Η αναζήτηση βρήκε 1408 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιουν 17, 2019 12:01 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 236

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $abc\geq 1$, τότε $\displaystyle \dfrac{1}{a^3+2b^3+6}+\dfrac{1}{b^3+2c^3+6}+\dfrac{1}{c^3+2a^3+6}\leq \frac{1}{3}. $ Καταρχήν, θα εφαρμόσω μία τεχνική που δίνει ότι αρκεί να δείξω την ανισότητα όταν $abc=1$. Έστω, $a=a'k, b=b'...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 16, 2019 11:21 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 236

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3

ΘΕΜΑ 2. Δέκα αριθμοί επιλέγονται από τους $1,2,3,\ldots, 37.$ Να δειχθεί ότι μπορούμε να επιλέξουμε τέσσερις διακεκριμμένους αριθμούς από αυτούς τους δέκα, έτσι ώστε το άθροισμα δύο εξ αυτών να ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο. Μία διαφορετική λύση. Έστω, $a_i$ δέκα αριθμοί για τους οποίους δεν...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 16, 2019 7:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 284

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #4

ΘΕΜΑ 4. Να δειχθεί ότι αν οι $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $ab+bc+ca=3$ τότε $\displaystyle \dfrac{1}{1+a^2(b+c)}+\dfrac{1}{1+b^2(c+a)}+\dfrac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{1}{abc}. $ Μία ''περίεργη'' λύση. Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{a^2(b+c)}{a^2(b+c)+1} \geqslant ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 16, 2019 11:06 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #4
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 284

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #4

ΘΕΜΑ 1. Έστω $p$ ένας πρώτος αριθμός, $p\ne 3$, και έστω $a,b$ ακέραιοι τέτοιοι ώστε $p|a+b$ και $p^2|a^3+b^3$. Να διεχθεί ότι $p^2|a+b$ ή $p^3 \mid \mid a^3+b^3.$ Αν $p^2 \mid a+b$, δεν έχω κάτι να δείξω. Έστω λοιπόν, $p^1 || a+b$. Τότε, είναι $p^2 \mid (a+b)(a^2-ab+b^2)$, οπότε $p \mid a^2-ab+b^2...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 16, 2019 10:50 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 425

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #1

ΘΕΜΑ 2. Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί $p$ για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle a=7^p-p-16 $ είναι τέλειο τετράγωνο. Θέμα σε παλιά JBMO νομίζω. Αν $p=2$ εύκολα έχουμε άτοπο. Άρα, $p \equiv 1$ ή $3 \pmod 4$. Αν $p \equiv 1 \pmod 4$, τότε $a \equiv 2 \pmod 4$, άτοπο γιατί το $2$ δεν είναι τετ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 15, 2019 11:14 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #2
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 244

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #2

ΘΕΜΑ 4. Σε $n$ διαφανή κουτιά υπάρχουν κόκκινες και μπλε μπάλες. Θέλουμε να επιλέξουμε 50 κουτιά τέτοια ώστε να περιέχουν, μαζί, τουλάχιστον τις μισές κόκκινες και τουλάχιστον τις μισές μπλε μπάλες. Είναι μια τέτοια επιλογή δυνατή ανεξάρτητα από τον αριθμό των μπαλών και από την κατανομή τους στα κ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 15, 2019 11:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #2
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 244

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #2

ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι $a,b,c$ είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a^2+b^2+c^2=3$, τότε $\displaystyle \dfrac{1}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{5}{c}\geq 4a^2+3b^2+2c^2. $ Πότε ισχύει η ισότητα? Από το Tangent Line Trick είναι : $\dfrac{1}{a}-4a^2 \geqslant \dfrac{3-9a^2}{2}$ $\dfrac{3}{b}-3b^2 \geqs...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 15, 2019 11:06 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: JBMO Τέστ Εξάσκησης #2
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 244

Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #2

Καλησπέρα σας! Σε συνέχεια του προηγούμενου θέματος , ακολουθούν τα προβλήματα του 2ου τεστ. Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα. ********************************************** ΘΕΜΑ 2. Να δειχθεί ότι η εξίσωση $\displaystyle x^2+y^2+z^2=x+y+z+1 $ δεν έχει ρητές λύσε...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 18, 2019 3:13 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 255

Re: J478 MATHEMATICAL REFLECTIONS

Σας προτείνω το θέμα J478 από το δεύτερο τεύχος του Mathematical Reflections του 2019. Φυσικά παρήλθε η καταληκτική ημερομηνία υποβολής λύσεων... Το θέμα προτείνει ο Nguyen Viet Hung , Hanoi University of Science από το Βιετνάμ. Αποδείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο $ABC$ ισχύει η παρακάτω ανισότητα: $4\le...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 13, 2019 7:40 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσες γωνίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 147

Re: Ίσες γωνίες

Πιο απλά.

Η AI είναι προφανώς μεσοκάθετος της ZE, άρα με X \equiv AI \cap ZE \Rightarrow \angle ZXI=90^\circ=\angle IDS , οπότε το SXID είναι εγγράψιμο.

