Πάρε να είναι 1 για x=1 και 0 παντού εκτός απο το 1. Λογικά στις σημειώσεις θα αναφέρει για συνεχείς συναρτήσεις, τότε ισχύει.

Υ. Γ. Γράφαμε την ιδια ώρα, το αφήνω

Ορίζουμε $f_0=\ln x$ και αναδρομικά $\displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}$. Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}$ Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας: Επαγωγικά: $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln...

Ορίζουμε $f_0=\ln x$ και αναδρομικά $\displaystyle{f_n(x) = \int_0^x f_{n-1} (t) \, \mathrm{d}t}$. Να υπολογιστεί το όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n! f_n(1)}{\ln n}}$ Μία λύση,παραλείπω κάποιες πράξεις ρουτίνας: Επαγωγικά: $\displaystyle{f_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!}(ln...

Ωραία λύση κύριε Δημήτρη, το δείξατε και ανεξάρτητα από τα προηγούμενα. Βγαίνει και με το πρώτο κομμάτι της άσκησης, για αυτό και τα έβαλα μαζί, συγκρίνοντας τους βαθμούς των πολυωνύμων στην ισότητα που ζητείται.

Έστω διανυσματικοί χώροι $\displaystyle{V_{1},V_{2},...,V_{m+1}}$ με $\displaystyle{V_{0}=V_{m+1}=\{0\}}$ και γραμμικές απεικονίσεις $\displaystyle{f_{i} : V_{i} \rightarrow V_{i+1} }$ τέτοιες ώστε: $kerf_{i}=Imf_{i-1}$ για κάθε δείκτη $i$.Έστω επίσης γραμμικοί ενδομορφισμοί: $T_{i}: V_{i} \rightarr...

Αν $x,y \in \mathbb{R}$ ώστε να ισχύει $x<y+\varepsilon , \forall \varepsilon > 0$ , δείξτε ότι $x\leq y.$ Θεώρησα ότι $x>y$, προς απαγωγή σε άτοπο. Τότε $x+\varepsilon >y+\varepsilon >x\Rightarrow \varepsilon >0$ που ισχύει και δεν καταλήγω σε άτοπο. Μπορεί να μού πει κάποιος πού κάνω λάθος; Δεν κ...

Βάζω και την δικιά μου, επίσης λειτουργεί για μη φραγμένα διαστήματα και παραπάνω διαστάσεις, έστω $x_{0}$ κοινό σημείο Lebesgue όλων των $f_{n},f$, το συμπλήρωμα αυτού του συνόλου έχει μέτρο 0 (γιατί;) έστω τώρα $B_{x_{0}}$ μπάλα στην οποία ανήκει το $x_{0}$ γράφουμε: $\displaystyle{\lambda (B(x_{0...

Την συζητούσαμε με τον συνοδοιπόρο Ιάσονα Προδρομίδη και φάνηκε ενδιαφέρουσα: Έστω $f_{n},f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ όπου $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty} $ ακολουθία Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσεων τέτοιες ώστε $\forall \varepsilon >0, \exists N, \forall n\geq N$ και για κάθε διάστημα $I$ στο $[0,...

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f_n: [a,b]\to\mathbb R$, $n\in\mathbb N$, ἀκολουθία συνεχῶν συναρτήσεων, ἡ ὁποία συγκλίνει κατὰ σημεῖον στὸ 0. Δηλαδή, $\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$, διὰ κάθε $x\in [a,b]$. Δείξατε ὅτι διὰ κάθε $\varepsilon>0$, ὑπάρχει $[c,d]\subset[a,b]$, ὅπου $c<d$ καὶ $N\in\mathbb N$, ὥστε $|f_n(x...

Να προσδιοριστούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $n$ για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί και αντιστρέψιμοι $n\times n$ πίνακες $A,B$ ώστε $AB - BA = B^2A$. Βρήκα χρόνο, οπότε βάζω την λύση μου στο θέμα.Πολλαπλασιάζοντας την δοσμένη με $A^{-1}$ έχουμε: $\displaystyle{B-A^{-1}BA=A^{-1}B^{2}A\Leftrightarr...

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά. Ας μην περάσει απαρατήρητο ότι ένας από τους διακριθέντες στον διαγωνισμό είναι ο δικός μας Σωτήρης Αρμενιάκος. Παρατηρώ ότι σε τρία θέματα ο Σωτήρης έχει πλήρη βαθμολογία (από $10$ ζηλευτούς πόντους). Εύγε. Σωτήρη, είμαι βέβαιος ότι τα μέλη μας θα χαιρόντουσαν να έβλ...

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 31, 2019 6:46 pm

JimNt. έγραψε: ↑

Τετ Ιούλ 31, 2019 4:59 pm

Το πρώτο είναι Μπολζανο.

Νομιζω δεν ξέρουμε αν η είναι συνεχής.

Δεν το γνωρίζεις πράγματι, μπορεί να μην είναι καν ολοκληρωσιμη κατα Riemman.

Ακολουθουν και τα σημερινά:

Χαιρετώ από το γνωστό μέρος(Μπλαγκοεβγκραντ) , σήμερα ήταν η πρώτη μερα του διαγωνισμού. Επισυνάπτω και τα θέματα.

Με αλλαγή μεταβλητής η παραπάνω σχεση γίνεται $f(0)=f(f(x))-2f(x)$(3) Θέτοντας στην σχεση (3) όπου $f(x)=z$ προκύπτει ότι $f(0)=f(z)-2z$ Οποτε $f(x)=2x+f(0)$,για κάθε ακέραιο $x$ Χριστίνα καλησπέρα, το παραπάνω έχει λάθος, δεν δικαιούσαι να πεις ότι: $f(x)=2x+f(0)$ . Ο λόγος είναι ότι το $z$ που έχ...

Να υπολογιστεί το παρακάτω όριο: $\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 \frac{|\sin nx|}{x^2+1}\, \mathrm{d}x}$ Θα δείξω κάτι γενικότερο Αν $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ Lebesgue ολοκληρώσιμη τότε $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f(x)|\sin nx|dx=\frac{2}{...

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος μου προέκυψε η παρακάτω ως δύο ''διαφορετικές'' απαντήσεις στο πρόβλημα οι οποίες αναγκαστικά είναι ίδιες. Να δείξετε ότι $\displaystyle \binom{n}{k}\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i\frac{\binom{n-k}{i}}{k+i+1}=\frac{1}{n+1},$ για κάθε $k=0,1,...,n.$ Βάζω μία λύση, από το διω...

Καλησπέρα, πέρα από το γεγονός ότι η ερώτηση είναι ασαφής , άνευ νοήματος σε πλαίσιο Γ λυκείου γιατί δεν ορίζεται έννοια 1-1 συνάρτησης σε διάστημα και ότι μου φαίνεται πλήρως αδιάφορη μαθηματικά,με τον τρόπο που ζητείται η απάντηση, γιατί δεν ξέρουμε που στηριζόμαστε για να απαντήσουμε την ερώτηση...

Καλησπέρα, πέρα από το γεγονός ότι η ερώτηση είναι ασαφής , άνευ νοήματος σε πλαίσιο Γ λυκείου γιατί δεν ορίζεται έννοια 1-1 συνάρτησης σε διάστημα και ότι μου φαίνεται πλήρως αδιάφορη μαθηματικά,με τον τρόπο που ζητείται η απάντηση, γιατί δεν ξέρουμε που στηριζόμαστε για να απαντήσουμε την ερώτηση....

Εστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δύο φορές παραγωγίσημη. Θέτουμε $M_{i}=sup\left \{ |f^{(i)}(x)|:x\in \mathbb{R} \right \},i=0,1,2$ Είναι γνωστό ότι$M_{1}\leq 2\sqrt{M_{0}M_{2}}$ Να αποδειχθεί το καλύτερο $M_{1}\leq \sqrt{2M_{0}M_{2}}$ σημείωση.Με $f^{(i)}(x)$ συμβολίζουμε την $i$ παράγωγο...