Η αναζήτηση βρήκε 1821 εγγραφές
Επιστροφή στην ειδική αναζήτηση
- Παρ Φεβ 23, 2024 6:24 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Αναδρομική ακολουθία
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 213
Re: Αναδρομική ακολουθία
Πρόβλημα . Δίδεται ἡ ἀναδρομικὴ ἀκολουθία $\displaystyle{ a_1=a>0, \quad a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n^2}, \quad n\in\mathbb N. }$ Δείξατε ὅτι $\,\lim_{n\to\infty} n\,a_n=1$. Θέτουμε $b_n=1/a_n$, οπότε έχουμε ότι $b_1=b=1/a>0$ και $b_{n+1}=\dfrac{b_n^2+n}{b_n}$. Παρατηρούμε ότι $b_2=\dfrac{b_1^2+1}{b_1...
- Δευ Νοέμ 27, 2023 11:47 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Από εξέταση Απειροστικού Λογισμού Ι
- Απαντήσεις: 5
- Προβολές: 2790
Από εξέταση Απειροστικού Λογισμού Ι
Το παρακάτω θέμα αποτέλεσε (αλλαγμένο) το τελευταίο εξέτασης Απ. Λογισμού Ι στο Τμήμα Μαθηματικών του ΕΚΠΑ. Το βρήκα ενδιαφέρον. Έστω $I \subseteq \mathbb{R}$ μη τετριμμένο διάστημα, $f,g : I \rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις με $g'(x) \neq 0$ για κάθε $x \in I$ και το σύνολο $A=\{\d...
- Παρ Νοέμ 24, 2023 8:29 pm
- Δ. Συζήτηση: Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Εύρεση συναρτήσεων
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 540
Re: Εύρεση συναρτήσεων
Βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,\,$, όπου $f\left( xf(y) \right)+f\left( \left( {{y}^{2023}} \right)f(x) \right)=xy+x{{y}^{2023}}$, για $\forall \,x,y\in \mathbb{R}$ Καλησπέρα συνονόματε :) Με $x=y=1$ στην αρχική είναι $f(f(1))=1$ και με $x=f(1),y=1$ είναι $f(f(1)^2)=f(1)$....
- Κυρ Νοέμ 12, 2023 4:34 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συναρτησιακή!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 915
Re: Συναρτησιακή!
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε $f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$ Καλησπέρα σε όλους. Ευχαριστώ τον κ. Δημήτρη για την λύση. Η πηγή της άσκησης είναι από το Topics in Functional Equations των Andreescu, Boreico, Mushkarov και Nikolov (...
- Τετ Νοέμ 01, 2023 8:53 pm
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)
- Θέμα: Συναρτησιακή!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 915
Συναρτησιακή!
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις οι οποίες είναι τέτοιες, ώστε
- Κυρ Οκτ 22, 2023 10:30 pm
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Αριθμός λύσεων εξίσωσης
- Απαντήσεις: 0
- Προβολές: 647
Αριθμός λύσεων εξίσωσης
Να προσδιορίσετε τον αριθμό των λύσεων της εξίσωσης στο διάστημα .
Σημείωση: Η άσκηση είναι εμπνευσμένη από ένα ερώτημα του Θέματος 14 Δ στη σελίδα 55 του εξαιρετικού βιβλίου "Μαθηματικά Γ' Λυκείου - Η επανάληψη στην ύλη 2021" της Ντίνας Ψαθά.
Σημείωση: Η άσκηση είναι εμπνευσμένη από ένα ερώτημα του Θέματος 14 Δ στη σελίδα 55 του εξαιρετικού βιβλίου "Μαθηματικά Γ' Λυκείου - Η επανάληψη στην ύλη 2021" της Ντίνας Ψαθά.
- Τρί Οκτ 17, 2023 8:35 am
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Τεμνόμενοι κύκλοι και κάθετα τμήματα
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 726
Re: Τεμνόμενοι κύκλοι και κάθετα τμήματα
Τεμνόμενοι κύκλοι και κάθετα τμήματα.png Δύο κύκλοι $(W),\,\,(J)\,\,$ τέμνονται στα $A,\,\,B$. Μια αυθαίρετη ευθεία διερχόμενη από το $A\,\,$ τέμνει τον $(W)\,\,$ στο $C\,\,$ και τον $(J)\,\,$ στο $D$. Αν $M\,\,$ είναι το μέσο του τόξου $BC\,\,$ που δεν περιέχει το $A$ και $N\,\,$ το μέσο του τόξου...
- Κυρ Οκτ 15, 2023 8:28 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: Ανισότητα τιμών συνάρτησης.
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 652
Re: Ανισότητα τιμών συνάρτησης.
Έστω $f(x)={{e}^{x}}\ln (1+x)$. Αποδείξτε ότι, για τυχόντες θετικούς πραγματικούς αριθμούς $s,\,\,t\,\,$ , ισχύει η ανισότητα $f(s+t)>f(s)+f(t)$. Για $x>0$, είναι $f''(x)=\dfrac{e^x(2x+1+\ln(1+x)(1+x)^2)}{(1+x)^2},$ συνεπώς η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $(0,+\infty)$. Σταθεροποιούμε το $t$, και έ...
- Παρ Οκτ 13, 2023 12:01 am
- Δ. Συζήτηση: Θεωρία Αριθμών - Προχωρημένο Επίπεδο (Juniors)
- Θέμα: Σύνολο με ιδιότητα
- Απαντήσεις: 1
- Προβολές: 653
Re: Σύνολο με ιδιότητα
Θεωρούμε θετικό ακέραιο $n$. Να βρεθούν όλα τα υποσύνολα των θετικών ακεραίων $\mathbb{S}$ με την εξής ιδιότητα: Κάθε θετικός ακέραιος $m$ μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως άθροισμα της μορφής $\displaystyle m=\sum_{x\in \mathbb{S}} x\cdot c_x$ με τα $0\leq c_x<n$ να είναι ακέραιοι. Απάντηση:...
- Δευ Οκτ 09, 2023 9:38 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Πρωτότυπο Όριο
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 520
Πρωτότυπο Όριο
Έστω η συνάρτηση , με . Να υπολογίσετε το όριο
αν αυτό υπάρχει.
αν αυτό υπάρχει.
- Δευ Οκτ 09, 2023 9:34 pm
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όριο και Ολοκλήρωμα!
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 777
Όριο και Ολοκλήρωμα!
Να υπολογίσετε το όριο
αν αυτό υπάρχει.
αν αυτό υπάρχει.
- Πέμ Σεπ 28, 2023 8:38 am
- Δ. Συζήτηση: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- Θέμα: Ύπαρξη ξ_1, ξ_2 #2
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 736
Re: Ύπαρξη ξ_1, ξ_2 #2
Σε συνέχεια αυτής της άσκησης ... θέτω τη παρακάτω. Δίδεται συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και παραγωγίσιμη στο $(\alpha, \beta)$ με $f(\alpha) \neq f(\beta)$. Να δειχθεί ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2$ διαφορετικά μεταξύ τους τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(\xi_1) f'(\xi_2) = \left ( \frac{...
- Τρί Σεπ 26, 2023 12:42 pm
- Δ. Συζήτηση: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ'
- Θέμα: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 791
Re: Τι; Δεν ισχύει το Θ.Μ.Τ.; Αν είναι δυνατόν!
Μία συνάρτηση $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και υπάρχει $\xi$ τέτοιο ώστε για κάθε $a, \, b \in \mathbb R $ με $a\ne b$ ισχύει $\dfrac {f(b)-f(a)}{b-a} \ne f'(\xi) $ α) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης. β) Δείξτε ότι $f''(\xi ) =0$. α) Η $f(x)=x^3$. Για $\xi=...
- Πέμ Σεπ 21, 2023 12:34 am
- Δ. Συζήτηση: ΑΝΑΛΥΣΗ
- Θέμα: Όριο με ακολουθία
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 638
Όριο με ακολουθία
Έστω $a_0 \in \mathbb{R}$ και η γνησίως αύξουσα ακολουθία $(a_n)$ τέτοια, ώστε $a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{a_n+1}{2}}$ για κάθε $n \geq 0$. Για τις διάφορες τιμές του $k \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} k^n(1-a_n)$. (Η άσκηση είναι παραλλαγή της ά...
- Πέμ Αύγ 17, 2023 9:28 am
- Δ. Συζήτηση: Ανάλυση
- Θέμα: Με συνεχή συνάρτηση
- Απαντήσεις: 2
- Προβολές: 764
Με συνεχή συνάρτηση
Έστω μια συνεχής συνάρτηση και ένας θετικός αριθμός. Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε
για κάθε .
για κάθε .
- Σάβ Ιούλ 01, 2023 10:57 am
- Δ. Συζήτηση: Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)
- Θέμα: Σύστημα
- Απαντήσεις: 3
- Προβολές: 570
Re: Σύστημα
Να λύσετε στο $\mathbb{R}$ το σύστημα: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {x^2} = {y^3} - 3{y^2} + 2y \hfill \\ {y^2} = {x^3} - 3{x^2} + 2x \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Έχουμε τον ακόλουθο Ισχυρισμό. Ισχυρισμός: $x=y$. Απόδειξη: Έστω ότι $x \neq y$. Τότε, είναι $(y^3-3y^2+2y)-(x^3-3x^2+2x...
- Δευ Ιουν 26, 2023 10:33 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 2703
Re: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
Πρόβλημα 1. Να βρείτε όλα τα ζεύγη $(a,b)$ θετικών ακέραιων αριθμών τέτοια ώστε οι αριθμοί $a!+b$ και $b!+a$ να είναι και οι δύο δυνάμεις του $5$. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω $a \geq b$. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. Περίπτωση 1: $a=b$. Τότε, $a!+a=5^k$ με $k \geq 1$. Αν $k=1$ τότε προφανώς η $...
- Δευ Ιουν 26, 2023 10:10 am
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
- Απαντήσεις: 19
- Προβολές: 2703
Re: JBMO 2023 - ΘΕΜΑΤΑ
Πρόβλημα 4. Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο με περίκεντρο $O$. Έστω $D$ το ίχνος του ύψους από το $A$ στη $BC$ και έστω $Μ$ το μέσο του $OD$. Tα σημεία $O_b$ και $O_c$ είναι τα περίκεντρα των τριγώνων $AOC$ και $AOB$, αντίστοιχα. Αν $AO=AD$, να αποδείξετε ότι τα σημεία $A$, $O_b$, $M$ και $O_c$ είν...
- Παρ Ιουν 23, 2023 2:57 pm
- Δ. Συζήτηση: Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)
- Θέμα: Άλυτη.
- Απαντήσεις: 13
- Προβολές: 1730
Re: Άλυτη.
Δηλαδή εμείς που προβληματιστήκαμε γεωμετρικά, είμαστε βλάκες. Καλησπέρα. Δεν θέλω να κάνω τον συνήγορο του Διαβόλου ούτε με έχει βάλει κανείς να υποστηρίζω άλλους αλλά, με αφορμή το πιο πάνω μήνυμα του κ. Φάνη, θα ήθελα να πω ότι ο τρόπος με τον οποίο φέρονται αρκετά από τα υπόλοιπα μέλη του forum...
- Παρ Ιουν 23, 2023 2:44 pm
- Δ. Συζήτηση: Θέματα διαγωνισμών (ΕΜΕ, ΚΥΜΕ, BMO, JBMO, IMO, Kangaroo κλπ)
- Θέμα: JBMO 2023
- Απαντήσεις: 6
- Προβολές: 771
Re: JBMO 2023
Αρχικά να πούμε ότι η ομάδα μας αποτελείται από τους εξής μαθητές: Καραγεωργίου Λάζαρος Τσουρέκας Μιχαήλ Ζάχου Ιωάννα Μπερκουτάκης Νεκτάριος Ραφαήλ Κρατσά Λυδία Μπερούκας Κωνσταντίνος. Αρχηγός της αποστολής είναι ο Αχιλλέας Συνεφακόπουλος και υπαρχηγός ο φέρελπις νέος ( :mrgreen: ) Ιάσονας Προδρομίδ...