Η αναζήτηση βρήκε 1511 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιαν 19, 2020 11:48 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 160

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Πρόβλημα 4: Σε μια τάξη κάθε μαθητής παίζει τουλάχιστον ένα μουσικό όργανο από τα μουσικά όργανα κιθάρα, βιολί και πιάνο. Ξέρουμε ότι: $\bullet$ Τουλάχιστον $90\%$ των μαθητών παίζει κιθάρα ή βιολί ή και τα δύο. $\bullet$ Τουλάχιστον $90\%$ των μαθητών παίζει βιολί ή πιάνο ή και τα δύο. $\bullet$ Τ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιαν 19, 2020 11:04 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO 2020
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 209

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για BMO/EGMO/IMO 2020

Αναρτώ εδώ τα χθεσινά θέματα Πρόβλημα 1: Αν $x \in \mathbb{R}$ ορίζουμε $[x]$ ως τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που είναι μικρότερος ή ίσος με τον $x$. Για παράδειγμα: $[\pi]=3$, και $[-1,5]=-2$. Να βρείτε το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης. $[x^2 ]+[x]=2020$ Αν το $x>0$, τότε : i) Αν $x>45$, τότε το...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:54 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 160

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Πρόβλημα 2: Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $\triangle \mathrm{AB}\Gamma$ $(\mathrm{A}\Gamma=\mathrm{B}\Gamma)$ με τις γωνίες της βάσης του να είναι $\angle \Gamma \mathrm{AB}= \angle \Gamma \mathrm{BA}=75^{\circ}$. Από το μέσον $\mathrm{M}$ του $\mathrm{AB}$ φέρουμε ευθεία κάθετη προς την $\mathrm{B}\Ga...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:46 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 160

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Πρόβλημα 3: Ο Αντρέας και ο Βασίλης συμφωνούν να παίξουν ένα παιχνίδι με αριθμούς ως εξής: «Γράφουν εναλλάξ στον πίνακα θετικά τέλεια τετράγωνα με τον όρο ότι ένα τέλειο τετράγωνο μπορεί να γραφεί αρκετές φορές.» Αν το άθροισμα των αριθμών που είναι γραμμένοι στον πίνακα γίνει μεγαλύτερο του $24$ α...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιαν 19, 2020 10:29 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 160

Re: Α' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2020

Χθες είχαμε τον πρώτο Παγκύπριο διαγωνισμό επιλογής. Αναρτώ εδώ τα θέματα των μικρών και θα αναρτήσω σε λίγο και των μεγάλων. Πρόβλημα 1: (α) Αν $n$ φυσικός αριθμός ο οποίος δεν είναι πολλαπλάσιο του $3$, να αποδείξετε ότι ο $n^2+2$ είναι πολλαπλάσιο του 3. (β) Να βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Ιαν 16, 2020 9:06 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Σύμμετρο-μετρική
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 135

Re: Σύμμετρο-μετρική

Στο τρίγωνο $ABC$ κατασκευάστηκε το σημείο $D$, συμμετρικό του κέντρου $I$ του εγγεγραμμένου κύκλου του ως προς το κέντρο $O$ του περιγεγραμμένου του κύκλου. Να αποδείξετε, ότι $AD^2=4R^2-AB \cdot AC$, όπου $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$. (Για Γ' Λυκείου) Έστω $A'$ το αν...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Ιαν 16, 2020 8:54 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τρικυκλικό θαύμα
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 100

Re: Τρικυκλικό θαύμα

Τρικυκλικό θαύμα.png Στις πλευρές $AB , AC$ , τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε σημεία $D , E$ , ώστε η ευθεία $DE$ να τέμνει την προέκταση της $BC$ σε σημείο $S$ . Δείξτε ότι οι κύκλοι $(A,D,E) , (E,C,S)$ τέμνονται σε σημείο - ας το ονομάσουμε $T$ - που βρίσκεται πάνω στον περίκυκλο του $\di...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Ιαν 15, 2020 2:51 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Γινόμενο υπό συνθήκη
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 127

Re: Γινόμενο υπό συνθήκη

Όμορφη :) Έστω, $f(y)$ η συνάρτηση του αριστερού μέλους ως προς $y$. Τότε, είναι προφανές ότι η $f(y)$ είναι γνησίως φθίνουσα οπότε και 1-1, και επίσης $f(y)=1$. Παρατηρούμε όμως, ότι $f(1/x)=1$ (*) , οπότε $f(1/x)=f(y) \Rightarrow 1/x=y \Rightarrow xy=1$, αφού $f$ 1-1. (*) Πράγματι, $f(1/x)=\dfrac{...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 13, 2020 6:21 pm
Δ. Συζήτηση: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ
Θέμα: Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 293

Ερώτηση για περιοδικές συναρτήσεις

Μπορεί μια συνάρτηση f να έχει περιόδους A και B, χωρίς όμως να ισχύει B=kA με k \in \mathbb{N} ;

Δεν έχω απάντηση ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 13, 2020 2:12 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!
Απαντήσεις: 2
Προβολές: 205

Για μαντράχαλους και μεγάλους πιτσιρίκους !!

Μία άσκηση που έφτιαξα ... Έστω οξύγωνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και $M,N$ σημεία των πλευρών $AB,AC$ αντίστοιχα, ώστε $CA=CM, BA=BN$. Έστω ακόμη ότι οι κύκλοι $(B,BM)$ και $(C,CN)$ τέμνουν τα μικρά $AB,AC$ τόξα του κύκλου $(A,B,C)$ στα σημεία $P,Q$, αντίστοιχα. Έστω τέλος, $D,E$ τα ίχνη των υψών...
από Ορέστης Λιγνός
Παρ Ιαν 10, 2020 8:48 pm
Δ. Συζήτηση: Διασκεδαστικά Μαθηματικά
Θέμα: To τραινάκι
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 223

Re: To τραινάκι

25 \, m/s ... πρόκειται για τον οδοντωτό Διακοπτού Καλαβρύτων που κάνει μια απίστευτη διαδρομή :lol: :lol: !!!
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Ιαν 09, 2020 12:04 am
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Ευκολότερη εκδοχή!
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 231

Re: Ευκολότερη εκδοχή!

Η μέγιστη τιμή του $m$ είναι 4. Αν $a=3,b=0,c=1$, έχουμε $28 \geqslant 6m \Rightarrow m \leqslant 14/3$, και αφού $m$ φυσικός, είναι $m \leqslant 4$. Μένει να δείξω ότι για $m=4$ η ανισότητα όντως ισχύει. Θέλω δηλαδή να δείξω ότι $a^3+b^3+c^3-3abc \geqslant 4(a-b)(b-c)(c-a)$. Το αριστερό μέλος της π...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Ιαν 07, 2020 4:52 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 313

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 4. Ο φυσικός αριθμός $n$ έχει ακριβώς $1000$ φυσικούς διαιρέτες (συμπεριλαμβανομένου του $1$ και του ίδιου του $n$). Αυτοί οι $1000$ διαιρέτες γράφονται κατά αύξουσα σειρά. Προέκυψε ότι, ο...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 06, 2020 3:18 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τα δευτερεύοντα δίνουν λόγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 173

Re: Τα δευτερεύοντα δίνουν λόγο

Χαιρετώ. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με τα ύψη του $BH,CN$ τις διαμέσους του $BE,CZ$ και την διχοτόμο του $AD$. Αν ισχύουν $BE\cdot BH=CZ\cdot CN$ και $AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( DHN \right )}{\left ( BAC \right )}$ . Το ορθό σχήμα έπεται μέρους της λύσης ...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 06, 2020 11:28 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 313

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. Καταληκτική αίθουσα 5. Τα σημεία $M$ και $N$ είναι τα μέσα των πλευρών $BC$ και $AD$ αντίστοιχα τετράπλευρου $ABCD$. Τα τμήματα $AM$, $ DM$, $BN$ και $CN$ διαμερίζουν το τετράπλευρο $ABCD$...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 06, 2020 10:03 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 313

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 2. Τα τρίγωνα $ABC$ και $A_{1}B_{1}C_{1}$ είναι τέτοια, ώστε $\angle B +\angle B_{1} = 180^0$ και $\angle A = \angle A_{1}$. Να αποδείξετε, ότι αν $A_{1}B_{1}=AC+BC$, τότε $AB=A_{1}C_{1}-B...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Ιαν 06, 2020 9:57 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)
Απαντήσεις: 6
Προβολές: 313

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2019 (8η τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης, Φεβρουάριος 2019. Θέματα της δεύτερης φάσης (τελικής) για την 8η τάξη. 1. Ο αλήτης Γιώργος δεν είναι ευχαριστημένος με τον μέσο όρο του στα μαθηματικά, ο οποίος έχει πέσει κάτω από $3$. Σαν μέτρο άμεσης βελτίωσης του μέσου όρου του, τρύπωσε στο γραφείο των κα...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Ιαν 05, 2020 11:59 pm
Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Τα δευτερεύοντα δίνουν λόγο
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 173

Re: Τα δευτερεύοντα δίνουν λόγο

Χαιρετώ. Θεωρούμε τρίγωνο $ABC$ με τα ύψη του $BH,CN$ τις διαμέσους του $BE,CZ$ και την διχοτόμο του $AD$. Αν ισχύουν $BE\cdot BH=CZ\cdot CN$ και $AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}$ τότε: Να υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( DHN \right )}{\left ( BAC \right )}$ . Το ορθό σχήμα έπεται μέρους της λύσης ...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Ιαν 01, 2020 8:02 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 329

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Ας αξιοποιήσουμε την τεχνική για την : $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-3x+6}$ Είναι : $\bullet$ $g(x)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{(x-3)^2}{3x^2-9x+18} \leqslant \dfrac{1}{3}$, και αυτή η μέγιστη τιμή λαμβάνεται για $x=3$. $\bullet$ $g(x)=\dfrac{-1}{5}+\dfrac{(x+1)^2}{5x^2-15x+30} \geqslant \dfrac{-1}{5}$, και αυτή η...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Ιαν 01, 2020 7:09 pm
Δ. Συζήτηση: ΑΛΓΕΒΡΑ Α'
Θέμα: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα
Απαντήσεις: 11
Προβολές: 329

Re: Ξεχασμένα ακρότατα από ξεχασμένη...άλγεβρα

Αν δεν έχω κάνει καμιά πατάτα, η παράσταση δεν έχει ούτε μέγιστη ούτε ελάχιστη τιμή !! Συγκεκριμένα, προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της είναι το (-\infty, -3-2\sqrt{2}] \cup [2\sqrt{2}-3,+\infty)

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση