Η αναζήτηση βρήκε 203 εγγραφές

από sot arm
Τρί Απρ 21, 2020 3:07 am
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: ΚΥΡΤΟΣ ΚΩΝΟΣ
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 578

Re: ΚΥΡΤΟΣ ΚΩΝΟΣ

Επαναφορά, είναι ωραία η λύση θεωρώ.
από sot arm
Παρ Απρ 17, 2020 2:59 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ασυνεχής Συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 263

Re: Ασυνεχής Συνάρτηση

Με αφορμή μια άσκηση. Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε: $\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}$ Είναι γνωστό ότι, με χρήση του Αξιώματος Επιλογής, υπάρχουν ασυνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιού...
από sot arm
Παρ Απρ 17, 2020 12:18 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Ασυνεχής Συνάρτηση
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 263

Ασυνεχής Συνάρτηση

Με αφορμή μια άσκηση.

Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε:

\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}
από sot arm
Πέμ Μαρ 26, 2020 9:29 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Με δύο ακολουθίες
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 297

Re: Με δύο ακολουθίες

Κάποιες ιδέες ακόμα που θέλουν αρκετή αιτιολόγηση νομίζω για να αποτελέσουν πλήρη λύση, ας γράψουμε: $\displaystyle{\vec{a}=(a,b), \vec{z_{n}}=(\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}},\frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}})}$ Τότε: $\displaystyle{\left \| z_{n} \right \|_{2} = 1}$ και $\displayst...
από sot arm
Τετ Μαρ 25, 2020 12:36 am
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 450

Re: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς

Προσθέτω και εγώ κάποια ακόμα, Για ανάλυση επίσης καλό αλλά με δυσκόλεψε αρκετά ειναι το problems in analysis, advanced calculus on the real axis. Αυτό που μου φάνηκε πολύ ωραίο βιβλίο είναι το Problems from 'the book', έχει πολύ όμορφες εφαρμογες θεωρίας Galois και γραμμικής άλγεβρας σε προβλήματα ...
από sot arm
Κυρ Μαρ 22, 2020 7:42 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Απαντήσεις: 21
Προβολές: 740

Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές

Πρόβλημα 5: Έστω $G$ μια πεπερασμένη ομάδα και $f$ δεύτερης τάξης αυτομορφισμός της. Αν το μοναδικό σταθερό σημείο του $f$ είναι το μοναδιαίο στοιχείο της $G$, τότε να δείξετε ότι η $G$ είναι αβελιανή ομάδα. Μου φάνηκε ωραίο πρόβλημα: Ισχυρισμός: $\forall g \in G , \exists x \in G, g=x^{-1}f(x)$ Γι...
από sot arm
Δευ Μαρ 16, 2020 8:36 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Μια Ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 324

Re: Μια Ισότητα

Μετά την ωραία λύση του κυρίου Δημήτρη, βάζω και την δικιά μου. Θεωρούμε τον πίνακα $A$ με $(a_{ij}) = x^{|i-j|}$ , τότε: $\displaystyle{det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}}\epsilon(\sigma)x^{|1-\sigma(1)|}\cdot...x^{|n-\sigma(n)|}=\sum_{\sigma \in A_{n}}x^{\sum_{i=1}^{n}|i-\sigma(i)|} - \sum_{\sigma \in ...
από sot arm
Κυρ Μαρ 15, 2020 11:54 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Μια Ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 324

Re: Μια Ισότητα

Καλησπέρα Σωτήρη. Νομίζω βρήκα κάτι στοιχειώδες με επαγωγή: Για $n=3$ το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Έστω ότι ισχύει για $n=k-1$. Ας είναι $A'_{k}$ το σύνολο των άρτιων μεταθέσεων για τις οποίες ισχύει πως τα στοιχεία $1,2$ βρίσκονται από τη θέση $2$ και πάνω. Ας είναι και $B'_{k}$ το αντίστοιχο σύν...
από sot arm
Κυρ Μαρ 15, 2020 8:23 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: Μια Ισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 324

Μια Ισότητα

Έστω n \geq 3 και A_{n}, B_{n} τα σύνολα των άρτιων και περιττών μεταθέσεων του  \{1,2,...,n \} αντίστοιχα.
Να δειχθεί πως:

\displaystyle{\sum_{\sigma \in A_{n}} \sum_{i=1}^{n}|i-\sigma(i)|=\sum_{\sigma \in B_{n}} \sum_{i=1}^{n}|i-\sigma(i)|}
από sot arm
Κυρ Μαρ 15, 2020 8:06 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Γνησίως φθίνουσα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 880

Re: Γνησίως φθίνουσα

Ίσως λέω τα ίδια με τα προηγούμενα λίγο η πολύ, ας δούμε: Αν $g(t)= x^{t}+k-1$ προκύπτει με απλές πράξεις ότι: $g''(t)g(t) > (g'(t))^{2}$ , είναι ισοδύναμο με το $ k >1$ , συνεπώς η $g(t)$ είναι αυστηρά λογαριθμικώς κυρτή, άρα από το λήμμα των τριών χορδών (μόνο τις δύο χορδές θέλουμε) η συνάρτηση: ...
από sot arm
Τρί Μαρ 10, 2020 11:39 pm
Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1650

Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)

Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχο...
από sot arm
Σάβ Φεβ 29, 2020 5:17 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 329

Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα

Εστω πολυώνυμα $P(x),K(x)\in Q[x]$ με το $P(x)$ ανάγωγο. Αν τα $P(x),K(x)$ εχουν μία κοινή ρίζα τότε υπάρχει πολυώνυμο $R(x)\in Q[x] $ ώστε $K(x)=P(x)R(x)$ Μέχρι 29-2-2020 Γράφω λίγο περιληπτικά γιατί είμαι από κινητό. Έστω $a$ η κοινή ρίζα και $m_{a} (x) $ το ελάχιστο πολυώνυμο του $a$ υπεράνω του...
από sot arm
Τρί Ιαν 14, 2020 4:03 pm
Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
Θέμα: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 270

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Σωστά. Αντί για $\mathbb{Z}$ ας βάλουμε $\mathbb{Q} $. Δεν υπάρχει τέτοια $f$, αν έχω δύο περιόδους $A,B$ με $\frac{A}{B} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ εύκολα με το Θεώρημα Kronecker, μπορώ να δείξω ότι είναι σταθερή. Βλέπε: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=200&t=65714&p=318218#p...
από sot arm
Τρί Δεκ 31, 2019 9:24 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μελάνι στο επίπεδο
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 204

Re: Μελάνι στο επίπεδο

Εφαρμογή της αρχής του περιστερώνα. Μην κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Δεν χρειάζεται Αρχή του Περιστερώνα για να αποφανθούμε ότι από τρία σημεία βαμμένα με δύο χρώματα τότε κάποια δύο είναι ομοιόχρωμα. Ας δούμε μία απόδειξη, αν και περιττεύει: Αν υπάρχουν δύο ή παραπάνω άσπρα, τελειώσαμε. Αλλιώς έχου...
από sot arm
Κυρ Δεκ 29, 2019 9:17 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 204

Re: Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα

Βάζω και μία γενίκευση: Έστω: $\displaystyle{\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}, f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} }$ Lebesgue ολοκληρώσιμες, με: $\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}|f_{n}(x)-f(x)|d\lambda x \rightarrow 0}$ Έστω επίσης $\displaystyle{\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty},A }$ μετρήσιμα με $\lambda (A_{n}\...
από sot arm
Κυρ Δεκ 29, 2019 7:56 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 204

Re: Όριο που περνάει μέσα στο ολοκλήρωμα

Έστω $f:[0,1] \longrightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση και έστω $(a_n)$ συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του $[0,1]$ , με $\lim a_n=a$. Δείξτε ότι αν $a\ne 0$ τότε $\displaystyle{\lim \int _0^1f(a_nx)\,dx = \dfrac {1}{a} \int _0^af(x)\,dx}$ ενώ αν $a=0$ τότε το εν λόγω όριο είναι $f(0)$. (Ας την...
από sot arm
Σάβ Δεκ 28, 2019 6:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 2332

Re: Άθροισμα Riemann: Συλλογή ασκήσεων

Άσκηση 1 Να υπολογισθεί το όριο της ακολουθίας $\displaystyle{ \dfrac {1}{n^2} \sqrt [n]{(n^2+1^2) (n^2+2^2)...(n^2+n^2) }}$ Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν. Αφού υπήρξε και η παρότρυνση, βάζω μια λύση.Βγάζοντας κοινό παράγοντα το $n^{2}$ στο γινόμενο έχω: $\displaystyle{\frac{1}{n^{2}}[\prod_{k=1...
από sot arm
Πέμ Δεκ 05, 2019 8:51 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
Θέμα: Περιοδική
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 688

Re: Περιοδική

Υπάρχει $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που να έχει περιόδους όλους τους ρητούς και το $f(\mathbb{R})$ να περιέχει ανοικτο διάστημα; 1)Γενικά 2)Να είναι επιπλέον μετρήσιμη. Εννοείται ότι μπορείτε να υποθέσετε το αξίωμα επιλογής κλπ Μέχρι 30-11-2019 Βάζω την λύση για το 2,δεν την είχα γράψει νω...
από sot arm
Πέμ Νοέμ 28, 2019 11:07 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μηδενική ακολουθία από μηδενική
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 395

Re: Μηδενική ακολουθία από μηδενική

Έστω ακολουθία $(a_n)$ με $\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \left (a_{n+1}- \frac {1}{2} a_n \right ) =0}$. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } a_n =0}$. Και μία ακόμα: μπορώ να βρω $M>0$ ώστε $|a_{1}| \leq M , |2a_{n+1}-a_{n}| \leq M$ Τότε επαγωγικά: $\displaystyle{|a_{n+1}| = |\fra...
από sot arm
Πέμ Νοέμ 28, 2019 9:56 am
Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
Θέμα: Μηδενική ακολουθία από μηδενική
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 395

Re: Μηδενική ακολουθία από μηδενική

Έστω ακολουθία $(a_n)$ με $\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } \left (a_{n+1}- \frac {1}{2} a_n \right ) =0}$. Δείξτε ότι $\displaystyle{ \lim _{n\to \infty } a_n =0}$. Μια λύση, έστω: $b_{n}=a_{n+1}-\frac{1}{2}a_{n}$ τότε από υπόθεση: $b_{n} \rightarrow 0$ . Είναι: $\displaystyle{2^{n+1}a_{n+1}-2^...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση