac{1}{x+2009} + \frac{2010-(y+2010)}{y+2010} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x+2009} = \frac{y}{y+2010} \Leftrightarrow 2008y + yx = 2010$.

Επειδή $xy \geq 1, y \geq 1 \Rightarrow 2008y \geq 2008$ (αν y = 0 τότε 0 = 2010 προφανώς άτοπο) έπεται ότι η μοναδική φυσική ...