Ευχαριστώ όλους για τις ευχές, με την σειρά μου να ευχηθώ και σε όλους όσους γιόρταζαν εχθές.

Βάζω την λύση που έκανα στον διαγωνισμό. Αρχικά από την δοσμένη η $f'$ βγαίνει άμεσα αύξουσα. Έστω πως υπάρχει κάποιο $c \in \mathbb{R} $ με $f'(c) > 0$. Τότε είναι $f'(x) >0, \forall x \geq c$. Ορίζουμε την συνάρτηση: $g(x) = \frac{f(x)} {f'(x)} + x, x \geq c$. Η οποία είναι καλώς ορισμένη. Από την...

Και του γυμνασίου, εφόσον κάποιος τα έχει.

Επαναφορά, είναι ωραία η λύση θεωρώ.

Με αφορμή μια άσκηση. Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε: $\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}$ Είναι γνωστό ότι, με χρήση του Αξιώματος Επιλογής, υπάρχουν ασυνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιού...

Με αφορμή μια άσκηση.

Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης τέτοια ώστε:

Κάποιες ιδέες ακόμα που θέλουν αρκετή αιτιολόγηση νομίζω για να αποτελέσουν πλήρη λύση, ας γράψουμε: $\displaystyle{\vec{a}=(a,b), \vec{z_{n}}=(\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}},\frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}})}$ Τότε: $\displaystyle{\left \| z_{n} \right \|_{2} = 1}$ και $\displayst...

Προσθέτω και εγώ κάποια ακόμα, Για ανάλυση επίσης καλό αλλά με δυσκόλεψε αρκετά ειναι το problems in analysis, advanced calculus on the real axis. Αυτό που μου φάνηκε πολύ ωραίο βιβλίο είναι το Problems from 'the book', έχει πολύ όμορφες εφαρμογες θεωρίας Galois και γραμμικής άλγεβρας σε προβλήματα ...

Πρόβλημα 5: Έστω $G$ μια πεπερασμένη ομάδα και $f$ δεύτερης τάξης αυτομορφισμός της. Αν το μοναδικό σταθερό σημείο του $f$ είναι το μοναδιαίο στοιχείο της $G$, τότε να δείξετε ότι η $G$ είναι αβελιανή ομάδα. Μου φάνηκε ωραίο πρόβλημα: Ισχυρισμός: $\forall g \in G , \exists x \in G, g=x^{-1}f(x)$ Γι...

Μετά την ωραία λύση του κυρίου Δημήτρη, βάζω και την δικιά μου. Θεωρούμε τον πίνακα $A$ με $(a_{ij}) = x^{|i-j|}$ , τότε: $\displaystyle{det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}}\epsilon(\sigma)x^{|1-\sigma(1)|}\cdot...x^{|n-\sigma(n)|}=\sum_{\sigma \in A_{n}}x^{\sum_{i=1}^{n}|i-\sigma(i)|} - \sum_{\sigma \in ...

Καλησπέρα Σωτήρη. Νομίζω βρήκα κάτι στοιχειώδες με επαγωγή: Για $n=3$ το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Έστω ότι ισχύει για $n=k-1$. Ας είναι $A'_{k}$ το σύνολο των άρτιων μεταθέσεων για τις οποίες ισχύει πως τα στοιχεία $1,2$ βρίσκονται από τη θέση $2$ και πάνω. Ας είναι και $B'_{k}$ το αντίστοιχο σύν...

Έστω και , τα σύνολα των άρτιων και περιττών μεταθέσεων του αντίστοιχα.
Να δειχθεί πως:

Ίσως λέω τα ίδια με τα προηγούμενα λίγο η πολύ, ας δούμε: Αν $g(t)= x^{t}+k-1$ προκύπτει με απλές πράξεις ότι: $g''(t)g(t) > (g'(t))^{2}$ , είναι ισοδύναμο με το $ k >1$ , συνεπώς η $g(t)$ είναι αυστηρά λογαριθμικώς κυρτή, άρα από το λήμμα των τριών χορδών (μόνο τις δύο χορδές θέλουμε) η συνάρτηση: ...

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχο...

Εστω πολυώνυμα $P(x),K(x)\in Q[x]$ με το $P(x)$ ανάγωγο. Αν τα $P(x),K(x)$ εχουν μία κοινή ρίζα τότε υπάρχει πολυώνυμο $R(x)\in Q[x] $ ώστε $K(x)=P(x)R(x)$ Μέχρι 29-2-2020 Γράφω λίγο περιληπτικά γιατί είμαι από κινητό. Έστω $a$ η κοινή ρίζα και $m_{a} (x) $ το ελάχιστο πολυώνυμο του $a$ υπεράνω του...

Σωστά. Αντί για $\mathbb{Z}$ ας βάλουμε $\mathbb{Q} $. Δεν υπάρχει τέτοια $f$, αν έχω δύο περιόδους $A,B$ με $\frac{A}{B} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ εύκολα με το Θεώρημα Kronecker, μπορώ να δείξω ότι είναι σταθερή. Βλέπε: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=200&t=65714&p=318218#p...

Εφαρμογή της αρχής του περιστερώνα. Μην κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Δεν χρειάζεται Αρχή του Περιστερώνα για να αποφανθούμε ότι από τρία σημεία βαμμένα με δύο χρώματα τότε κάποια δύο είναι ομοιόχρωμα. Ας δούμε μία απόδειξη, αν και περιττεύει: Αν υπάρχουν δύο ή παραπάνω άσπρα, τελειώσαμε. Αλλιώς έχου...

Βάζω και μία γενίκευση: Έστω: $\displaystyle{\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}, f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }$ Lebesgue ολοκληρώσιμες, με: $\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}|f_{n}(x)-f(x)|d\lambda x \rightarrow 0}$ Έστω επίσης $\displaystyle{\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty},A }$ μετρήσιμα με $\lambda (A_{n}\...

Έστω $f:[0,1] \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση και έστω $(a_n)$ συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του $[0,1]$ , με $\lim a_n=a$. Δείξτε ότι αν $a\ne 0$ τότε $\displaystyle{\lim \int _0^1f(a_nx)\,dx = \dfrac {1}{a} \int _0^af(x)\,dx}$ ενώ αν $a=0$ τότε το εν λόγω όριο είναι $f(0)$. (Ας την...

Άσκηση 1 Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle{ \dfrac {1}{n^2} \sqrt [n]{(n^2+1^2) (n^2+2^2)...(n^2+n^2) }}$ Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν. Αφού υπήρξε και η παρότρυνση, βάζω μια λύση.Βγάζοντας κοινό παράγοντα το $n^{2}$ στο γινόμενο έχω: $\displaystyle{\frac{1}{n^{2}}[\prod_{k=1...