Η αναζήτηση βρήκε 1585 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Απρ 05, 2020 11:25 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 109

Re: Γωνίες τριγώνου

βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png Στο $\vartriangle ABC$, η $AM$ είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$. Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$ Καλησπέρα! :) Φέρνω, $CQ \perp AM$, οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$. Επίσης η συνθήκ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Απρ 05, 2020 10:26 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Γωνίες τριγώνου
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 109

Re: Γωνίες τριγώνου

βρείτε τις γωνίες του τριγώνου.png Στο $\vartriangle ABC$, η $AM$ είναι διάμεσος και $\widehat {{B_{}}} = \widehat {MAC}$. Να βρείτε τις γωνίες του $\vartriangle ABC$ Καλησπέρα! :) Φέρνω, $CQ \perp AM$, οπότε το $\vartriangle CMQ$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, άρα $CQ=CM/\sqrt{2}$. Επίσης η συνθήκ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Απρ 05, 2020 9:22 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 194

Re: Τεστ Εξάσκησης (37), Μικροί

ΘΕΜΑ 3 Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης $\displaystyle K= \frac{(x+y)(x^3+y^3)}{(x^2+y^2)^2} $ όταν τα $x$ και $y$ διατρέχουν το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Καλησπέρα σε όλους. :) Βάζω μία ακόμα λύση (παρεμφερής με τις υπόλοιπες). Προφανώς από Cauchy-Schwarz το ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μαρ 30, 2020 11:58 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 411

Re: Τεστ Εξάσκησης (6), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 2 Το τετράπλευρο $ABCD$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο και ισχύει $AB=BC,AD=3DC$. Το σημείο $R$ βρίσκεται στην $BD$ έτσι ώστε $DR=2RB$, το σημείο $Q$ στην $AR$ ώστε $\angle ADQ = \angle BDQ$. Επιπλέον, $\angle ABQ + \angle CBD = \angle QBD$ και η $AB$ τέμνει την $DQ$ στο $P$. Να βρείτε το μέτρο της ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:48 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 235

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κυρ Μαρ 29, 2020 2:40 pm
Αν ax^2+bx+c=px^2+qx+r για κάθε x πραγματικό, δείξτε ότι a=p,\,b=q, \, c=r.
Έστω το πολυώνυμο P(x)=(a-p)x^2+(b-q)x+(c-r). Από την συνθήκη είναι P(1)=P(2)=P(3)=0, και είναι \deg P \leqslant 2, άρα πρέπει P \equiv 0, δηλαδή a=p, b=q, c-r.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:40 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Β'
Θέμα: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 235

Re: Διάφορες , μα όχι αδιάφορες

$\bigstar$ Για το δευτεροβάθμιο τριώνυμο $f(x)$ , ισχύει : $f(x)+3f(4-x)=x^2$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . α) Υπολογίστε το $f(2)$ β) Υπολογίστε το $f(3)$ γ) Υπολογίστε τον θετικό $x$ , για τον οποίο : $f(x)=13$ δ) Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση : $f(x)=k$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού $k...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Άθροισμα γωνιών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 82

Re: Άθροισμα γωνιών

Άθροισμα γωνιών.png $\bigstar$ Στο τρίγωνο $ABC$ , με $\hat{A}=90^0$ , φέραμε το ύψος $AD$ , τη διχοτόμο $AE$ και την διάμεσο $AM$ . Υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών : $\widehat{BAD}+\widehat{EAM}$ . Είναι $\angle BAD+\angle EAM=\angle ACD+\angle EAM=\angle MAC+\angle EAM=\angle EAC=90^\circ/2=45^...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Μαρ 27, 2020 7:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 648

Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 2 Σε μια παιδική χαρά παίζουν $n$ παιδιά, όπου $n> 2.$ Κάθε παιδί φοράει ένα χρωματιστό καπέλο και κάθε ζευγάρι παιδιών κρατά μια χρωματιστή κορδέλα. Για κάθε παιδί, το χρώμα κάθε κορδέλας που κρατά είναι διαφορετικό και επίσης διαφορετικό από το χρώμα του καπέλου που φορά. Ποιος είναι ο ελάχι...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μαρ 26, 2020 10:21 pm
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Από ισότητες σε ανισότητα.
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 162

Re: Από ισότητες σε ανισότητα.

Έστω $x, y, z\epsilon \mathbb{R}$ οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: $cosx+cosy+cosz=0$ και $cos(3x)+cos(3y)+cos(3z)=0$. Να αποδείξετε ότι: $cos(2x)\cdot cos(2y)\cdot cos(2z)\le0$ Καλησπέρα! :) Είναι, $\cos 3x=4\cos ^3 x-3\cos x$ και τα κυκλικά, οπότε η δεύτερη σχέση γράφεται $4(\cos ^3 x+\cos ^3 y...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μαρ 26, 2020 10:08 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (35), Μικροί
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 205

Re: Τεστ Εξάσκησης (35), Μικροί

ΘΕΜΑ 4 Να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων $(x,y)$ για τα οποία ισχύει $\displaystyle{ x^{3}+x^{2}+x=y^{2}+y. }$ Γράφω μία λύση. Εύκολα έχουμε ότι η δοσμένη γράφεται ως $(y-x)(y+x+1)=x^3$. Ισχυρισμός: Ισχύει, $(y-x,y+x+1)=1$. Απόδειξη: Έστω ότι $(y-x,y+x+1) \neq 1$, οπότε υπάρχει πρώτος $p$ με $p \mid ...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μαρ 26, 2020 2:11 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Σύγκριση αριθμών
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 140

Re: Σύγκριση αριθμών

Να συγκριθούν οι αριθμοί: $\displaystyle{3}$ και $\displaystyle{\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{50}}}}}}$ ( Για μαθητές Γυμνασίου, μέχρι 1-4-20) Καλημέρα κ. Δημήτρη και Χρόνια Πολλά! Είναι, $\displaystyle{\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{50}}}}}} >\displaystyle{\sqrt{1+2\sqrt{1+3...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μαρ 26, 2020 1:28 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 419

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 4 Να προσδιορίσετε το πλήθος των συνόλων $A = \{a_1,a_2,...,a_{1000}\},$ με στοιχεία θετικούς ακέραιους και $a_1 < a_2 <...< a_{1000} \le 2014$, για τα οποία το σύνολο $S = \{a_i + a_j | 1 \le i, j \le 1000,$ με $i + j \in A\},$ είναι υποσύνολο του $A$. (Από εδώ: https://artofproblemsolving.co...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μαρ 26, 2020 11:46 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 648

Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 3 Έστω $I$ το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και $AD$ διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου $ABC.$ Τα σημεία $E$ και $F$ ανήκουν στις ευθείες $BA$ και $CA$ ώστε $\displaystyle{BE = CF =\frac{AB + BC + CA}{2}.}$ Δείξτε ότι οι ευθείες $EF$ και $DI$ είναι κάθετες. Είναι $AE=BE-AB=(a+b-c)...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μαρ 26, 2020 12:18 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 648

Re: Τεστ Εξάσκησης (13), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 3 Έστω $I$ το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου και $AD$ διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου τριγώνου $ABC.$ Τα σημεία $E$ και $F$ ανήκουν στις ευθείες $BA$ και $CA$ ώστε $\displaystyle{BE = CF =\frac{AB + BC + CA}{2}.}$ Δείξτε ότι οι ευθείες $EF$ και $DI$ είναι κάθετες. Είναι $AE=BE-AB=(a+b-c)...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Μαρ 25, 2020 11:43 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 419

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 2 Να δείξετε ότι $\displaystyle{ \frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\ge-\frac{1}{2}, }$ για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $x,y,z$ με $x+y+z = xy+yz+zx .$ (Από εδώ: https://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=111&t=34612) Χρόνια Πολλά! Έστω ότι, υπάρχουν δύο θετικοί μεταξύ τ...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μαρ 24, 2020 6:12 pm
Δ. Συζήτηση: ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'
Θέμα: Ακόμα μία καθετότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 85

Re: Ακόμα μία καθετότητα

Ακόμα μία καθετότητα.png $\bigstar$ Το $M$ είναι τυχαίο σημείο του ύψους $AD$ ισοσκελούς τριγώνου $ABC(AB=AC).$ Η $BM$ τέμνει την $AC$ στο $P$ και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $APM$ την $AB$ στο $Q.$ Αν η κάθετη από το $B$ στην $PQ$ τέμνει την $MQ$ στο $F,$ να δείξετε ότι $CF\bot AB.$ Έστω...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μαρ 24, 2020 1:33 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ασυνήθιστη ανισότητα
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 225

Re: Ασυνήθιστη ανισότητα

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς $a_1,a_2,...,a_{2019}$ ισχύει $a_1a_2...a_k\geq 1$ για κάθε $k=1,2,...,2019$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+...+\frac{a_{2019}}{2019}>\frac{13}{2}.}$ Είναι, $M=\displaystyle{a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+...+\frac{a_{2019}}{2019}...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μαρ 24, 2020 12:17 am
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Τρίγωνο και ...πανσέληνος
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 186

Re: Τρίγωνο και ...πανσέληνος

Γεια σας. Τρίγωνο και ..πανσέληνος.PNG Το τρίγωνο $ABC$ με $BC=2$ και $AC=1+\sqrt{3}$ , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν ισχύει $\widehat{C_{\varepsilon \xi }}=2\widehat{B_{\varepsilon \xi }}$ τότε: Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου. Επειδή ενδέχεται το παρόν να δυσκολέψει (προσωρινά πάν...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Μαρ 23, 2020 11:50 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 419

Re: Τεστ Εξάσκησης (14), Μεγάλοι

ΘΕΜΑ 1 Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ για τις οποίες ισχύει $\displaystyle{n!+f(m)!|f(n)!+f(m!)}$ για όλους τους θετικούς ακεραίους $m,n.$ Αποδεικνύω 2 Ισχυρισμούς: Ισχυρισμός 1: Ισχύει, $f(1)=1$. Απόδειξη: Θέτουμε $m=n=1$ στη δοσμένη, οπότε προκύπτει $k!+...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση