Η αναζήτηση βρήκε 1506 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Ιαν 16, 2020 9:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύμμετρο-μετρική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 126

Re: Σύμμετρο-μετρική

Στο τρίγωνο $ABC$ κατασκευάστηκε το σημείο $D$, συμμετρικό του κέντρου $I$ του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντρο $O$ του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι $AD^2=4R^2-AB \cdot AC$, όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. (Για Γ' Λυκείου) Έστω $A'$ το αν...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Ιαν 16, 2020 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρικυκλικό θαύμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 81

Re: Τρικυκλικό θαύμα

Τρικυκλικό θαύμα.png Στις πλευρές $AB , AC$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημεία $D , E$ , ώστε η ευθεία $DE$ να τέμνει την προέκταση της $BC$ σε σημείο $S$ . Δείξτε ότι οι κύκλοι $(A,D,E) , (E,C,S)$ τέμνονται σε σημείο - ας το ονομάσουμε $T$ - που βρίσκεται πάνω στον περίκυκλο του $\di...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Ιαν 15, 2020 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γινόμενο υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 118

Re: Γινόμενο υπό συνθήκη

Όμορφη :) Έστω, $f(y)$ η συνάρτηση του αριστερού μέλους ως προς $y$. Τότε, είναι προφανές ότι η $f(y)$ είναι γνησίως φθίνουσα οπότε και 1-1, και επίσης $f(y)=1$. Παρατηρούμε όμως, ότι $f(1/x)=1$ (*) , οπότε $f(1/x)=f(y) \Rightarrow 1/x=y \Rightarrow xy=1$, αφού $f$ 1-1. (*) Πράγματι, $f(1/x)=\dfrac{...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 13, 2020 6:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 286

Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις

Μπορεί μια συνάρτηση f να έχει περιόδους A και B, χωρίς όμως να ισχύει B=kA με k \in \mathbb{N} ;

Δεν έχω απάντηση ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 13, 2020 2:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 201

Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

Μία άσκηση που έφτιαξα ... Έστω οξύγωνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και $M,N$ σημεία των πλευρών $AB,AC$ αντίστοιχα, ώστε $CA=CM, BA=BN$. Έστω ακόμη ότι οι κύκλοι $(B,BM)$ και $(C,CN)$ τέμνουν τα μικρά $AB,AC$ τόξα του κύκλου $(A,B,C)$ στα σημεία $P,Q$, αντίστοιχα. Έστω τέλος, $D,E$ τα ίχνη των υψών...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιαν 10, 2020 8:48 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: To τραινάκι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 216

Re: To τραινάκι

25 \, m/s ... πρόκειται για τον οδοντωτό Διακοπτού Καλαβρύτων που κάνει μια απίστευτη διαδρομή :lol: :lol: !!!
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Ιαν 09, 2020 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ευκολότερη εκδοχή!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 228

Re: Ευκολότερη εκδοχή!

Η μέγιστη τιμή του $m$ είναι 4. Αν $a=3,b=0,c=1$, έχουμε $28 \geqslant 6m \Rightarrow m \leqslant 14/3$, και αφού $m$ φυσικός, είναι $m \leqslant 4$. Μένει να δείξω ότι για $m=4$ η ανισότητα όντως ισχύει. Θέλω δηλαδή να δείξω ότι $a^3+b^3+c^3-3abc \geqslant 4(a-b)(b-c)(c-a)$. Το αριστερό μέλος της π...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Ιαν 07, 2020 4:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 310

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 4. Ο φυσικός αριθμός $n$ έχει ακριβώς $1000$ φυσικούς διαιρέτες (συμπεριλαμβανομένου του $1$ και του ίδιου του $n$). Αυτοί οι $1000$ διαιρέτες γράφονται κατά αύξουσα σειρά. Προέκυψε ότι, ο...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 06, 2020 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τα δευτερεύοντα δίνουν λόγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 169

Re: Τα δευτερεύοντα δίνουν λόγο

Χαιρετώ. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με τα ύψη του $BH,CN$ τις διαμέσους του $BE,CZ$ και την διχοτόμο του $AD$. Αν ισχύουν $BE\cdot BH=CZ\cdot CN$ και $AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( DHN \right )}{\left ( BAC \right )}$ . Το ορθό σχήμα έπεται μέρους της λύσης ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 06, 2020 11:28 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 310

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Καταληκτική αίθουσα 5. Τα σημεία $M$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC$ και $AD$ αντίστοιχα τετράπλευρου $ABCD$. Τα τμήματα $AM$, $ DM$, $BN$ και $CN$ διαμερίζουν το τετράπλευρο $ABCD$...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 06, 2020 10:03 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 310

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 2. Τα τρίγωνα $ABC$ και $A_{1}B_{1}C_{1}$ είναι τέτοια, ώστε $\angle B +\angle B_{1} = 180^0$ και $\angle A = \angle A_{1}$. Να αποδείξετε, ότι αν $A_{1}B_{1}=AC+BC$, τότε $AB=A_{1}C_{1}-B...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 06, 2020 9:57 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 310

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 1. Ο αλήτης Γιώργος δεν είναι ευχαριστημένος με τον μέσο όρο του στα μαθηματικά, ο οποίος έχει πέσει κάτω από $3$. Σαν μέτρο άμεσης βελτίωσης του μέσου όρου του, τρύπωσε στο γραφείο των κα...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιαν 05, 2020 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τα δευτερεύοντα δίνουν λόγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 169

Re: Τα δευτερεύοντα δίνουν λόγο

Χαιρετώ. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με τα ύψη του $BH,CN$ τις διαμέσους του $BE,CZ$ και την διχοτόμο του $AD$. Αν ισχύουν $BE\cdot BH=CZ\cdot CN$ και $AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( DHN \right )}{\left ( BAC \right )}$ . Το ορθό σχήμα έπεται μέρους της λύσης ...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Ιαν 01, 2020 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 327

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Ας αξιοποιήσουμε την τεχνική για την : $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-3x+6}$ Είναι : $\bullet$ $g(x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{(x-3)^2}{3x^2-9x+18} \leqslant \dfrac{1}{3}$, και αυτή η μέγιστη τιμή λαμβάνεται για $x=3$. $\bullet$ $g(x)=\dfrac{-1}{5}+\dfrac{(x+1)^2}{5x^2-15x+30} \geqslant \dfrac{-1}{5}$, και αυτή η...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Ιαν 01, 2020 7:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 327

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Αν δεν έχω κάνει καμιά πατάτα, η παράσταση δεν έχει ούτε μέγιστη ούτε ελάχιστη τιμή !! Συγκεκριμένα, προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της είναι το (-\infty, -3-2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}-3,+\infty)
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Ιαν 01, 2020 3:26 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Ίσα τμήματα
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 215

Re: Ίσα τμήματα

198.PNG Καλή χρονιά σε όλους! Έστω τρίγωνο $ABC$ με $b+c=2a$. Αν $I$ το έκκεντρο του $ABC$ και $M$ το μέσο του τόξου $\overset{\frown }{BC}$ που δεν περιέχει το $A$ να δείξετε ότι $AI=BM$. Καλή Χρονιά σε όλους !! Μία ελαφρώς διαφορετική λύση ... :) Έστω, $Q \equiv AM \cap BC$. Από Θ. Διχοτόμου, είν...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Δεκ 31, 2019 9:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Για τα ''τσακάλια'' του Mathematica - Μποναμάς !!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 276

Re: Για τα ''τσακάλια'' του Mathematica - Μποναμάς !!

Χρόνια πολλά σε όλους :santalogo: . Καταρχάς, είναι γνωστό και εύκολα αποδείξιμο με γωνίες πως $\angle{PBF}=\angle{QCE}$ .Έτσι τα τόξα $PA$, $AQ$ είναι ίσα με αποτέλεσμα και τα αντίστοιχα τμήματα να είναι ίσα. Αν $L$ το σημείο τομής της $PQ$ με την $BC$ τότε $LP\cdot LQ=LB \cdot LC= LD \cdot LM$ απ...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Δεκ 31, 2019 8:08 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Για τα ''τσακάλια'' του Mathematica - Μποναμάς !!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 276

Για τα ''τσακάλια'' του Mathematica - Μποναμάς !!

Μία άσκηση που έφτιαξα : Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και $AD,BE,CF$ τα ύψη του, με $D \in BC, E \in AC, F \in AB$. Ακόμη, έστω $P,Q$ τα σημεία τομής της $FE$ με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$. Αν τέλος, $N$ είναι η προβολή του $H$ στην διάμεσο $AM$, να δείξετε ότι : $\...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Δεκ 31, 2019 4:28 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 171

Re: Τριχοτόμηση τμήματος και λόγος

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλο το :santalogo: 31-12 Τριχοτόμηση τμήματος...PNG Σε τρίγωνο $ABC$ θεωρούμε τα σημεία $E \in AC$ και $Z \in AB$ με $F$ την τομή των $BE,CZ$. Το σημείο $R$ ( Runner ) διατρέχει την πλευρά $BC$. Φέρουμε $RI \parallel BE$ και $RH\parallel CZ$ με $I \in AC$ και $H \in AB$. Η $IH$ τέμν...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Δεκ 30, 2019 3:07 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Μεγάλες κατασκευές 27
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 116

Re: Μεγάλες κατασκευές 27

Μεγάλες Κατασκευές 27.png $\bigstar$ Το τρίγωνο $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ είναι αμβλυγώνιο ( στο $A$ ) και η $AM$ είναι διάμεσός του . Εντοπίστε - με κανόνα και διαβήτη ! - σημείο $S$ της πλευράς $AC$ , τέτοιο ώστε : $\widehat{ASB}=\widehat{MAC}$ . Φέρνω τον κύκλο $(A,B,Q)$, όπου $Q$ το συμμετρ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση