Η αναζήτηση βρήκε 1642 εγγραφές

από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μάιος 20, 2021 8:55 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021
Απαντήσεις: 13
Προβολές: 888

Re: Γ' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής για JBMO 2021

Πρόβλημα 2: Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $x,y$ με $x \geqslant \sqrt{2021}$ έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle \sqrt[3]{x+\sqrt{2021}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{2021}} = \sqrt[3]{y}$ Να βρείτε το σύνολο τιμών που μπορεί να πάρει το κλάσμα $y/x$. Έστω $\sqrt[3]{x+\sqrt{2021}}=a$ και $\sqrt[3]{x-\sqrt{2021...
από Ορέστης Λιγνός
Τρί Μάιος 04, 2021 3:10 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή στο R
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 255

Re: Συναρτησιακή στο R

Καλό Πάσχα, μία ιδιοκατασκευή Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{xyf(x)+f(y^2f(x))=xyf(x+y)$ για κάθε $x,y\in \mathbb{R}}$. Χρόνια Πολλά σε όλους! Όμορφη :) Έστω $P(x,y)$ η δοσμένη σχέση. Αν η $f$ είναι σταθερή, τότε εύκολα προκύπτει ότι...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Απρ 14, 2021 9:58 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2021
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1219

Re: EGMO 2021

Πρόβλημα 5: Σε ένα επίπεδο υπάρχει ειδικό σημείο $O$ το οποίο ονομάζουμε αρχή των αξόνων. Έστω $P$ ένα σύνολο από $2021$ σημεία του επιπέδου, τέτοια ώστε (i) δεν υπάρχουν τρία σημεία του $P$ πάνω στην ίδια ευθεία (ii) δεν υπάρχουν δύο σημεία του $P$ πάνω σε ευθεία η οποία περνά από την αρχή των αξό...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Απρ 14, 2021 1:14 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2021
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1219

Re: EGMO 2021

Πρόβλημα 6: Υπάρχει μη αρνητικός ακέραιος αριθμός~$a$, για τον οποίο η εξίσωση $\displaystyle \left\lfloor\frac{m}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{m}{3}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac{m}{m}\right\rfloor = n^2 + a $ έχει περισσότερα από ένα εκατο...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Απρ 14, 2021 12:45 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2021
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1219

Re: EGMO 2021

Πρόβλημα 4: Έστω τρίγωνο $ABC$ με έγκεντρο $I$ και έστω $D$ ένα αυθαίρετο σημείο στην πλευρά $BC$. Η κάθετη ευθεία από το σημείο $D$ στην ευθεία $BI$ τέμνει την ευθεία $CI$ στο σημείο $E$. Η κάθετη ευθεία από το σημείο $D$ στην ευθεία $CI$ τέμνει την ευθεία $BI$ στο σημείο $F$. Να αποδείξετε ότι το...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Απρ 14, 2021 12:34 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2021
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1219

Re: EGMO 2021

Πρόβλημα 3: Έστω τρίγωνο $ABC$ με τη γωνία $A$ να είναι αμβλεία. Έστω $E$ και $F$ οι τομές της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας $A$, με τα ύψη του τριγώνου $ABC$ από τις κορυφές $B$ και $C$ αντίστοιχα. Έστω $M$ και $N$ τα σημεία στα ευθύγραμμα τμήματα $EC$ και $FB$ αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\angle EM...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Απρ 14, 2021 12:25 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2021
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1219

Re: EGMO 2021

Πρόβλημα 2: Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$, τέτοιες ώστε να ισχύει η εξίσωση $\displaystyle f(xf(x)+y)=f(y)+x^2 $ για όλους τους ρητούς αριθμούς $x$ και $y$. Εδώ, το $\mathbb{Q}$ συμβολίζει το σύνολο των ρητών αριθμών. Έστω $P(x,y)$ η δοσμένη σχέση. Ισχυρισμό...
από Ορέστης Λιγνός
Τετ Απρ 14, 2021 12:09 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: EGMO 2021
Απαντήσεις: 14
Προβολές: 1219

Re: EGMO 2021

Τα θέματα του διαγωνισμού: Πρόβλημα 1: Ο αριθμός $2021$ είναι φανταστυπέροχος . Αν για κάποιον θετικό ακέραιο $m$, οποιοδήποτε από τα στοιχεία του συνόλου $\{m, 2m+1, 3m\}$ είναι φανταστυπέροχο, τότε είναι όλα φανταστυπέροχα. Είναι ο αριθμός $2021^{2021}$ απαραίτητα φανταστυπέροχος; Για ευκολία στη...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Απρ 03, 2021 11:28 am
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Άσκηση για υποψηφίους!
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 642

Άσκηση για υποψηφίους!

Μια ιδιοκατασκευή :D Έστω συνάρτηση $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, δύο φορές παραγωγίσιμη, ώστε $f''(x) x^2+f'(x)x=x-2$ για κάθε $x>0$, και: $\bullet$ $f(1) \geq 0$, $\bullet$ υπάρχει $\xi>0$ ώστε η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της $Α(\xi,f(\xi))$ να περνάει από την αρχή των αξόνων, και ...
από Ορέστης Λιγνός
Πέμ Μαρ 25, 2021 11:43 am
Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Θέμα: Μέγιστο του ελαχίστου
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 264

Re: Μέγιστο του ελαχίστου

Έστω $f(x) = x^\lambda - \ln x \; , \; \lambda >0$. Να βρεθεί η τιμή του $\lambda$ για την οποία το ελάχιστο της $f$ παίρνει τη μέγιστη τιμή του. Χρόνια Πολλά σε όλους! Η συνάρτηση $f$ ορίζεται στο $D_f=(0,+\infty)$. Είναι, $f'(x)=\lampda x^{\lambda-1}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{\lambda x^\lambda-1}{x}$, ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μαρ 07, 2021 8:45 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Άπειροι διαιρέτες
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 365

Re: Άπειροι διαιρέτες

Μετά από μια συζήτηση με φίλο, προέκυψε η εξής άσκηση: Αν $\displaystyle{a}$ είναι περιττός φυσικός αριθμός, να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{n}$ , ώστε ο $\displaystyle{a^n - 1}$ να διαιρείται με το $\displaystyle{4n}$. Θα δείξουμε, ότι για κάθε αριθμό $n$ της μορφ...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Μαρ 07, 2021 6:44 pm
Δ. Συζήτηση: ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'
Θέμα: Πλάγια ασύμπτωτος
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 820

Re: Πλάγια ασύμπτωτος

Δαμάστηκε το θεριό ... και προτείνεται ανεξάρτητα: να δειχθεί ότι η $y=\dfrac{2x+1}{2e}$ είναι πλάγια ασύμπτωτος της $y=\dfrac{x^{x+1}}{(x+1)^x}$. [Οριακά σχολική η λύση μου, αλλά για θέμα Πανελλαδικών ΔΕΝ ΝΟΜΙΖΩ -- ας μην ανησυχούν όσοι υποψήφιοι δεν μπορούν να το λύσουν ;) ] Καλησπέρα :) Για να α...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Φεβ 20, 2021 10:09 pm
Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
Θέμα: Συναρτησιακή στο Z
Απαντήσεις: 1
Προβολές: 441

Re: Συναρτησιακή στο Z

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ ώστε $f (2m + f (m) + f (m)f (n)) = nf (m) + m$ για κάθε $m,n\in \mathbb{Z}$ Δεν είναι δική μου. Έστω $P(x,y)$ η δοσμένη συναρτησιακή σχέση (παίρνω $(m,n) \rightarrow (x,y)$). Η $P(x,0)$ δίνει $f(2x+f(x)+f(x)f(0))=x$, οπότε η $f$ ε...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Φεβ 13, 2021 10:01 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 449

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 3. Ένα αλφάβητο έχει $n>1$ γράμματα, λέξη αποτελεί κάθε πεπερασμένη ακολουθία γραμμάτων, στην οποία δυο γειτονικά γράμματα είναι διαφορετικά. Μια λέξη ονομάζεται καλή , αν σε αυτήν δεν μπορούμε να διαγρ...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Φεβ 13, 2021 3:56 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 449

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 2. Έστω $I$ το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου $ABC$, $M$ και $N$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές $AB$ και $BC$ αντίστοιχα. Από το σημείο $I$ φέρουμε ευθεία $l$, πα...
από Ορέστης Λιγνός
Σάβ Φεβ 13, 2021 3:49 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)
Απαντήσεις: 4
Προβολές: 449

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 2η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 2η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 1. Ο Βασίλης έγραψε στα κελιά ενός πίνακα $9 \times 9$ τους φυσικούς αριθμούς από το $1$ έως το $81$ (σε κάθε κελί από έναν αριθμό, όλοι αριθμοί είναι διαφορετικοί). Προέκυψε ότι οποιοιδήποτε δυο αριθμο...
από Ορέστης Λιγνός
Δευ Φεβ 08, 2021 3:39 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 658

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021 (ΦΙΙΙ 11η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2020/21. 1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 11η τάξη. 3. Στον άξονα $Ox$ σημειώθηκαν τα σημεία $1, 2, \dots , 100$ και σχεδιάστηκαν οι γραφικές παραστάσεις $200$ δευτεροβάθμιων τριωνύμων (συναρτήσεων), κάθε μία εκ των οποίων διέρχεται από δυο σημειωμένα ση...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Φεβ 07, 2021 12:32 pm
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: First International Fuctional Equation Olympiad Day 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 316

Re: First International Functional Equation Olympiad Day 1

Πρόβλημα 2: Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{N}$ τέτοιες ώστε: $\displaystyle{n^2f(n)+f(m)^3+3f(n^2)f(m)+3nm^2}$ ειναι τέλειος κύβος για κάθε $m,n\in N$ Έστω ότι $\displaystyle{y^2f(y)+f(x)^3+3f(y^2)f(x)+3yx^2=A(x,y)^3}$, για κάθε $x,y$ (άλλαξα τις μεταβλητές $m,n$ σε $x,y...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Φεβ 07, 2021 11:31 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: First International Fuctional Equation Olympiad Day 1
Απαντήσεις: 3
Προβολές: 316

Re: First International Functional Equation Olympiad Day 1

Πρόβλημα 1: Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ τέτοιες ώστε: $\displaystyle{f(x+f(y)+yf(x))=f(x+y)+xf(y)}$ Έστω $P(x,y)$ η δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Έστω επίσης $f(0)=a$. Αρχίζουμε με έναν Ισχυρισμό: Ισχυρισμός: $a \in \{0,1 \}$. Απόδειξη: Η $P(x,0)$ δίνει $f(x+a)-f...
από Ορέστης Λιγνός
Κυρ Φεβ 07, 2021 10:43 am
Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
Θέμα: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)
Απαντήσεις: 7
Προβολές: 489

Re: Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11η τάξη, 2012)

Ανοιχτή Ολυμπιάδα Φυσικό-μαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης για τις τάξεις 10-11η, 2012. 4. Δίνονται οι θετικοί αριθμοί $ a,b,c,d$, που ικανοποιούν την συνθήκη $\dfrac{1}{a^3+1} +\dfrac{1}{b^3+1} +\dfrac{1}{c^3+1} +\dfrac{1}{d^3+1} =2 $. Να αποδείξετε την ανισότητα $\dfrac{1-a}{a^2-a+1} + \d...

Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση