Η αναζήτηση βρήκε 211 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Σάβ Νοέμ 14, 2020 5:00 pm
- Δ. Συζήτηση: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
- Θέμα: Ασκήσεις Τοπολογίας
- Απαντήσεις: 49
- Προβολές: 1667
Re: Ασκήσεις Τοπολογίας
4) Έστω $X$ ένα μη κενό σύνολο και δύο τοπολογίες $T_1,T_2$ στον $X$ με $T_1 \subset T_2$, έτσι ώστε ο $X$ με αυτές τις τοπολογίες είναι συμπαγής χώρος Haussdorf. Δείξτε ότι $T_1=T_2$. Διαφορετικά, έστω $id : (X, T_{2}) \rightarrow (X, T_{1} $ η ταυτοτική . Αφού $T_{1} \subset T_{2} $ η $ Id $ είνα...
- Τρί Νοέμ 10, 2020 11:39 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
- Απαντήσεις: 48
- Προβολές: 2097
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Επανέρχομαι λοιπόν , μπορούμε να θέσουμε διαφορετικά: $\displaystyle{I_{n} = \{ i \in I : \mu(A_{i} \bigcap E_{n}) > 0 \}}$ Τότε $I = \bigcup_{n\in \mathbb{N} }I_{n} $ αφού για κάθε $A_{i}$ έχουμε $ \lim_{n\rightarrow +\infty} \mu(A_{i}\bigcap \bigcup_{k=1}^{n}E_{k}) = \mu(A_{i}}) > 0 $ από την συνέ...
- Τρί Νοέμ 10, 2020 11:16 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
- Απαντήσεις: 48
- Προβολές: 2097
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $ χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου και $ \{A_{i} \} , i \in I $ οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της $ \mathcal{M} $ θετικού μέτρου, θα δείξω πως το $I$ είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αφού ο $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) ...
- Τρί Νοέμ 10, 2020 8:58 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
- Απαντήσεις: 48
- Προβολές: 2097
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Συμπληρώνω αυτό που έλεγα προηγουμένως, συγκεκριμένα έστω: $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $ χώρος σ - πεπερασμένου μέτρου και $ \{A_{i} \} , i \in I $ οικογένεια ξένων ανά δύο υποσυνόλων της $ \mathcal{M} $ θετικού μέτρου, θα δείξω πως το $I$ είναι το πολύ αριθμήσιμο. Αφού ο $ ( X , \mathcal{M}, \mu ) $...
- Τρί Νοέμ 10, 2020 5:09 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
- Απαντήσεις: 48
- Προβολές: 2097
Re: Ασκήσεις Θεωρίας Μέτρου
Θα βάλω απάντηση σε κάποιες το βραδάκι καθώς δεν προλαβαίνω να γράψω σε λατεχ, απλα να αναφέρω σχετικά με αυτό: Υπάρχει υπεραριθμήσιμη οικογένεια ξένων ανά δυο υποσυνόλων του $\mathbb{R}$ που το καθένα από αυτά έχει θετικό μέτρο Lebesgue; Πως δεν υπάρχει τέτοια οικογένεια γενικά σε χώρο σ- πεπερασμέ...
- Παρ Αύγ 07, 2020 2:26 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
- Θέμα: Του Σωτήρος
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 393
Re: Του Σωτήρος
Ευχαριστώ όλους για τις ευχές, με την σειρά μου να ευχηθώ και σε όλους όσους γιόρταζαν εχθές.
- Κυρ Αύγ 02, 2020 1:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: IMC 2020/2/5
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 553
Re: IMC 2020/2/5
Βάζω την λύση που έκανα στον διαγωνισμό. Αρχικά από την δοσμένη η $f'$ βγαίνει άμεσα αύξουσα. Έστω πως υπάρχει κάποιο $c \in \mathbb{R} $ με $f'(c) > 0$. Τότε είναι $f'(x) >0, \forall x \geq c$. Ορίζουμε την συνάρτηση: $g(x) = \frac{f(x)} {f'(x)} + x, x \geq c$. Η οποία είναι καλώς ορισμένη. Από την...
- Δευ Ιουν 29, 2020 2:34 pm
- Δ. Συζήτηση: Εξετάσεις Προτύπων και Πειραματικών Σχολείων
- Θέμα: ΘΕΜΑΤΑ 2020
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 648
Re: ΘΕΜΑΤΑ 2020
Και του γυμνασίου, εφόσον κάποιος τα έχει.
- Τρί Απρ 21, 2020 3:07 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: ΚΥΡΤΟΣ ΚΩΝΟΣ
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 749
Re: ΚΥΡΤΟΣ ΚΩΝΟΣ
Επαναφορά, είναι ωραία η λύση θεωρώ.
- Παρ Απρ 17, 2020 2:59 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ασυνεχής Συνάρτηση
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 371
Re: Ασυνεχής Συνάρτηση
Με αφορμή μια άσκηση. Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε: $\displaystyle{f(\frac{x+y}{2}) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} , \forall x,y \in \mathbb{R}}$ Είναι γνωστό ότι, με χρήση του Αξιώματος Επιλογής, υπάρχουν ασυνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιού...
- Παρ Απρ 17, 2020 12:18 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Ασυνεχής Συνάρτηση
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 371
Ασυνεχής Συνάρτηση
Με αφορμή μια άσκηση.
Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης
τέτοια ώστε:

Να δωθεί παράδειγμα ασυνεχούς συνάρτησης


- Πέμ Μαρ 26, 2020 9:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- Θέμα: Με δύο ακολουθίες
- Απαντήσεις: 8
- Προβολές: 682
Re: Με δύο ακολουθίες
Κάποιες ιδέες ακόμα που θέλουν αρκετή αιτιολόγηση νομίζω για να αποτελέσουν πλήρη λύση, ας γράψουμε: $\displaystyle{\vec{a}=(a,b), \vec{z_{n}}=(\frac{x_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}},\frac{y_{n}}{\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}})}$ Τότε: $\displaystyle{\left \| z_{n} \right \|_{2} = 1}$ και $\displayst...
- Τετ Μαρ 25, 2020 12:36 am
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 1090
Re: Προετοιμασία για φοιτητικούς διαγωνισμούς
Προσθέτω και εγώ κάποια ακόμα, Για ανάλυση επίσης καλό αλλά με δυσκόλεψε αρκετά ειναι το problems in analysis, advanced calculus on the real axis. Αυτό που μου φάνηκε πολύ ωραίο βιβλίο είναι το Problems from 'the book', έχει πολύ όμορφες εφαρμογες θεωρίας Galois και γραμμικής άλγεβρας σε προβλήματα ...
- Κυρ Μαρ 22, 2020 7:42 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
- Απαντήσεις: 21
- Προβολές: 1600
Re: 3η Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα για φοιτητές
Πρόβλημα 5: Έστω $G$ μια πεπερασμένη ομάδα και $f$ δεύτερης τάξης αυτομορφισμός της. Αν το μοναδικό σταθερό σημείο του $f$ είναι το μοναδιαίο στοιχείο της $G$, τότε να δείξετε ότι η $G$ είναι αβελιανή ομάδα. Μου φάνηκε ωραίο πρόβλημα: Ισχυρισμός: $\forall g \in G , \exists x \in G, g=x^{-1}f(x)$ Γι...
- Δευ Μαρ 16, 2020 8:36 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Μια Ισότητα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 735
Re: Μια Ισότητα
Μετά την ωραία λύση του κυρίου Δημήτρη, βάζω και την δικιά μου. Θεωρούμε τον πίνακα $A$ με $(a_{ij}) = x^{|i-j|}$ , τότε: $\displaystyle{det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}}\epsilon(\sigma)x^{|1-\sigma(1)|}\cdot...x^{|n-\sigma(n)|}=\sum_{\sigma \in A_{n}}x^{\sum_{i=1}^{n}|i-\sigma(i)|} - \sum_{\sigma \in ...
- Κυρ Μαρ 15, 2020 11:54 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Μια Ισότητα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 735
Re: Μια Ισότητα
Καλησπέρα Σωτήρη. Νομίζω βρήκα κάτι στοιχειώδες με επαγωγή: Για $n=3$ το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Έστω ότι ισχύει για $n=k-1$. Ας είναι $A'_{k}$ το σύνολο των άρτιων μεταθέσεων για τις οποίες ισχύει πως τα στοιχεία $1,2$ βρίσκονται από τη θέση $2$ και πάνω. Ας είναι και $B'_{k}$ το αντίστοιχο σύν...
- Κυρ Μαρ 15, 2020 8:23 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: Μια Ισότητα
- Απαντήσεις: 4
- Προβολές: 735
Μια Ισότητα
Έστω
και
,
τα σύνολα των άρτιων και περιττών μεταθέσεων του
αντίστοιχα.
Να δειχθεί πως:





Να δειχθεί πως:

- Κυρ Μαρ 15, 2020 8:06 pm
- Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
- Θέμα: Γνησίως φθίνουσα
- Απαντήσεις: 12
- Προβολές: 1446
Re: Γνησίως φθίνουσα
Ίσως λέω τα ίδια με τα προηγούμενα λίγο η πολύ, ας δούμε: Αν $g(t)= x^{t}+k-1$ προκύπτει με απλές πράξεις ότι: $g''(t)g(t) > (g'(t))^{2}$ , είναι ισοδύναμο με το $ k >1$ , συνεπώς η $g(t)$ είναι αυστηρά λογαριθμικώς κυρτή, άρα από το λήμμα των τριών χορδών (μόνο τις δύο χορδές θέλουμε) η συνάρτηση: ...
- Τρί Μαρ 10, 2020 11:39 pm
- Δ. Συζήτηση: Διαγωνισμοί για φοιτητές
- Θέμα: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
- Απαντήσεις: 16
- Προβολές: 2816
Re: SEEMOUS 2020 (Προβλήματα)
Καλημέρα! Είδα τα θέματα με καθυστέρηση μερικών ημερών, και μπορώ να πω πως μου άρεσαν. Αν και απουσίαζε το ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα, που κατ' εμέ πρέπει να υπάρχει σε κάθε υψηλού επιπέδου διαγωνισμό, και τα 4 ήταν προβλήματα αξιοπρεπούς δυσκολίας για έναν διαγωνισμό που απευθύνεται σε ταλαντούχο...
- Σάβ Φεβ 29, 2020 5:17 pm
- Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για φοιτητές
- Θέμα: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 767
Re: Από κοινή ρίζα διαιρετότητα
Εστω πολυώνυμα $P(x),K(x)\in Q[x]$ με το $P(x)$ ανάγωγο. Αν τα $P(x),K(x)$ εχουν μία κοινή ρίζα τότε υπάρχει πολυώνυμο $R(x)\in Q[x] $ ώστε $K(x)=P(x)R(x)$ Μέχρι 29-2-2020 Γράφω λίγο περιληπτικά γιατί είμαι από κινητό. Έστω $a$ η κοινή ρίζα και $m_{a} (x) $ το ελάχιστο πολυώνυμο του $a$ υπεράνω του...