Επομένως, έχουμε ότι :

\angle AET=\angle AIT=\angle XSD=\angle ESC.
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μάιος 13, 2019 7:30 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσες γωνίες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 147

Re: Ίσες γωνίες

Στο τρίγωνο $ABC$ ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται με τις $BC,AC,AB$ στα $D,E,Z$ και $S$ η τομή των ευθειών $ZE,BC$. Από $D$ φέρνουμε κάθετη (ε) προς την $BC$ και το σημείο $T$ είναι πάνω στην (ε) ώστε $AT//BC$. Να εξετάσετε αν ισχύει $\widehat{AET}=\widehat{ESC}$ Έστω, $Q \equiv AI \cap BC$. Ε...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μάιος 12, 2019 11:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Τρίγωνο-120.
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 158

Re: Τρίγωνο-120.

1.png Στο παραπάνω σχήμα υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ . Φάνη καλησπέρα. Έστω, ότι το συμμετρικό του $C$ ως προς την $AD$ είναι το $K$, και $L$ το συμμετρικό του $K$ ως προς την $BD$. Τότε, προφανώς $K \in AB$, αφού $\angle KAD=\angle DAC=\angle BAD$. Ακόμη, είναι $KD=DC=DL=b$, επομένως $...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 11, 2019 7:47 pm
Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μια διαιρετότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 289

Re: Μια διαιρετότητα!

Nα βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{n}$, ώστε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}}$ να είναι ακέραιος. Καλησπέρα Θάνο. Θέλουμε, $n^3+n^2+n+1 \mid 10^n=2^n \cdot 5^n$, και αφού $n^3+n^2+n+1=(n^2+1)(n+1)$, πρέπει $n^2+1=2^a \cdot 5^b$ και $n+1=2^c \cdot 5^d$, με $a,b,c,d ...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Μάιος 08, 2019 11:44 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Συνθήκη για διάμεσο
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 215

Re: Συνθήκη για διάμεσο

Έστω $ABCD$ ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ώστε $AD^2 + BC^2 = AB^2$. Οι διαγώνιοί του τέμνονται στο $E$ και $P$ είναι σημείο της πλευράς $\overline{AB}$ ώστε $\angle APD = \angle BPC$. Να αποδείξετε ότι η $PE$ διχοτομεί το τμήμα $\overline{CD}$. Καλησπέρα Σιλουανέ. Έστω $M$ το μέσον της $DC$. Θα δείξω ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μάιος 05, 2019 12:39 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1083

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A4. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $abc=1$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right) \geqslant 3(a+b+c+ab+bc+ca).$ Μία 2η λύση για αυτήν : Είναι, $\displaystyle 2\sum a^2 \sum \dfrac{1}{a^2}=2(3+\sum(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{a^2}...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 04, 2019 12:32 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1083

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A3. Έστω θετικός ακέραιος $n$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \sum_{k=0}^n\left(\frac{2n+1-k}{k+1}\right)^k= \left(\frac{2n+1}{1}\right)^0+\left(\frac{2n}{2}\right)^1+\cdots+ \left(\frac{n+1}{n+1}\right)^n\leqslant 2^n.$ Θα αποδείξω το παρακάτω Λήμμα : Λήμμα Για κάθε $n,k \in \mathbb{N^*}$, με $...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Μάιος 04, 2019 12:01 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1083

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A4. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $abc=1$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle 2(a^2+b^2+c^2)\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right) \geqslant 3(a+b+c+ab+bc+ca).$ Έστω, $\displaystyle p=\sum a, q=\sum ab, r=abc=1$. Θα αποδείξω πρώτα το εξής : Ισχυρισμός Ισχύει $(pq-3)^2 \geqs...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Μάιος 03, 2019 11:41 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα
Απαντήσεις: 16
Προβολές: 1083

Re: BMO Shortlist 2018 - Άλγεβρα

A1. Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b,c$ ώστε $abc=\frac{2}{3}$. Να αποδειχθεί ότι: $\displaystyle \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\geqslant \frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3}.$ Μία (παρόμοια) λύση για αυτό. Από Cauchy-Schwarz, $\displaystyle \sum \dfrac{ab}{a+b} \geqslant \dfrac{\displaysty...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Μάιος 03, 2019 11:38 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: BMO 2019
Απαντήσεις: 31
Προβολές: 2514

Re: BMO 2019

Συγχαρητήρια στα παιδιά της Ελλάδας και της Κύπρου για τα μετάλλια!
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Απρ 27, 2019 6:13 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 785

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (ΦΙΙ τάξη 10)

Μόλις τώρα συνειδητοποιήσα ότι υπάρχει μία πολύ πιο εύκολη λύση για την προηγούμενη άσκηση. Αρκεί να δείξω ότι $(1+\dfrac{b}{a})^{\dfrac{c}{b}}>\dfrac{c}{a}$, και αφού $c/b \geqslant 1$, είναι από την Bernoulli, $(1+\dfrac{b}{a})^{\dfrac{c}{b}} \geqslant 1+\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{c}{b}=1+\dfrac{c}...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση