Η αναζήτηση βρήκε 1616 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Σεπ 13, 2020 4:01 pm
Δ. Συζήτηση: Γενικά Μηνύματα
Θέμα: JBMO 2020
Απαντήσεις: 18
Προβολές: 1343

Re: JBMO 2020

Πολλά συγχαρητήρια στην ομάδα μας στην JBMO 2020 για τις κορυφαίες επιδόσεις τους: Πρόδρομος Φωτιάδης: 31/40, Χρυσό μετάλλιο :winner_first_h4h: Κωνσταντίνος Κωνσταντινίδης: 31/40, Χρυσό Μετάλλιο :winner_first_h4h: Γεώργιος Τζαχρήστας: 26/40, Αργυρό Μετάλλιο :winner_second_h4h: Παναγιώτης Λιάμπας: 25...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Σεπ 03, 2020 12:21 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Ακρότατα υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 583

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Έστω ότι τα $\displaystyle x,y\in R$ ικανοποιούν την $\displaystyle 4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}=3$ Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ποσότητας : $\displaystyle A={{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}$ Μία εκτός φακέλου :) Ισχυρίζομαι ότι η μέγιστη τιμή είναι $1$ και η ελάχιστη τιμή $-6$. Μέγιστη τιμή: Αρκ...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Σεπ 02, 2020 12:11 am
Δ. Συζήτηση: Συνδυαστική - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ενδιαφέρουσα διάλεξη
Απαντήσεις: 10
Προβολές: 796

Re: Ενδιαφέρουσα διάλεξη

Έστω, $t_{ij}$ ή πρώτη στιγμή που ο επιστήμονας $i$ κοιμόταν ταυτόχρονα με τον επιστήμονα $j$, με $i \neq j$ και $i,j \in \{1,2,3,4,5 \}$. Είναι προφανές ότι υπάρχουν $10$ ακριβώς τέτοιες στιγμές. Επίσης, θεωρούμε $s_k$ με $k \in \{1,2 \ldots, 10 \}$ τις χρονικές στιγμές όπου ένας επιστήμονας αρχίζε...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Αύγ 10, 2020 11:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Περίεργη ανισότητα!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 252

Περίεργη ανισότητα!

Έστω x,y,z>0 ώστε:

i) οι \sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z} είναι πλευρές τριγώνου, και
ii) \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=5.

Να αποδείξετε, ότι:

\dfrac{x(y^2-2z^2)}{z}+\dfrac{y(z^2-2x^2)}{x}+\dfrac{z(x^2-2y^2)}{y} \geqslant 0.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Αύγ 09, 2020 2:55 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Χωρίς πολλά απόλυτα
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 178

Re: Χωρίς πολλά απόλυτα

Δίνονται οι πραγματικοί $a,b$ Να δειχθεί ότι υπάρχουν πραγματικοί $A,B$ ώστε $\displaystyle |a|x|y+b|y|x|=A|xy|+Bxy $ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ $\rightarrow$ Αν $x,y \geqslant 0$ τότε θέλουμε $|a|x|y+b|y|x|=A|xy|+Bxy \Rightarrow |axy+bxy|=(A+B)xy \Rightarrow |a+b|=A+B$. $\rightarrow$ Αν $x,y \le...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Αύγ 09, 2020 2:01 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ανισότητες με απόλυτα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 226

Re: Ανισότητες με απόλυτα

Αν $a,b$ πραγματικοί για τους οποίους ισχύουν $|a|<|b|$ και $|a^2-b^2|=|ab|$ τότε να δείξετε ότι 1) $3|a|>|a+b|$ 2)$ 5|ab|>(a+b)^2$ Έξυπνη! Έστω, $|a|=x, \, |b|=y$. Τότε $x<y$ και $y^2-x^2=xy$ (είναι $x<y \Rightarrow x^2<y^2$, οπότε $|x-y|=y-x$). Αν $x=0$ τότε $y=0$, άτοπο. Επίσης αν $y=0$ τότε $x<...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Αύγ 09, 2020 1:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
Θέμα: Ανισοτικές σχέσεις
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 179

Re: Ανισοτικές σχέσεις

Δίνονται $a,b,c\in \mathbb{R}$ ώστε $1-4ab\geq 0,1-4ac\geq 0$ Αν είναι $\sqrt{1-4ab}+\sqrt{1-4ac}> 4a$ να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους $a,b,c$ είναι μικρότερος του $\frac{1}{\sqrt{8}}$ Καλημέρα! :) Έστω πως $a,b,c \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{8}}$. Τότε, $ab \geqslant \dfrac{1}{8}$, άρα $\dfr...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Αύγ 05, 2020 9:25 am
Δ. Συζήτηση: Προτεινόμενα Θέματα Μαθηματικών
Θέμα: Μια συναρτησιακή.
Απαντήσεις: 5
Προβολές: 403

Re: Μια συναρτησιακή.

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ η οποία έχει τις παρακάτω ιδιότητες: $\bigstar f(1)=1$ $\bigstar f(x+y)=f(x)+f(y)$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$ $\bigstar f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^{2}}f(x)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}^{\ast }$ Να αποδείξετε ότι $f(x)=x$ για κάθε $x \in \mathbb...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 25, 2020 11:42 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: IMO 2019
Απαντήσεις: 43
Προβολές: 7599

Re: IMO 2019

Έστω $I$ το έκκεντρο του οξυγώνιου τριγώνου $ABC$ με $AB \neq AC$. Ο εγγεγραμμένος κύκλος $(\omega)$ του $ABC$ εφάπτεται των πλευρών $BC, CA$, και $AB$ στα σημεία $D, E$, και $F$, αντίστοιχα. Η ευθεία που περνά από το σημείο $D$ και είναι κάθετη στο $EF$ τέμνει τον κύκλο $(\omega)$ ξανά στο σημείο ...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιούλ 17, 2020 3:54 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 773

Re: Μέγιστη τιμή!

Επαναφορά! :)
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 421

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)

Άλλη μια:

Είναι EA=EC, και DE^2-CE^2=DP^2-CP^2=AQ^2-BQ^2=AE^2-EB^2, όπου P,Q τα ίχνη της από το E κάθετης στις DC,AB. Άρα 2AE^2=DE^2+BE^2.
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:24 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 421

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)

Και μια ακόμη: Καταρχήν, είναι $\angle ZDE=\pi -\angle ZAE=\pi -\angle CDB$, άρα τα $Z,D,C$ είναι συνευθειακά. Έστω σημείο $P$ στην $DC$ ώστε $PE \perp BE$. Τότε, το $PEBC$ είναι εγγράψιμο, άρα $\angle PBC=\angle PEC=\angle DPE-\angle DCE=\angle ZAE-\angle DAE=\angle ZAD$, όπου η προτελευταία ισότητ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιούλ 12, 2020 10:07 pm
Δ. Συζήτηση: Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές
Θέμα: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 421

Re: Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου (Α' Λυκείου)

Πλευρές ορθογωνίου τριγώνου...png Έστω $E$ τυχαίο σημείο της διαγωνίου $BD$ τετραγώνου $ABCD.$ Κατασκευάζω το τετράγωνο $AEZH.$ Να δείξετε ότι τα τμήματα $AZ, EB, ED$ είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. 24 ώρες για μαθητές. Καλησπέρα Γιώργο. Φέρνω $EP \perp DA, EQ \perp AB$. Είναι $\angle PDE=4...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιούλ 04, 2020 3:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις
Θέμα: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Απαντήσεις: 8
Προβολές: 961

Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!

Την έχουμε δει, εδώ, αλλά και εδώ :)
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιουν 29, 2020 4:40 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 773

Re: Μέγιστη τιμή!

Από το (α), για κάθε $i \neq j$ έχουμε $\displaystyle x_i - x_j = 2020\left( \frac{1}{x_j} - \frac{1}{x_i}\right) = \frac{2020(x_i-x_j)}{x_ix_j}.$ Επομένως είτε $x_i = x_j$, είτε $x_ix_j = 2020$. Αν λοιπόν $x_1 = a$, τότε για κάθε $i$ έχουμε $x_i = a$ ή $x_i = \frac{2020}{a}$. Μπορούμε λοιπόν να υπ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 28, 2020 2:00 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
Θέμα: Διάμεσος πάντα
Απαντήσεις: 12
Προβολές: 777

Re: Διάμεσος πάντα

Πάντα διάμεσος.png Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα $BC = a$. Γράφω το κύκλο $\left( {B,3a} \right)$ και έστω τυχαίο του σημείο $A$ ( Τα $A,B,C$ όχι συνευθειακά ) Αν $BD$ διχοτόμος του $\vartriangle ABC$ και η κάθετος στην$DA$ στο $D$ τμήσει την $AB$ στο $M$, δείξετε ότι το $M$ είναι μέσο του $AB$. 24 ώρες...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 27, 2020 8:38 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστη τιμή!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 773

Μέγιστη τιμή!

Μια άσκηση που έφτιαξα :) : Έστω $n>3$ ένας θετικός ακέραιος, και $x_1,x_2,\ldots,x_n \in \mathbb{R}$ που ικανοποιούν τις επόμενες ιδιότητες: α) $x_1-2020(\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_3}+\ldots+\dfrac{1}{x_n})=x_2-2020(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_3}+\ldots+\dfrac{1}{x_n})$$=\ldots=x_n-2020(\dfrac{1}{x_...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιουν 26, 2020 5:33 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Τεστ Εξάσκησης!
Απαντήσεις: 9
Προβολές: 1368

Re: Τεστ Εξάσκησης!

Πρόβλημα 2 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού ακέραιου $x$, ώστε να ικανοποιούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες: $\bullet$ $x>2021$ $\bullet$ υπάρχει θετικός ακέραιος $y$, σχετικά πρώτος με τον $x$ , ώστε ο $x^2-4xy+5y^2$ να είναι τέλειο τετράγωνο. Με επιφυλάξεις... Έστω $\rm k^2=x^2-4xy+5y^2=(x-2...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιουν 21, 2020 11:48 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 886

Re: Μέγιστο- ελάχιστο παράστασης

Για τους μη αρνητικούς αριθμούς $x,y,z$ που πληρούν την συνθήκη $x^2+y^2+z^2=2009$, να βρεθεί το μέγιστο ελάχιστο της παράστασης $\displaystyle S=\frac{x}{yz+2009}+\frac{y}{zx+2009}+\frac{z}{xy+2009}$ $\displaystyle S\ge\frac{1}{\sqrt{2009}}, \displaystyle S\le\sqrt{\frac{2}{2009}}$ Θέτοντας $a=\df...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Ιουν 06, 2020 12:42 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Προχωρημένο Επίπεδο (Seniors)
Θέμα: Ανισότητα
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 674

Re: Ανισότητα

Έστω $a , b, c$ θετικοί αριθμοί τέτοια ώστε $a^2 + b^2 + c^2 =3$. Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{\sum_{\text{cyclic}} \frac{b}{\sqrt{a^2+3}} \leq \sqrt[4]{\frac{9 \left ( a + b + c \right )^2}{16abc}}}$ Άνευ λύσης. Σκέψη: Παρατηρούμε ότι η εφαπτομένη της συνάρτησης $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+3}}$ στ...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση